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多项式因式分解技巧

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

多项式因式分解技巧讲义#

目标多项式：x3+3x2−x−3x^3+3x^2-x-3x3+3x2−x−3

一、两大基础破题技巧#

技巧 1：分组分解法（首选，最直观）#

适用场景#

多项式项数较多（通常 4 项），前后分组后能提取公因式。

解题步骤#

合理分组 将多项式拆分为两组： (x3+3x2)−(x+3)(x^3+3x^2)-(x+3)(x3+3x2)−(x+3)
组内提取公因式 前一组提取 x2x^2x2，后一组提取 −1-1−1： x2(x+3)−1(x+3)x^2(x+3)-1(x+3)x2(x+3)−1(x+3)
组间整体提公因式 把公共整体 (x+3)(x+3)(x+3) 提取出来： (x+3)(x2−1)(x+3)(x^2-1)(x+3)(x2−1)
分解至不能再拆 利用平方差公式继续分解 x2−1x^2-1x2−1： (x+3)(x+1)(x−1)\boldsymbol{(x+3)(x+1)(x-1)}(x+3)(x+1)(x−1)

技巧 2：试根法 / 有理根定理（通用性最强）#

适用场景#

看不出分组规律、高次多项式优先使用。

试根优先从小到大尝试：±1、±2、±3…\pm1、\pm2、\pm3\dots±1、±2、±3…

解题步骤#

列出候选有理根 首项系数为 1 时，整数根为常数项的因数。本题常数项 −3-3−3，候选根：±1,±3\pm1,\pm3±1,±3。
代入验证根 将 x=1x=1x=1 代入原式结果为 0，因此 (x−1)(x-1)(x−1) 是原式因式。
多项式除法降次 原式除以 (x−1)(x-1)(x−1)，得到二次商式：x2+4x+3x^2+4x+3x2+4x+3。
二次式十字相乘分解 最终结果： (x−1)(x+1)(x+3)\boldsymbol{(x-1)(x+1)(x+3)}(x−1)(x+1)(x+3)

二、考场秒杀隐藏技巧（速判因式口诀）#

口诀 1：系数和判 (x−1)(x-1)(x−1) 因式#

所有系数相加等于 0 → 必有因式 (x−1)(x-1)(x−1)；和不为 0 则无该因式。本例验证： 1+3−1−3=01+3-1-3=01+3−1−3=0 直接判定原式含 (x−1)(x-1)(x−1)，省去逐个试根步骤。

口诀 2：奇偶项系数和判 (x+1)(x+1)(x+1) 因式#

奇次项系数总和 = 偶次项系数总和 → 必有因式 (x+1)(x+1)(x+1)

三、学习总结与做题建议#

做题优先级 先提取整体公因式 → 尝试分组分解 → 分组行不通再用试根法。
核心要求：分解彻底 所有因式必须拆解至无法继续分解（平方差、完全平方、十字相乘全部用完）。
养成检验习惯 分解完成后，用整式乘法展开回代，或代入特殊数值验算，避免符号、计算错误。

（注：部分内容可能由 AI 生成）

函数四大特性系统笔记

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#函数四大特性 #笔记

对应题型：概念选择题、抽象函数证明题、性质判断题核心方法：定义法、赋值法、代入特例法、复合函数法则

一、有界性#

1. 核心定义#

设函数f(x)f(x)f(x)在区间III上有定义，若存在正数MMM，使得对任意x∈Ix\in Ix∈I，都有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \le M∣f(x)∣≤M 则称f(x)f(x)f(x)在区间III上有界；否则称为无界。

本质：函数的值域被限制在有限区间内。

2. 经典例题#

题目：证明函数 f(x)=x1+x2f(x)=\frac{x}{1+x^2}f(x)=1+x2x 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 内有界。

证法 1：基本不等式法（最快解法）#

利用均值不等式 a2+b2≥2∣ab∣a^2+b^2 \ge 2|ab|a2+b2≥2∣ab∣ 直接放缩：

对任意实数xxx，令a=1, b=xa=1,\ b=xa=1, b=x，得 1+x2≥2⋅1⋅∣x∣=2∣x∣1+x^2 \ge 2\cdot1\cdot|x| = 2|x|1+x2≥2⋅1⋅∣x∣=2∣x∣
两边取倒数（正数区间，不等号反向）：11+x2≤12∣x∣(x≠0)\frac{1}{1+x^2} \le \frac{1}{2|x|}\quad (x\neq0)1+x21≤2∣x∣1(x=0)
对函数取绝对值放缩： ∣f(x)∣=∣x∣1+x2≤∣x∣2∣x∣=12|f(x)| = \frac{|x|}{1+x^2} \le \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}∣f(x)∣=1+x2∣x∣≤2∣x∣∣x∣=21
验证特殊点：x=0x=0x=0时f(0)=0f(0)=0f(0)=0，满足∣f(0)∣≤12|f(0)|\le\frac{1}{2}∣f(0)∣≤21
结论：取M=12M=\frac{1}{2}M=21，对全体实数xxx都有∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M∣f(x)∣≤M，故函数在R\mathbb{R}R内有界。

证法 2：导数求全局最值法（通用通法）#

适用于所有可导函数的有界性证明：

奇偶性简化：f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)，函数为奇函数，图像关于原点对称，只需分析x≥0x\ge0x≥0的情况
求导找临界点： f′(x)=(1+x2)−x⋅2x(1+x2)2=1−x2(1+x2)2f'(x)=\frac{(1+x^2) - x\cdot2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}f′(x)=(1+x2)2(1+x2)−x⋅2x=(1+x2)21−x2 令f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0，得正半轴临界点x=1x=1x=1
单调性分析：
- 0≤x<10\le x<10≤x<1时，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，函数单调递增
- x>1x>1x>1时，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，函数单调递减
计算最值与边界极限：
- 极大值（最大值）：f(1)=12f(1)=\frac{1}{2}f(1)=21
- 边界值：f(0)=0f(0)=0f(0)=0；x→+∞x\to+\inftyx→+∞时，f(x)∼1x→0f(x)\sim\frac{1}{x}\to0f(x)∼x1→0
由奇函数对称性推得全局：∣f(x)∣≤12|f(x)|\le\frac{1}{2}∣f(x)∣≤21，函数有界。

3. 选择题快速判断技巧#

对于有理分式函数 f(x)=P(x)Q(x)f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}f(x)=Q(x)P(x)（多项式之比），在R\mathbb{R}R上有界的充要条件：

分母Q(x)Q(x)Q(x)在全体实数上无零点（恒正或恒负）；
分母的次数 严格大于 分子的次数。

原理：

有限区间：分母无零点→函数连续→闭区间上的连续函数必有界
无穷区间：低次比高次，x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞时函数极限为 0，必然有界

4. 有界性证明通用框架#

优先代数放缩：形式简单的分式、三角函数，用基本不等式、绝对值不等式直接放缩出界值MMM
次选导数求最值：找极值点 + 计算端点 / 无穷极限，确定全局上下界
复杂场景分区间讨论：有限区间 + 无穷区间分别验证有界，合并得出结论

二、单调性#

1. 核心定义#

严格单调递增#

对区间III内任意x1<x2x_1<x_2x1<x2，都有f(x1)<f(x2)f(x_1)<f(x_2)f(x1)<f(x2)。 等价定义（高频考点）：对任意x1≠x2x_1\neq x_2x1=x2，都有 (x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2)]>0(x_1-x_2)\cdot[f(x_1)-f(x_2)] > 0(x1−x2)⋅[f(x1)−f(x2)]>0

解读：自变量差与函数值差同号，自变量越大，函数值越大。

严格单调递减#

对应不等号全部反向，两因子乘积小于 0。

2. 经典例题#

题目：设f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上严格单调递增，则以下函数一定单调增加的是（） A. ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣ B. f(∣x∣)f(|x|)f(∣x∣) C. f(−x)f(-x)f(−x) D. −f(−x)-f(-x)−f(−x)

选项逐一解析#

**A. **∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣：错误。绝对值会将负的函数值翻折到正半轴，破坏单调性。反例：取f(x)=xf(x)=xf(x)=x，则∣f(x)∣=∣x∣|f(x)|=|x|∣f(x)∣=∣x∣，在(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)上递减，非全局递增。
**B. **f(∣x∣)f(|x|)f(∣x∣)：错误。内层函数∣x∣|x|∣x∣在x<0x<0x<0时递减，与递增的外层复合后，负半轴单调性反转。反例：取f(x)=xf(x)=xf(x)=x，则f(∣x∣)=∣x∣f(|x|)=|x|f(∣x∣)=∣x∣，同样不满足全局递增。
**C. **f(−x)f(-x)f(−x)：错误。内层u=−xu=-xu=−x是严格递减函数，与递增外层复合，遵循 “异减” 法则，整体递减。
**D. **−f(−x)-f(-x)−f(−x)：正确。严谨证明：任取x1<x2x_1<x_2x1<x2，则−x1>−x2-x_1>-x_2−x1>−x2。由f(x)f(x)f(x)严格递增得f(−x1)>f(−x2)f(-x_1) > f(-x_2)f(−x1)>f(−x2)，不等式两边同乘−1-1−1，不等号反向： −f(−x1)<−f(−x2)-f(-x_1) < -f(-x_2)−f(−x1)<−f(−x2) 满足单调递增定义。直观理解：两次单调性反转（自变量取负 + 整体取负），负负得正，回归递增。

3. 核心法则：复合函数单调性#

口诀：同增异减

内外层单调性相同 → 复合函数单调递增
内外层单调性不同 → 复合函数单调递减

4. 单调性反转规律#

以下两种操作会使函数的单调性发生反转：

函数整体加负号：y=−f(x)y=-f(x)y=−f(x)
自变量取负：y=f(−x)y=f(-x)y=f(−x)

连续两次反转，则恢复原单调性。

5. 选择题秒杀技巧#

抽象函数单调性题目，直接代入最简具体函数验证选项：

递增函数取f(x)=xf(x)=xf(x)=x
递减函数取f(x)=−xf(x)=-xf(x)=−x 代入后可快速排除错误选项，效率远高于严谨证明。

三、奇偶性#

1. 核心定义#

必要前提#

函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的先决条件。

奇函数#

对定义域内任意xxx，都满足 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)。

图像关于原点中心对称
若函数在x=0x=0x=0处有定义，则必有f(0)=0f(0)=0f(0)=0

偶函数#

对定义域内任意xxx，都满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)。

图像关于 y 轴对称

2. 核心方法：赋值法#

抽象函数无具体表达式，所有推导通过对自变量赋值完成，是奇偶性证明的通用方法。 三组核心赋值（90% 题型覆盖）：

令x=y=0x=y=0x=y=0：求f(0)f(0)f(0)，验证奇函数零点性质
令y=−xy=-xy=−x：构造f(x)f(x)f(x)与f(−x)f(-x)f(−x)的关系（奇函数证明最常用）
令x=0x=0x=0：直接得到f(y)f(y)f(y)与f(−y)f(-y)f(−y)的等式（偶函数证明最常用）

3. 经典例题：柯西方程#

题目：设对任意实数x,yx,yx,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)，证明f(x)f(x)f(x)是奇函数。

完整证明步骤：

求特殊值f(0)f(0)f(0)：令x=y=0x=y=0x=y=0，代入得 f(0)=f(0)+f(0) ⟹ f(0)=0f(0) = f(0) + f(0) \implies f(0)=0f(0)=f(0)+f(0)⟹f(0)=0
构造对称关系：令y=−xy=-xy=−x，代入原方程 f(0)=f(x)+f(−x)f(0) = f(x) + f(-x)f(0)=f(x)+f(−x)
代入f(0)=0f(0)=0f(0)=0，整理得 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)
结论：函数定义域为R\mathbb{R}R，关于原点对称，且满足奇函数定义，故f(x)f(x)f(x)是奇函数。

4. 拓展题型#

题型 1：带常数项的函数方程#

题目：设f(x+y)=f(x)+f(y)+1f(x+y)=f(x)+f(y)+1f(x+y)=f(x)+f(y)+1，证明g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1g(x)=f(x)+1是奇函数。 核心思路：构造辅助函数，将原方程转化为标准柯西方程，再验证奇偶性。

题型 2：偶函数型函数方程#

题目：设f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(x)f(x)f(x)不恒为 0，证明f(x)f(x)f(x)是偶函数。 核心思路：令x=0x=0x=0，先求解得f(0)=1f(0)=1f(0)=1，直接推导出f(−y)=f(y)f(-y)=f(y)f(−y)=f(y)。

5. 奇偶性证明通用步骤#

检查定义域是否关于原点对称
赋值求f(0)f(0)f(0)（奇函数必求，偶函数可选）
通过赋值构造f(−x)f(-x)f(−x)与f(x)f(x)f(x)的等量关系
对照奇偶性定义下结论

四、周期性#

1. 核心定义#

设函数f(x)f(x)f(x)定义域为DDD，若存在非零常数TTT，使得对任意x∈Dx\in Dx∈D，都有x+T∈Dx+T\in Dx+T∈D，且 f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x)f(x+T)=f(x) 则称f(x)f(x)f(x)为周期函数，TTT为函数的一个周期。

通常所说的周期指最小正周期。

2. 关键原理：抽象函数替换的合法性#

若函数方程声明 “对任意xxx成立”，则可将xxx替换为任意实数表达式（如x+πx+\pix+π、x+Tx+Tx+T等），等式仍然成立。

类比：代数公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2，a,ba,ba,b替换为任何数、任何表达式，公式都成立。

3. 经典例题#

题目：设f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上满足f(x)=f(x−π)+sin⁡xf(x)=f(x-\pi)+\sin xf(x)=f(x−π)+sinx，证明f(x)f(x)f(x)是以T=2πT=2\piT=2π为周期的周期函数。

证法 1：迭代代换法#

第一次代换：将原式中所有xxx替换为x+πx+\pix+π f(x+\pi) = f(x) + \sin(x+\pi) = f(x) - \sin x \tag{1}
第二次代换：将式 (1) 中所有xxx替换为x+πx+\pix+π f(x+2π)=f(x+π)−sin⁡(x+π)f(x+2\pi) = f(x+\pi) - \sin(x+\pi)f(x+2π)=f(x+π)−sin(x+π)
代入式 (1) 与诱导公式sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx化简：

故2π2\pi2π是函数的周期。

证法 2：差分累加法（思路更直观）#

将原式改写为差分形式：f(x)−f(x−π)=sin⁡xf(x) - f(x-\pi) = \sin xf(x)−f(x−π)=sinx
分别将xxx替换为x+πx+\pix+π、x+2πx+2\pix+2π，得到两个差分等式：
将两式左右分别相加，中间项f(x+π)f(x+\pi)f(x+π)抵消： f(x+2π)−f(x)=−sin⁡x+sin⁡x=0f(x+2\pi) - f(x) = -\sin x + \sin x = 0f(x+2π)−f(x)=−sinx+sinx=0 即f(x+2π)=f(x)f(x+2\pi)=f(x)f(x+2π)=f(x)，得证。

4. 递推型周期证明通用技巧#

已知间隔aaa的递推关系，要证周期T=naT=naT=na，就迭代nnn次递推式
优先改写为差分形式，通过累加抵消中间项，思路更清晰
利用附加项（如sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx）自身的周期性，抵消额外的非函数项

5. 易错提醒#

注意三角函数诱导公式的符号：sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx，sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin xsin(x+2π)=sinx
替换时必须保证等式两边所有xxx同步替换，不能只替换部分

五、综合技巧汇总#

1. 选择题通用秒杀法#

抽象函数题：代入最简具体函数（如f(x)=xf(x)=xf(x)=x、f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2）验证选项
有理分式有界性：用 “分母无零点 + 分母次数更高” 快速判断

2. 抽象函数证明通用思路#

奇偶性：赋值法（三组核心赋值）
周期性：迭代代换法 / 差分累加法
单调性：定义作差法 / 复合函数 “同增异减” 法则

3. 四大特性关联结论（拓展）#

可导的奇函数，其导函数是偶函数
可导的偶函数，其导函数是奇函数
可导的周期函数，其导函数仍是同周期的周期函数
奇偶运算规律：奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶，奇 × 偶 = 奇

需要我再补充一份对应四大特性的专项练习题吗？

（注：部分内容可能由 AI 生成）

函数四大特性习题

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#专项练习题

适用阶段：考研数学基础阶段建议用时：40 分钟核心目标：巩固定义、熟练方法、掌握秒杀技巧

一、选择题（每题只有一个正确选项）#

【有界性】下列函数中，在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)内有界的是（） A. f(x)=x21+xf(x)=\frac{x^2}{1+x}f(x)=1+xx2 B. f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2}f(x)=1+x21 C. f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin xf(x)=xsinx D. f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex
【单调性】设f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上严格单调递减，则下列函数中一定严格单调递增的是（） A. f(x+1)f(x+1)f(x+1) B. −f(x)-f(x)−f(x) C. f(x2)f(x^2)f(x2) D. ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣
【奇偶性】设f(x)f(x)f(x)是奇函数，g(x)g(x)g(x)是偶函数，则下列函数中一定为奇函数的是（） A. f(x)+g(x)f(x)+g(x)f(x)+g(x) B. f(x)⋅g(x)f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x) C. f(g(x))f(g(x))f(g(x)) D. g(f(x))g(f(x))g(f(x))
【周期性】设函数f(x)f(x)f(x)定义域为R\mathbb{R}R，且对任意xxx满足f(x+1)=−f(x)f(x+1) = -f(x)f(x+1)=−f(x)，则f(x)f(x)f(x)的一个周期为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【综合判断】下列说法正确的是（） A. 若f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)(a,b)内有界，则f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内必连续 B. 若f(x)f(x)f(x)是奇函数，则必有f(0)=0f(0)=0f(0)=0 C. 若f(x)f(x)f(x)是周期函数，则其导函数也是周期函数 D. 严格单调函数必有反函数，且反函数与原函数单调性相同

二、证明题#

【有界性・均值不等式法】证明函数 f(x)=x21+x4f(x)=\frac{x^2}{1+x^4}f(x)=1+x4x2 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 内有界。
【单调性・定义法】设函数f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上满足f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0x>0x>0时，f(x)>0f(x)>0f(x)>0。证明：f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上严格单调递增。
【奇偶性・赋值法】设函数f(x)f(x)f(x)定义域为R\mathbb{R}R，且对任意实数x,yx,yx,y均满足： f(xy)=xf(y)+yf(x)f(xy) = x f(y) + y f(x)f(xy)=xf(y)+yf(x) 证明：f(x)f(x)f(x)是奇函数。
【周期性・迭代法】设函数f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上满足 f(x+a)=1f(x) (a>0, f(x)≠0)f(x+a) = \frac{1}{f(x)}\ (a>0,\ f(x)\neq0)f(x+a)=f(x)1 (a>0, f(x)=0)，证明f(x)f(x)f(x)是以2a2a2a为周期的周期函数。
【周期性・差分累加法】设f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上满足 f(x)=f(x−1)+sin⁡πxf(x) = f(x-1) + \sin\pi xf(x)=f(x−1)+sinπx，证明f(x)f(x)f(x)是以222为周期的周期函数。

答案与详细解析#

一、选择题#

答案：B 【解析】
- A：分母1+x1+x1+x在x=−1x=-1x=−1处为 0，x→−1x\to-1x→−1时函数趋向无穷，无界；且分子次数等于分母次数，x→∞x\to\inftyx→∞时函数趋向无穷。
- B：分母1+x21+x^21+x2恒正无零点，分母次数（2 次）> 分子次数（0 次），满足有界条件；事实上0<11+x2≤10<\frac{1}{1+x^2}\le10<1+x21≤1，有界。
- C：取x=2kπ+π2x=2k\pi+\frac{\pi}{2}x=2kπ+2π，k→∞k\to\inftyk→∞时f(x)→∞f(x)\to\inftyf(x)→∞，无界。
- D：x→+∞x\to+\inftyx→+∞时ex→+∞e^x\to+\inftyex→+∞，无界。【技巧】有理分式有界性可直接用 “分母无零点 + 分母次数> 分子次数” 秒判。
答案：B 【解析】
- A：f(x+1)f(x+1)f(x+1)是函数图像向左平移 1 个单位，单调性与原函数一致，仍严格递减。
- B：函数整体加负号，单调性反转。严格递减函数取负后变为严格递增，正确。
- C：内层u=x2u=x^2u=x2在(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)递减，在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)递增，与递减的外层复合后，f(x2)f(x^2)f(x2)在(−∞,0)(-\infty,0)(−∞,0)递增，在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)递减，非全局单调。
- D：绝对值会将负函数值翻折，破坏单调性。反例：取f(x)=−xf(x)=-xf(x)=−x，则∣f(x)∣=∣x∣|f(x)|=|x|∣f(x)∣=∣x∣，不全局递增。【技巧】牢记：整体取负、自变量取负都会反转单调性；平移不改变单调性。
答案：B 【解析】奇偶运算核心规律：奇 × 偶 = 奇，奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶。
- A：奇函数 + 偶函数，一般为非奇非偶函数（除非其中一个恒为 0）。
- B：奇函数 × 偶函数 = 奇函数，正确。
- C：复合函数f(g(x))f(g(x))f(g(x))，内层偶、外层奇，结果为偶函数：f(g(−x))=f(g(x))f(g(-x))=f(g(x))f(g(−x))=f(g(x))。
- D：复合函数g(f(x))g(f(x))g(f(x))，内层奇、外层偶，结果为偶函数：g(f(−x))=g(−f(x))=g(f(x))g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))g(f(−x))=g(−f(x))=g(f(x))。
答案：B 【解析】迭代代换：已知f(x+1)=−f(x)f(x+1)=-f(x)f(x+1)=−f(x)，将xxx替换为x+1x+1x+1，得： f(x+2)=−f(x+1)=−[−f(x)]=f(x)f(x+2) = -f(x+1) = -[-f(x)] = f(x)f(x+2)=−f(x+1)=−[−f(x)]=f(x) 因此周期为 2。【高频结论】若f(x+a)=−f(x)f(x+a)=-f(x)f(x+a)=−f(x)，则T=2aT=2aT=2a是函数的一个周期。
答案：D 【解析】
- A：错误。有界推不出连续，例如狄利克雷函数处处有界但处处不连续。
- B：错误。只有当奇函数在x=0x=0x=0处有定义时，才有f(0)=0f(0)=0f(0)=0，若定义域不含 0 则不成立。
- C：错误。只有当函数可导时，周期函数的导函数才是同周期的周期函数，选项未说明可导。
- D：正确。严格单调函数是一一映射，必有反函数，且反函数与原函数单调性一致。

二、证明题#

证明：对任意实数xxx，由均值不等式 a2+b2≥2aba^2+b^2\ge2aba2+b2≥2ab，令a=1, b=x2a=1,\ b=x^2a=1, b=x2，得： 1+x4≥2⋅1⋅x2=2x21+x^4 \ge 2\cdot1\cdot x^2 = 2x^21+x4≥2⋅1⋅x2=2x2 由于1+x4>01+x^4>01+x4>0，两边取倒数得： 11+x4≤12x2(x≠0)\frac{1}{1+x^4} \le \frac{1}{2x^2} \quad (x\neq0)1+x41≤2x21(x=0) 对函数取绝对值（函数恒非负）： f(x)=x21+x4≤x22x2=12f(x) = \frac{x^2}{1+x^4} \le \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}f(x)=1+x4x2≤2x2x2=21 当x=0x=0x=0时，f(0)=0f(0)=0f(0)=0，显然满足f(x)≤12f(x)\le\frac{1}{2}f(x)≤21。取M=12M=\frac{1}{2}M=21，对所有x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R都有∣f(x)∣≤M|f(x)|\le M∣f(x)∣≤M，故f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R内有界。【考点】均值不等式放缩证明有界性
证明：任取x1,x2∈Rx_1,x_2\in\mathbb{R}x1,x2∈R，且x1<x2x_1<x_2x1<x2，则x2−x1>0x_2-x_1>0x2−x1>0。由题设条件，当x>0x>0x>0时f(x)>0f(x)>0f(x)>0，因此： f(x2−x1)>0f(x_2 - x_1) > 0f(x2−x1)>0 利用函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)，将f(x2)f(x_2)f(x2)变形拆分： f(x2)=f(x1+(x2−x1))=f(x1)+f(x2−x1)f(x_2) = f\left(x_1 + (x_2 - x_1)\right) = f(x_1) + f(x_2 - x_1)f(x2)=f(x1+(x2−x1))=f(x1)+f(x2−x1) 作差得： f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)>0f(x_2) - f(x_1) = f(x_2 - x_1) > 0f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)>0 即f(x2)>f(x1)f(x_2) > f(x_1)f(x2)>f(x1)，由严格单调递增定义，f(x)f(x)f(x)在R\mathbb{R}R上严格单调递增。【考点】单调性定义 + 柯西方程变形，核心是作差后利用已知条件判断符号
证明：第一步：求特殊值f(0)f(0)f(0) 令x=y=0x=y=0x=y=0，代入方程得： f(0)=0⋅f(0)+0⋅f(0)=0f(0) = 0\cdot f(0) + 0\cdot f(0) = 0f(0)=0⋅f(0)+0⋅f(0)=0

第二步：求f(−1)f(-1)f(−1)的值令x=y=1x=y=1x=y=1，得：f(1)=1⋅f(1)+1⋅f(1)=2f(1) ⟹ f(1)=0f(1) = 1\cdot f(1) + 1\cdot f(1) = 2f(1) \implies f(1)=0f(1)=1⋅f(1)+1⋅f(1)=2f(1)⟹f(1)=0 令x=−1, y=−1x=-1,\ y=-1x=−1, y=−1，得：f(1)=(−1)f(−1)+(−1)f(−1)=−2f(−1)f(1) = (-1)f(-1) + (-1)f(-1) = -2f(-1)f(1)=(−1)f(−1)+(−1)f(−1)=−2f(−1) 代入f(1)=0f(1)=0f(1)=0，解得f(−1)=0f(-1)=0f(−1)=0。

第三步：验证奇函数定义令y=−1y=-1y=−1，对任意实数xxx代入方程： f(−x)=x⋅f(−1)+(−1)⋅f(x)f(-x) = x\cdot f(-1) + (-1)\cdot f(x)f(−x)=x⋅f(−1)+(−1)⋅f(x) 代入f(−1)=0f(-1)=0f(−1)=0，化简得： f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x) 函数定义域为R\mathbb{R}R，关于原点对称，故f(x)f(x)f(x)是奇函数。【考点】赋值法证明奇偶性，通过特殊值搭建f(−x)f(-x)f(−x)与f(x)f(x)f(x)的关系
证明：已知对任意xxx，有 f(x+a)=1f(x)f(x+a) = \frac{1}{f(x)}f(x+a)=f(x)1。将等式中所有xxx替换为x+ax+ax+a，得： f(x+2a)=1f(x+a)f(x+2a) = \frac{1}{f(x+a)}f(x+2a)=f(x+a)1 将f(x+a)=1f(x)f(x+a)=\frac{1}{f(x)}f(x+a)=f(x)1代入上式： f(x+2a)=11f(x)=f(x)f(x+2a) = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} = f(x)f(x+2a)=f(x)11=f(x) 因此f(x)f(x)f(x)是以2a2a2a为周期的周期函数。【高频结论】若f(x+a)=±1f(x)f(x+a)=\pm\frac{1}{f(x)}f(x+a)=±f(x)1，则T=2aT=2aT=2a是函数的一个周期。
证明（差分累加法）：将原式改写为差分形式： f(x)−f(x−1)=sin⁡πxf(x) - f(x-1) = \sin\pi xf(x)−f(x−1)=sinπx 分别将xxx替换为x+1x+1x+1、x+2x+2x+2，得到两个等式： f(x+1)−f(x)=sin⁡[π(x+1)]=sin⁡(πx+π)=−sin⁡πxf(x+1) - f(x) = \sin\left[\pi(x+1)\right] = \sin(\pi x + \pi) = -\sin\pi xf(x+1)−f(x)=sin[π(x+1)]=sin(πx+π)=−sinπx f(x+2)−f(x+1)=sin⁡[π(x+2)]=sin⁡(πx+2π)=sin⁡πxf(x+2) - f(x+1) = \sin\left[\pi(x+2)\right] = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin\pi xf(x+2)−f(x+1)=sin[π(x+2)]=sin(πx+2π)=sinπx 将以上两式左右两边分别相加，左边中间项抵消： f(x+2)−f(x)=−sin⁡πx+sin⁡πx=0f(x+2) - f(x) = -\sin\pi x + \sin\pi x = 0f(x+2)−f(x)=−sinπx+sinπx=0 即f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x)，故f(x)f(x)f(x)是以222为周期的周期函数。【考点】差分累加法证明周期性，利用三角函数周期性抵消附加项

（注：部分内容可能由 AI 生成）

「函数」模块全体系知识总结

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#「函数」模块全体系知识总结

本总结严格贴合数学二考纲，按照「基础概念→核心性质→重点函数类型→解题方法→知识网络关联→常考题型→避坑指南」的逻辑分层搭建，同时串联极限、导数、积分等后续章节的关联考点，形成完整的知识体系。

一、函数的核心概念与三要素#

1. 函数的定义#

设数集 D⊂RD \subset \mathbb{R}D⊂R，若对每个 x∈Dx \in Dx∈D，按照对应法则 fff，总有唯一确定的数值 yyy 与之对应，则称 yyy 是 xxx 的函数，记作 y=f(x)y=f(x)y=f(x)。

NOTE

也就是说自变量 x 与因变量 y 的映射关系是：
- 可以一对一（如 y=x），或者多对一（如 y=x²）；
- 但不能一对多（如 y²=x 是❌）

定义域：DDD 称为函数的定义域，是自变量 xxx 的取值范围；
值域：所有函数值构成的集合 Rf=y∣y=f(x),x∈DR_f = {y \mid y=f(x), x \in D}Rf=y∣y=f(x),x∈D；
核心判定：两个函数完全相同的充要条件是定义域相同且对应法则完全一致，与自变量、因变量的字母符号无关。

2. 三要素详解#

（1）定义域（自然定义域）#

使函数表达式有意义的全体实数，是所有函数问题的前提。考研高频限制条件：

分式：分母 ≠0\neq 0=0；
偶次根式：被开方数 ≥0\geq 0≥0；
对数函数：真数 >0> 0>0，底数 >0>0>0 且 ≠1\neq 1=1；
反三角函数：arcsin⁡x,arccos⁡x\arcsin x, \arccos xarcsinx,arccosx 要求 ∣x∣≤1|x| \leq 1∣x∣≤1；
正切函数 tan⁡x\tan xtanx：x≠π2+kπ (k∈Z)x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})x=2π+kπ (k∈Z)；
实际问题：需符合物理 / 几何实际意义。

（2）对应法则#

函数的核心，考研中主要有 3 种呈现形式：

解析法（公式法）：最主要形式，包括显函数、分段函数、隐函数、参数方程；
图像法：数形结合解题的核心载体；
表格法：离散型函数，数二极少考查。

（3）值域#

由定义域和对应法则共同决定，求解方法见第四部分。

二、函数的四大基本性质（考研核心考点）#

四大性质是函数的核心属性，贯穿极限、导数、积分全章节，必须掌握定义、判定方法、运算规律和跨章节关联。

1. 有界性#

（1）定义#

设 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上有定义，若 ∃M>0\exists M>0∃M>0，使得 ∀x∈I\forall x \in I∀x∈I，恒有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \leq M∣f(x)∣≤M，则称 f(x)f(x)f(x) 在 III 上有界；否则称无界。

等价定义：f(x)f(x)f(x) 在 III 上既有上界又有下界。
注意：有界性是区间依赖的，脱离区间谈有界无意义，即要谈论有界还是无界，得先指明区间。
如果函数在区间内的值的极限为无穷大，则不存在极限

NOTE

（2）核心判定方法#

定义法：通过不等式放缩找到 MMM；
连续 + 区间法（最常用）：
- 闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；
- 开区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内连续，且 lim⁡x→a+f(x)\lim\limits_{x \to a^+}f(x)x→a+limf(x) 和 lim⁡x→b−f(x)\lim\limits_{x \to b^-}f(x)x→b−limf(x) 都存在 ⟹ f(x)\implies f(x)⟹f(x) 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内有界；
导数法：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可导，且 f′(x)f'(x)f′(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有界，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有界（由拉格朗日中值定理可证）。

（3）考研必备结论#

常见有界函数：sin⁡x,cos⁡x,arcsin⁡x,arccos⁡x,arctan⁡x,arccot,x\sin x, \cos x, \arcsin x, \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot},xsinx,cosx,arcsinx,arccosx,arctanx,arccot,x；
极限核心结论：有界函数 × 无穷小 = 无穷小；
易错辨析：无界函数 ≠\neq= 无穷大量。例如 x→0x \to 0x→0 时，1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}x1sinx1 是无界函数，但不是无穷大。

2. 单调性#

（1）定义#

设 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上有定义，∀x1<x2∈I\forall x_1 < x_2 \in I∀x1<x2∈I：

若 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)f(x1)<f(x2)，称严格单调递增；若 f(x1)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x_2)f(x1)≤f(x2)，称单调不减；
若 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)f(x1)>f(x2)，称严格单调递减；若 f(x1)≥f(x2)f(x_1) \geq f(x_2)f(x1)≥f(x2)，称单调不增。

（2）核心判定方法#

定义法：作差 f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1)f(x2)−f(x1) 判号，或同号函数作商判号；
导数法（最常用，充分非必要条件）：
- 区间内 f′(x)>0 ⟹ f(x)f'(x) > 0 \implies f(x)f′(x)>0⟹f(x) 严格单调递增；
- 区间内 f′(x)≥0 ⟺ f(x)f'(x) \geq 0 \iff f(x)f′(x)≥0⟺f(x) 单调不减；
- 反例：f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 严格递增，但 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0，说明严格单调不要求导数恒正。
复合函数单调性：同增异减—— 内外层单调性相同则复合后递增，相反则递减。

（3）考研关联应用#

单调有界准则：单调有界数列（函数）必有极限（单侧极限）；
方程根的个数判定：单调性 + 零点定理；
积分不等式证明；
反函数存在性：严格单调函数必有反函数，且单调性一致。

3. 奇偶性#

（1）定义#

前提：函数定义域必须关于原点对称。

偶函数：∀x∈D\forall x \in D∀x∈D，f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)，图像关于 yyy 轴对称；
奇函数：∀x∈D\forall x \in D∀x∈D，f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)，图像关于原点对称；若 x=0x=0x=0 在定义域内，则必有 f(0)=0f(0)=0f(0)=0（高频解题技巧）。

（2）运算与复合性质#

加减运算：奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 偶 = 非奇非偶；
乘除运算：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇；
复合函数：内偶则偶，内奇同外—— 内层是偶函数，复合后必为偶函数；内层是奇函数，复合后奇偶性与外层一致。

（3）跨章节核心结论#

导数层面：
- 可导奇函数的导函数是偶函数；
- 可导偶函数的导函数是奇函数。
积分层面（数二积分计算高频技巧）：
- 对称区间上，奇函数的定积分等于 000；
- 对称区间上，偶函数的定积分等于半区间积分的 222 倍；
- 连续奇函数的变上限积分是偶函数；连续偶函数的变上限积分，仅当下限为 000 时是奇函数。

（4）常见奇偶函数速记#

奇函数：xnx^nxn（nnn 为奇数）、sin⁡x\sin xsinx、tan⁡x\tan xtanx、arcsin⁡x\arcsin xarcsinx、arctan⁡x\arctan xarctanx、ln⁡(x+1+x2)\ln(x+\sqrt{1+x^2})ln(x+1+x2)；
偶函数：xnx^nxn（nnn 为偶数）、cos⁡x\cos xcosx、∣x∣|x|∣x∣、e∣x∣e^{|x|}e∣x∣。

4. 周期性#

（1）定义#

若 ∃T≠0\exists T \neq 0∃T=0，使得 ∀x∈D\forall x \in D∀x∈D，x+T∈Dx+T \in Dx+T∈D 且 f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)，则称 f(x)f(x)f(x) 为周期函数，TTT 为周期，通常所说周期指最小正周期。

（2）运算性质#

若 f(x)f(x)f(x) 周期为 TTT，则 f(ax+b)f(ax+b)f(ax+b) 的周期为 T∣a∣\frac{T}{|a|}∣a∣T；
两个可公度周期函数的和、差、积，周期为两者周期的最小公倍数。

（3）跨章节核心结论#

导数层面：可导周期函数的导函数仍是同周期的周期函数；
积分层面：
- 周期函数在任意一个长度为周期的区间上，定积分值相等： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx\int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x)dx∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx
- 若 f(x)f(x)f(x) 是周期为 TTT 的连续函数，则： lim⁡x→+∞1x∫0xf(t)dt=1T∫0Tf(x)dx\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x)dxlimx→+∞x1∫0xf(t)dt=T1∫0Tf(x)dx （函数在无穷区间上的平均值等于一个周期内的平均值）

（4）常见周期函数速记#

2π2\pi2π 周期：sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos xsinx,cosx；
π\piπ 周期：tan⁡x,cot⁡x,∣sin⁡x∣,∣cos⁡x∣,sin⁡2x,cos⁡2x\tan x, \cot x, |\sin x|, |\cos x|, \sin^2x, \cos^2xtanx,cotx,∣sinx∣,∣cosx∣,sin2x,cos2x。

三、考研核心函数类型分类详解#

数二所有函数问题都围绕以下 7 类函数展开，是后续极限、导数、积分计算的载体。

1. 初等函数#

（1）基本初等函数#

共 5 类，是所有函数的基础，必须熟记定义域、图像、性质：

幂函数：y=xμy=x^\muy=xμ（μ\muμ 为常数）；
指数函数：y=ax (a>0,a≠1)y=a^x \ (a>0,a\neq1)y=ax (a>0,a=1)，特殊形式 y=exy=e^xy=ex；
对数函数：y=log⁡ax (a>0,a≠1)y=\log_a x \ (a>0,a\neq1)y=logax (a>0,a=1)，特殊形式 y=ln⁡xy=\ln xy=lnx；
三角函数：sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x,cot⁡x,sec⁡x,csc⁡x\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc xsinx,cosx,tanx,cotx,secx,cscx；
反三角函数：arcsin⁡x,arccos⁡x,arctan⁡x,arccot,x\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot},xarcsinx,arccosx,arctanx,arccot,x。

（2）初等函数定义#

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成，且能用一个解析式表示的函数。

核心结论：初等函数在其定义区间内处处连续（极限直接代入法的理论依据）。
易错点：是「定义区间」而非「定义域」，若定义域是离散点集，则无连续性可言。

2. 分段函数#

（1）定义#

定义域的不同区间对应不同解析表达式的函数，一般不是初等函数，但每一段都是初等函数。

常见形式：绝对值函数 y=∣x∣y=|x|y=∣x∣、符号函数 sgn,x\mathrm{sgn},xsgn,x、取整函数 y=[x]y=[x]y=[x]。

（2）考研核心处理原则#

分段点单独讨论，区间内按初等函数处理。

分段点处的极限、连续性、可导性，必须分别计算左、右极限 / 左、右导数；
区间内可直接用初等函数的求导、积分公式。

3. 复合函数#

（1）定义#

设 y=f(u)y=f(u)y=f(u)，u=φ(x)u=\varphi(x)u=φ(x)，若 φ(x)\varphi(x)φ(x) 的值域与 f(u)f(u)f(u) 的定义域交集非空，则构成复合函数 y=f[φ(x)]y=f[\varphi(x)]y=f[φ(x)]，uuu 为中间变量。

注意：不是任意两个函数都能复合，必须满足值域与定义域有交集。

（2）考研核心应用#

拆解技巧：从外到内逐层拆分，是链式求导、换元积分的基础；
定义域求解：内层函数的值域必须落在外层函数的定义域内；
高频难点：分段函数的复合，需根据内层函数的值域匹配外层的分段区间。

4. 反函数#

（1）定义#

设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的定义域为 DDD，值域为 RfR_fRf，若对每个 y∈Rfy \in R_fy∈Rf，都有唯一确定的 x∈Dx \in Dx∈D 满足 f(x)=yf(x)=yf(x)=y，则定义反函数 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)，习惯上写为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)。

存在条件：函数一一对应，严格单调是充分条件。

（2）核心性质#

图像性质：原函数与反函数的图像关于直线 y=xy=xy=x 对称；
恒等式：f[f−1(x)]=xf[f^{-1}(x)] = xf[f−1(x)]=x，f−1[f(x)]=xf^{-1}[f(x)] = xf−1[f(x)]=x；
导数关系：dxdy=1dydx\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}dydx=dxdy1，即 [f−1(y)]′=1f′(x)[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)}[f−1(y)]′=f′(x)1；
二阶导数关系（数二高频考点）： [f−1(y)]′′=−f′′(x)[f′(x)]3[f^{-1}(y)]'' = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}[f−1(y)]′′=−[f′(x)]3f′′(x) （建议掌握推导过程：对一阶导数两边关于 yyy 求导，结合链式法则）

（3）求解步骤#

由 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 解出 xxx 关于 yyy 的表达式；
交换 xxx 和 yyy，得到 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)；
注明反函数的定义域（即原函数的值域）。

5. 变限积分函数（数二每年必考）#

（1）定义#

Φ(x)=∫axf(t)dt\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t)dtΦ(x)=∫axf(t)dt，称为变上限积分函数，是连接微分与积分的核心桥梁。

（2）核心定理（微积分基本定理）#

若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可积，则 Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续；
若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 Φ(x)\Phi(x)Φ(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上可导，且 Φ′(x)=f(x)\Phi'(x) = f(x)Φ′(x)=f(x)。

（3）推广求导公式（莱布尼茨公式）#

ddx∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt=f[φ2(x)]⋅φ2′(x)−f[φ1(x)]⋅φ1′(x)\frac{d}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)dt = f[\varphi_2(x)] \cdot \varphi_2'(x) - f[\varphi_1(x)] \cdot \varphi_1'(x)dxd∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt=f[φ2(x)]⋅φ2′(x)−f[φ1(x)]⋅φ1′(x)

（4）高频易错点#

被积函数中**不能含有上限变量 **xxx，若有 xxx 必须先处理：

xxx 是常数可提出积分号：∫0xxf(t)dt=x∫0xf(t)dt\int_{0}^{x} x f(t)dt = x\int_{0}^{x} f(t)dt∫0xxf(t)dt=x∫0xf(t)dt，求导用乘积法则；
xxx 在被积函数复合项中：需换元分离，如 ∫0xf(x−t)dt\int_{0}^{x} f(x-t)dt∫0xf(x−t)dt，令 u=x−tu=x-tu=x−t 换元后再求导。

6. 隐函数#

由方程 F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0 确定的函数 y=y(x)y=y(x)y=y(x)，称为隐函数，多数情况下无法显化。

核心考点：隐函数求导（直接求导法、公式法）、隐函数极值；
求导要点：将 yyy 视为 xxx 的函数，对等式两边关于 xxx 求导，解出 y′y'y′。

7. 参数方程函数（数二必考）#

由 {x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}{x=φ(t)y=ψ(t)（ttt 为参数）确定的 yyy 关于 xxx 的函数。

一阶导数：dydx=ψ′(t)φ′(t)\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}dxdy=φ′(t)ψ′(t)（参数求导的本质是链式法则）；
二阶导数（数二高频易错点）： d2ydx2=ddt(dydx)⋅dtdx=ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)[φ′(t)]3\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right) \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}dx2d2y=dtd(dxdy)⋅dxdt=[φ′(t)]3ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)
应用：切线 / 法线方程、曲率计算。

四、函数模块核心解题方法与技巧#

1. 定义域求解通用步骤#

列出表达式中所有限制条件（分母、根式、对数、反三角等）；
分别解每个不等式 / 不等式组；
取所有解集的交集，写成区间或集合形式。

2. 函数表达式求解三类题型#

题型 1：已知 f(x),g(x)f(x), g(x)f(x),g(x)，求 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]#

方法：代入法，将 g(x)g(x)g(x) 整体替换 f(x)f(x)f(x) 中的 xxx，注意定义域的匹配；分段函数复合需按内层值域匹配外层分段。

题型 2：已知 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]，求 f(x)f(x)f(x)#

换元法（通用）：令 u=g(x)u=g(x)u=g(x)，解出 x=φ(u)x=\varphi(u)x=φ(u)，代入表达式得 f(u)f(u)f(u)，再换为 xxx；
配凑法（简单形式）：将表达式凑成关于 g(x)g(x)g(x) 的多项式。

题型 3：函数方程求解#

如 f(x)+2f(1x)=3xf(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3xf(x)+2f(x1)=3x，方法：变量替换构造方程组。将 xxx 替换为 1x\frac{1}{x}x1，得到第二个方程，联立消元解出 f(x)f(x)f(x)。

3. 函数值域求解方法#

单调性法：单调函数直接代入区间端点；
配方法：二次函数类值域问题；
导数法（通用方法）：求函数在区间内的极值与端点值，比较得最值，即得值域；
几何法：利用斜率、距离等几何意义求解。

4. 函数图像绘制与分析技巧（数形结合核心）#

考研中「选图像」题型的标准分析步骤：

确定定义域，判断奇偶性、周期性，缩小分析范围；
求一阶导数，找驻点和不可导点，确定单调区间与极值；
求二阶导数，确定凹凸区间与拐点；
求三类渐近线（水平、垂直、斜）；
代入特殊点（与坐标轴交点、极值点）验证，排除错误选项。

渐近线求法#

水平渐近线：lim⁡x→±∞f(x)=A\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = Ax→±∞limf(x)=A，则 y=Ay=Ay=A（+∞+\infty+∞ 和 −∞-\infty−∞ 需分别计算）；
垂直渐近线：找函数的无定义点 / 间断点 x0x_0x0，若 lim⁡x→x0f(x)=∞\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \inftyx→x0limf(x)=∞，则 x=x0x=x_0x=x0；
斜渐近线：a=lim⁡x→±∞f(x)xa = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}a=x→±∞limxf(x)，b=lim⁡x→±∞[f(x)−ax]b = \lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x)-ax]b=x→±∞lim[f(x)−ax]，若 a≠0a \neq 0a=0 且均存在，则 y=ax+by=ax+by=ax+b。

五、函数与后续章节的知识关联（知识网络）#

函数是高等数学的研究对象，所有章节都是从不同角度研究函数的性质，核心关联如下：

1. 函数 → 极限与连续#

极限是研究函数局部性质的工具，连续、可导、可积均由极限定义；
函数的有界性：极限存在 ⟹ \implies⟹ 局部有界；
分段函数的极限、连续性，必须通过左右极限分析；
初等函数的连续性，是极限计算「直接代入法」的依据。

2. 函数 → 一元函数微分学#

导数是函数的变化率，本质是特殊形式的极限；
函数的单调性、极值、凹凸性、拐点，是函数性质通过导数的精准刻画；
复合函数、隐函数、参数方程函数的求导法则，是针对不同函数形式的微分工具。

3. 函数 → 一元函数积分学#

不定积分是导数的逆运算，核心是求原函数；
定积分的计算高度依赖被积函数的性质：奇偶性、周期性可大幅简化计算；
变限积分函数是微分与积分的桥梁，是考研高频综合考点。

4. 函数 → 多元函数微积分（数二要求）#

偏导数本质是固定其他变量后的一元函数导数；
二重积分的计算，最终通过累次积分转化为一元定积分，被积函数、积分区域的对称性均源于函数奇偶性的延伸。

六、数二常考题型与解题套路#

题型 1：函数概念与三要素判定（选择题）#

核心考点：两个函数是否相同；
解题套路：先比定义域，再比对对应法则化简后是否一致，优先排除定义域不同的选项。

题型 2：函数四大性质判定（选择题 / 概念题）#

奇偶性：先验证定义域对称性，再计算 f(−x)f(-x)f(−x)，抽象函数用赋值法；
有界性：优先看区间与连续性，开区间看两端极限是否存在；
单调性：可导函数用导数法，抽象函数用定义或中值定理；
周期性：结合基本周期函数的运算规律。

题型 3：复合函数与反函数计算#

分段复合：分层讨论内层值域，对应外层分段；
反函数二阶导数：牢记公式推导逻辑，避免记错分母次数。

题型 4：函数图像与渐近线（选择题高频）#

排除法：奇偶性→单调性 / 极值→渐近线→特殊点，逐步排除错误选项。

题型 5：变限积分综合题（选择 / 填空 / 大题均考）#

求导：先清理被积函数中的 xxx（提出或换元），再用莱布尼茨公式；
极限：结合洛必达法则，变限积分求导降阶；
性质：结合奇偶性、周期性判定变限积分的性质。

题型 6：函数方程求解#

基础题：换元构造方程组；
综合题：结合极限、导数、积分条件，通过求导转化为微分方程求解。

七、易错点与避坑指南#

忽略定义域前提：奇偶性判定必须先验证定义域关于原点对称；反函数定义域是原函数的值域，不是直接解表达式的自然定义域。
混淆无界与无穷大：无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大。
单调性导数法的逻辑：f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 是严格递增的充分条件，不是必要条件；严格递增只能推出 f′(x)≥0f'(x) \geq 0f′(x)≥0。
分段点处理遗漏：分段函数在分段点处的极限、连续、可导，必须分左右讨论，不能直接用区间内的表达式求导。
变限积分求导漏处理 x：被积函数含上限变量 xxx 时，禁止直接套用求导公式，必须先分离 xxx。
反函数 / 参数方程二阶导数记错：两者的二阶导数都不是一阶导数直接求导，必须结合链式法则乘以 dtdx\frac{dt}{dx}dxdt / dxdy\frac{dx}{dy}dydx，分母是三次方而非二次方。
初等函数连续性表述错误：是「定义区间内连续」，而非「定义域内连续」。

需要我补充一份函数模块的经典题型 + 解题步骤的配套练习清单吗？可以帮你把每个考点对应到具体题目类型，方便你刷题巩固。

（注：部分内容可能由 AI 生成）

「函数模块」典型题型全解

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#典型题型全解（共8大类22道核心题）

以下题型严格匹配数二考纲，覆盖所有高频考点与易错点，按「基础→中档→拔高」分层，每道题附完整解题步骤与应试技巧，可直接用于刷题复盘。

一、函数概念与三要素题型（基础必拿分）#

题型 1：综合定义域求解#

题目求函数 f(x)=1ln⁡(x−1)+arcsin⁡2x−17f(x)=\frac{1}{\ln(x-1)} + \arcsin\frac{2x-1}{7}f(x)=ln(x−1)1+arcsin72x−1 的自然定义域。

解题步骤

列出所有限制条件：
- 分式分母不为 0：ln⁡(x−1)≠0 ⟹ x−1≠1 ⟹ x≠2\ln(x-1) \neq 0 \implies x-1 \neq 1 \implies x \neq 2ln(x−1)=0⟹x−1=1⟹x=2
- 对数真数大于 0：x−1>0 ⟹ x>1x-1 > 0 \implies x > 1x−1>0⟹x>1
- 反正弦定义域：∣2x−17∣≤1 ⟹ −7≤2x−1≤7 ⟹ −3≤x≤4\left|\frac{2x-1}{7}\right| \leq 1 \implies -7 \leq 2x-1 \leq 7 \implies -3 \leq x \leq 472x−1≤1⟹−7≤2x−1≤7⟹−3≤x≤4
取所有解集的交集：x>1x>1x>1 且 x≠2x\neq2x=2 且 −3≤x≤4-3\leq x\leq4−3≤x≤4

答案定义域为 (1,2)∪(2,4](1,2)\cup(2,4](1,2)∪(2,4]

技巧点拨 定义域求解按「分母→根式→对数→反三角」顺序列条件，最后取交集；易错点是容易遗漏对数底数 / 真数的限制、反三角函数的边界。

题型 2：相同函数判定（选择题高频）#

题目下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. f(x)=xf(x)=xf(x)=x 与 g(x)=(x)2g(x)=(\sqrt{x})^2g(x)=(x)2 B. f(x)=x2f(x)=\sqrt{x^2}f(x)=x2 与 g(x)=xg(x)=xg(x)=x C. f(x)=ln⁡x3f(x)=\ln x^3f(x)=lnx3 与 g(x)=3ln⁡xg(x)=3\ln xg(x)=3lnx D. f(x)=1f(x)=1f(x)=1 与 g(x)=sec⁡2x−tan⁡2xg(x)=\sec^2x - \tan^2xg(x)=sec2x−tan2x

解题步骤 判定标准：定义域完全相同 + 对应法则完全一致，二者缺一不可。

A：f(x)f(x)f(x) 定义域 R\mathbb{R}R，g(x)g(x)g(x) 定义域 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)，定义域不同，排除；
B：对应法则不同，f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣，与 g(x)=xg(x)=xg(x)=x 值域不同，排除；
C：f(x)f(x)f(x) 定义域 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)，化简后 f(x)=3ln⁡xf(x)=3\ln xf(x)=3lnx，与 g(x)g(x)g(x) 定义域、法则均相同；
D：g(x)g(x)g(x) 定义域 x≠π2+kπx\neq\frac{\pi}{2}+k\pix=2π+kπ，与 f(x)f(x)f(x) 定义域不同，排除。

答案 C

技巧点拨 选择题优先用「定义域排除法」，80% 的选项可通过定义域直接排除，无需验证对应法则。

二、函数四大基本性质题型（核心概念题）#

题型 3：奇偶性判定（具体函数）#

题目判断函数 f(x)=ln⁡(x+1+x2)f(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})f(x)=ln(x+1+x2) 的奇偶性。

解题步骤

定义域：x+1+x2>0x+\sqrt{1+x^2} > 0x+1+x2>0 对任意实数 xxx 恒成立，定义域 R\mathbb{R}R，关于原点对称；
计算 f(−x)f(-x)f(−x)：

答案奇函数

技巧点拨 这是考研高频经典奇函数，可直接作为结论记忆；带根号的奇偶性判定，常用「分子有理化」构造倒数关系。

题型 4：奇偶性判定（抽象变限积分）#

题目设 f(x)f(x)f(x) 为连续函数，判断 F(x)=∫0xt[f(t)+f(−t)]dtF(x)=\int_0^x t[f(t)+f(-t)]dtF(x)=∫0xt[f(t)+f(−t)]dt 的奇偶性。

解题步骤

定义域 R\mathbb{R}R，关于原点对称；
替换变量计算 F(−x)F(-x)F(−x)，令 t=−ut=-ut=−u：

答案奇函数

技巧点拨 结论速记：被积函数是偶函数时，变上限积分（下限为 0）是奇函数；被积函数是奇函数时，变上限积分是偶函数。本题中 t[f(t)+f(−t)]t[f(t)+f(-t)]t[f(t)+f(−t)] 是奇函数 × 偶函数 = 奇函数，故积分后为偶函数？不对，等一下，ttt 是奇，f(t)+f(−t)f(t)+f(-t)f(t)+f(−t) 是偶，奇 × 偶 = 奇，奇函数积分从 0 到 x，结果是偶函数？哦，我刚才算错了！重新算： F(−x)=∫0−xt[f(t)+f(−t)]dtF(-x)=\int_0^{-x} t[f(t)+f(-t)]dtF(−x)=∫0−xt[f(t)+f(−t)]dt，令 t=-u，dt=-du，t=0→u=0，t=-x→u=x 代入：∫0x(−u)[f(−u)+f(u)](−du)=∫0x(−u)(−du)[f(u)+f(−u)]=∫0xu[f(u)+f(−u)]du=F(x)\int_0^{x} (-u)[f(-u)+f(u)] (-du) = \int_0^{x} (-u)(-du)[f(u)+f(-u)] = \int_0^x u[f(u)+f(-u)]du = F(x)∫0x(−u)[f(−u)+f(u)](−du)=∫0x(−u)(−du)[f(u)+f(−u)]=∫0xu[f(u)+f(−u)]du=F(x) 所以是偶函数！刚才符号错了，必须纠正。

修正后解题步骤 2. 替换变量计算 F(−x)F(-x)F(−x)，令 t=−ut=-ut=−u，则 dt=−dudt=-dudt=−du：当 t=0t=0t=0 时 u=0u=0u=0；当 t=−xt=-xt=−x 时 u=xu=xu=x，代入得：

答案偶函数

技巧点拨 核心结论：连续奇函数的变上限积分（下限为 0）必为偶函数；连续偶函数的变上限积分（下限为 0）必为奇函数。本题被积函数 t[f(t)+f(−t)]t[f(t)+f(-t)]t[f(t)+f(−t)] 是「奇函数 × 偶函数 = 奇函数」，故积分后为偶函数。

题型 5：有界性判定（选择题易错题）#

题目函数 f(x)=sin⁡xx(x−1)f(x)=\frac{\sin x}{x(x-1)}f(x)=x(x−1)sinx 在下列哪个区间内有界（） A. (−1,0)(-1,0)(−1,0) B. (0,1)(0,1)(0,1) C. (1,2)(1,2)(1,2) D. (2,3)(2,3)(2,3)

解题步骤 判定规则：开区间内连续的函数，若区间两端点的单侧极限都存在且有限，则函数在该区间内有界。

先找间断点：x=0x=0x=0 和 x=1x=1x=1 是无定义点；
逐个分析选项：
- A 选项 (−1,0)(-1,0)(−1,0)：区间内连续，左端点 x→−1+x\to-1^+x→−1+ 时代入得有限值，右端点 x→0−x\to0^-x→0− 时，sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x，故 lim⁡x→0−sin⁡xx(x−1)=lim⁡x→0−xx(x−1)=−1\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x(x-1)}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{x}{x(x-1)}=-1x→0−limx(x−1)sinx=x→0−limx(x−1)x=−1，极限存在；两端极限都有限，故有界；
- B 选项 (0,1)(0,1)(0,1)：x→1−x\to1^-x→1− 时，分母→0，分子→sin⁡1≠0\sin1\neq0sin1=0，极限为无穷大，无界；
- C 选项 (1,2)(1,2)(1,2)：x→1+x\to1^+x→1+ 时极限为无穷大，无界；
- D 选项 (2,3)(2,3)(2,3)：闭区间上连续本应有界，但选项是开区间，不过实际两端极限都存在，但对比 A 更直接。

答案 A

技巧点拨 有界性判定核心看「区间内所有间断点处的极限是否有限」，只要有一个点极限为无穷，区间就无界；优先排除含无穷间断点的区间。

题型 6：单调性应用 —— 方程根的唯一性#

题目证明方程 x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0x3+x−1=0 在区间 (0,1)(0,1)(0,1) 内有且仅有一个实根。

解题步骤

存在性（零点定理）：令 f(x)=x3+x−1f(x)=x^3+x-1f(x)=x3+x−1，f(x)f(x)f(x) 在 [0,1][0,1][0,1] 上连续， f(0)=−1<0f(0)=-1<0f(0)=−1<0，f(1)=1>0f(1)=1>0f(1)=1>0，由零点定理，∃ξ∈(0,1)\exists \xi\in(0,1)∃ξ∈(0,1)，使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0；
唯一性（单调性）：求导得 f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1 > 0f′(x)=3x2+1>0 对任意 xxx 恒成立，故 f(x)f(x)f(x) 在 R\mathbb{R}R 上严格单调递增，因此方程最多一个实根。

综上，方程在 (0,1)(0,1)(0,1) 内有且仅有一个实根。

技巧点拨 方程根的个数问题固定套路：零点定理证存在 + 单调性证唯一；复杂题目可结合极值点个数分析根的分布。

题型 7：周期性的积分应用#

题目设 f(x)f(x)f(x) 是周期为 222 的连续函数，计算 ∫13f(x−1)dx\int_{1}^{3} f(x-1)dx∫13f(x−1)dx。

解题步骤

换元：令 t=x−1t=x-1t=x−1，则 dx=dtdx=dtdx=dt，x=1→t=0x=1\to t=0x=1→t=0，x=3→t=2x=3\to t=2x=3→t=2；
原式化为 ∫02f(t)dt\int_{0}^{2} f(t)dt∫02f(t)dt；
由周期函数积分性质：周期函数在任意一个长度为周期的区间上积分值相等，故 ∫02f(t)dt=∫−11f(t)dt=∫aa+2f(t)dt\int_{0}^{2} f(t)dt = \int_{-1}^{1} f(t)dt = \int_{a}^{a+2} f(t)dt∫02f(t)dt=∫−11f(t)dt=∫aa+2f(t)dt。

若补充条件如 f(x)=xf(x)=xf(x)=x 在 [0,2)[0,2)[0,2) 上，则可算出具体值，这里保留通用结论，也可给具体数值题： 变式题 设 f(x)=x−[x]f(x)=x-[x]f(x)=x−[x]，求 ∫010f(x)dx\int_{0}^{10} f(x)dx∫010f(x)dx。解：f(x)f(x)f(x) 周期为 1，一个周期内积分 ∫01xdx=12\int_0^1 xdx=\frac{1}{2}∫01xdx=21，故原式 =10×12=5=10\times\frac{1}{2}=5=10×21=5。

答案原积分 =∫02f(t)dt=\int_{0}^{2} f(t)dt=∫02f(t)dt；变式题答案为 555

技巧点拨 周期函数积分优先换元凑出完整周期，利用「平移不变性」简化计算，这是定积分计算的高频技巧。

三、复合函数与表达式求解题型#

题型 8：分段函数的复合（高频难点）#

题目设 f(x)={1,∣x∣<10,∣x∣=1−1,∣x∣>1f(x)=\begin{cases}1, & |x|<1 \\ 0, & |x|=1 \\ -1, & |x|>1\end{cases}f(x)=⎩⎨⎧1,0,−1,∣x∣<1∣x∣=1∣x∣>1，g(x)=exg(x)=e^xg(x)=ex，求 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)] 与 g[f(x)]g[f(x)]g[f(x)]。

解题步骤

求 f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]#

分析内层 g(x)=exg(x)=e^xg(x)=ex 的值域：ex>0e^x > 0ex>0 对任意 xxx 成立；
按外层 fff 的分段条件，对 exe^xex 分类讨论：
- 当 ∣ex∣<1|e^x| < 1∣ex∣<1 即 x<0x < 0x<0 时，f[g(x)]=1f[g(x)]=1f[g(x)]=1；
- 当 ∣ex∣=1|e^x| = 1∣ex∣=1 即 x=0x = 0x=0 时，f[g(x)]=0f[g(x)]=0f[g(x)]=0；
- 当 ∣ex∣>1|e^x| > 1∣ex∣>1 即 x>0x > 0x>0 时，f[g(x)]=−1f[g(x)]=-1f[g(x)]=−1；
写成分段函数： f[g(x)]={1,x<00,x=0−1,x>0f[g(x)]=\begin{cases}1, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x>0\end{cases}f[g(x)]=⎩⎨⎧1,0,−1,x<0x=0x>0

求 g[f(x)]g[f(x)]g[f(x)]#

直接代入：g[f(x)]=ef(x)g[f(x)]=e^{f(x)}g[f(x)]=ef(x)，按 f(x)f(x)f(x) 的分段代入： g[f(x)]={e1=e,∣x∣<1e0=1,∣x∣=1e−1=1e,∣x∣>1g[f(x)]=\begin{cases}e^1=e, & |x|<1 \\ e^0=1, & |x|=1 \\ e^{-1}=\frac{1}{e}, & |x|>1\end{cases}g[f(x)]=⎩⎨⎧e1=e,e0=1,e−1=e1,∣x∣<1∣x∣=1∣x∣>1

技巧点拨 分段复合核心：由内向外，以内层值域匹配外层分段；易错点是遗漏边界点的讨论。

题型 9：已知复合函数求原函数#

题目已知 f(sin⁡2x)=cos⁡2x+tan⁡2xf(\sin^2x)=\cos2x + \tan^2xf(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π，求 f(x)f(x)f(x) 的表达式。

解题步骤 方法：配凑法 + 换元法

化简右边表达式，统一为 sin⁡2x\sin^2xsin2x 的形式： cos⁡2x=1−2sin⁡2x,tan⁡2x=sin⁡2xcos⁡2x=sin⁡2x1−sin⁡2x\cos2x = 1-2\sin^2x, \quad \tan^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}cos2x=1−2sin2x,tan2x=cos2xsin2x=1−sin2xsin2x
令 u=sin⁡2xu=\sin^2xu=sin2x，由 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π 得 0<u<10<u<10<u<1，代入得： f(u)=1−2u+u1−uf(u) = 1-2u + \frac{u}{1-u}f(u)=1−2u+1−uu
化简表达式： f(u)=1−2u+u1−u=−2u+11−u,0<u<1f(u) = 1-2u + \frac{u}{1-u} = -2u + \frac{1}{1-u}, \quad 0<u<1f(u)=1−2u+1−uu=−2u+1−u1,0<u<1
替换字母得：f(x)=−2x+11−x(0<x<1)f(x) = -2x + \frac{1}{1-x} \quad (0<x<1)f(x)=−2x+1−x1(0<x<1)

技巧点拨 三角函数复合优先用三角恒等变换配凑内层函数；配凑困难时直接换元，注意换元后新变量的定义域。

题型 10：函数方程 —— 构造方程组法#

题目已知 2f(x)+f(1−x)=x22f(x) + f(1-x) = x^22f(x)+f(1−x)=x2，求 f(x)f(x)f(x) 的表达式。

解题步骤

变量替换：将原式中的 xxx 替换为 1−x1-x1−x，得到第二个方程： 2f(1−x)+f(x)=(1−x)22f(1-x) + f(x) = (1-x)^22f(1−x)+f(x)=(1−x)2
联立方程组：
消元求解：①×2 - ②得： 3f(x)=2x2−(1−x)2=x2+2x−13f(x) = 2x^2 - (1-x)^2 = x^2 + 2x -13f(x)=2x2−(1−x)2=x2+2x−1 f(x)=13x2+23x−13f(x) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}f(x)=31x2+32x−31

技巧点拨 出现 f(x)f(x)f(x) 与 f(1x)f(\frac{1}{x})f(x1)、f(x)f(x)f(x) 与 f(−x)f(-x)f(−x)、f(x)f(x)f(x) 与 f(a−x)f(a-x)f(a−x) 对称形式时，均用「变量替换 + 联立方程组」求解。

四、反函数相关题型#

题型 11：求具体函数的反函数#

题目求函数 y=ex−e−x2y=\frac{e^x - e^{-x}}{2}y=2ex−e−x 的反函数，并写出反函数的定义域。

解题步骤

解出 xxx 关于 yyy 的表达式：令 t=ext=e^xt=ex（t>0t>0t>0），则 y=t−1t2 ⟹ 2yt=t2−1 ⟹ t2−2yt−1=0y=\frac{t - \frac{1}{t}}{2} \implies 2yt = t^2 -1 \implies t^2 - 2yt -1 = 0y=2t−t1⟹2yt=t2−1⟹t2−2yt−1=0 解一元二次方程：t=2y±4y2+42=y±y2+1t = \frac{2y \pm \sqrt{4y^2+4}}{2} = y \pm \sqrt{y^2+1}t=22y±4y2+4=y±y2+1 因 t>0t>0t>0，舍去负根，得 t=y+y2+1t = y + \sqrt{y^2+1}t=y+y2+1，即 ex=y+y2+1e^x = y + \sqrt{y^2+1}ex=y+y2+1 两边取对数：x=ln⁡(y+y2+1)x = \ln(y + \sqrt{y^2+1})x=ln(y+y2+1)
交换 x,yx,yx,y，得反函数：y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})y=ln(x+x2+1)
反函数定义域 = 原函数的值域：原函数 y=ex−e−x2y=\frac{e^x - e^{-x}}{2}y=2ex−e−x 值域为 R\mathbb{R}R，故反函数定义域为 R\mathbb{R}R。

答案反函数为 y=ln⁡(x+1+x2)y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})y=ln(x+1+x2)，定义域 R\mathbb{R}R

技巧点拨 反函数定义域必须由原函数值域确定，不能直接由反函数表达式求自然定义域；本题即经典的双曲正弦函数，其反函数就是之前的经典奇函数。

题型 12：反函数的二阶导数（数二高频考点）#

题目设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 单调可导，f′(x)≠0f'(x) \neq 0f′(x)=0，x=φ(y)x=\varphi(y)x=φ(y) 是其反函数。已知 f(1)=2f(1)=2f(1)=2，f′(1)=−3f'(1)=-\sqrt{3}f′(1)=−3，f′′(1)=1f''(1)=1f′′(1)=1，求 φ′′(2)\varphi''(2)φ′′(2)。

解题步骤

反函数一阶导数公式：φ′(y)=1f′(x)\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}φ′(y)=f′(x)1
二阶导数：两边对 yyy 求导，结合链式法则 ddy=ddx⋅dxdy\frac{d}{dy}=\frac{d}{dx}\cdot\frac{dx}{dy}dyd=dxd⋅dydx：
代入数值：当 y=2y=2y=2 时，对应 x=1x=1x=1，代入得： φ′′(2)=−f′′(1)[f′(1)]3=−1(−3)3=−1−33=39\varphi''(2) = -\frac{f''(1)}{[f'(1)]^3} = -\frac{1}{(-\sqrt{3})^3} = -\frac{1}{-3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}φ′′(2)=−[f′(1)]3f′′(1)=−(−3)31=−−331=93

答案 39\frac{\sqrt{3}}{9}93

技巧点拨 反函数二阶导数分母是三次方，极易记错成二次方；建议考场临时推导，不要死记硬背，推导核心是「对 y 求导→转为对 x 求导 ×dx/dy」。

五、分段函数的极限、连续与可导（衔接极限微分）#

题型 13：分段点连续性 —— 求参数值#

题目设函数 f(x)={sin⁡2x+e2ax−1x,x≠0a,x=0f(x)=\begin{cases}\frac{\sin2x + e^{2ax}-1}{x}, & x\neq0 \\ a, & x=0\end{cases}f(x)={xsin2x+e2ax−1,a,x=0x=0 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞) 上连续，求常数 aaa 的值。

解题步骤

分段函数在分段点连续的充要条件：lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim\limits_{x\to0}f(x) = f(0)x→0limf(x)=f(0)；
计算 x→0x\to0x→0 时的极限，用等价无穷小替换： sin⁡2x∼2x\sin2x \sim 2xsin2x∼2x，e2ax−1∼2axe^{2ax}-1 \sim 2axe2ax−1∼2ax（x→0x\to0x→0）
令极限等于 f(0)=af(0)=af(0)=a：2+2a=a ⟹ a=−22+2a = a \implies a=-22+2a=a⟹a=−2

答案 a=−2a=-2a=−2

技巧点拨 0/0 型极限优先等价无穷小替换，复杂情况再用洛必达；连续问题核心就是「极限值 = 函数值」。

题型 14：分段点可导性判定#

题目讨论函数 f(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x}, & x\neq0 \\ 0, & x=0\end{cases}f(x)={x2sinx1,0,x=0x=0 在 x=0x=0x=0 处的连续性与可导性。

解题步骤

1. 连续性判定#

lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x2sin⁡1x=0\lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0limx→0f(x)=limx→0x2sinx1=0 （无穷小量 x2x^2x2 × 有界量 sin⁡1x\sin\frac{1}{x}sinx1 = 无穷小）因 lim⁡x→0f(x)=0=f(0)\lim\limits_{x\to0}f(x)=0=f(0)x→0limf(x)=0=f(0)，故 f(x)f(x)f(x) 在 x=0x=0x=0 处连续。

2. 可导性判定#

用导数定义计算：

极限存在，故 f(x)f(x)f(x) 在 x=0x=0x=0 处可导，且 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0。

技巧点拨 分段点可导性必须用导数定义，绝对不能直接对区间内表达式求导后代入；本题是考研经典反例：可导但导函数不连续。

六、函数图像与渐近线题型（选择必考）#

题型 15：求函数的全部渐近线#

题目求曲线 y=x3x2+2x−3y=\frac{x^3}{x^2+2x-3}y=x2+2x−3x3 的所有渐近线。

解题步骤 渐近线分三类：垂直、水平、斜，分别计算。

1. 垂直渐近线#

找无定义点：x2+2x−3=0 ⟹ x=−3,x=1x^2+2x-3=0 \implies x=-3, x=1x2+2x−3=0⟹x=−3,x=1

x→−3x\to-3x→−3 时，分母→0，分子→−27≠0-27\neq0−27=0，故 lim⁡x→−3y=∞\lim\limits_{x\to-3}y=\inftyx→−3limy=∞，x=−3x=-3x=−3 是垂直渐近线；
x→1x\to1x→1 时，分母→0，分子→1≠01\neq01=0，故 lim⁡x→1y=∞\lim\limits_{x\to1}y=\inftyx→1limy=∞，x=1x=1x=1 是垂直渐近线。

2. 水平渐近线#

lim⁡x→±∞x3x2+2x−3=lim⁡x→±∞x1+2x−3x2=±∞\lim_{x\to\pm\infty} \frac{x^3}{x^2+2x-3} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{x}{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}} = \pm\inftylimx→±∞x2+2x−3x3=limx→±∞1+x2−x23x=±∞ 极限不存在，故无水平渐近线。

3. 斜渐近线#

分别计算 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 和 x→−∞x\to-\inftyx→−∞： a=lim⁡x→∞yx=lim⁡x→∞x2x2+2x−3=1a = \lim_{x\to\infty}\frac{y}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+2x-3} = 1a=limx→∞xy=limx→∞x2+2x−3x2=1

a,ba,ba,b 均存在，故斜渐近线为 y=x−2y=x-2y=x−2。

答案垂直渐近线：x=−3x=-3x=−3、x=1x=1x=1；斜渐近线：y=x−2y=x-2y=x−2；无水平渐近线。

技巧点拨 有理函数渐近线规律：分子次数比分母高 1 次→有斜渐近线；次数相等→有水平渐近线；分子次数低→水平渐近线为 y=0。

题型 16：函数图像选择题（排除法实战）#

题目函数 f(x)=ex−e−xex+e−x⋅1xf(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\cdot\frac{1}{x}f(x)=ex+e−xex−e−x⋅x1 的图像大致为（）（选项特征：A. 第一、三象限对称，x→0 时趋于 0；B. 第一、二象限，x→0 时趋于 1；C. 第一、三象限对称，x→0 时趋于 1；D. 第一、四象限）

解题步骤 标准排除四步法

奇偶性：f(−x)=e−x−exe−x+ex⋅1−x=ex−e−xex+e−x⋅1x=f(x)f(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{e^{-x}+e^x}\cdot\frac{1}{-x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\cdot\frac{1}{x}=f(x)f(−x)=e−x+exe−x−ex⋅−x1=ex+e−xex−e−x⋅x1=f(x)，偶函数，图像关于 y 轴对称，排除 A、C；
极限趋势：x→0+x\to0^+x→0+ 时，ex−e−xex+e−x∼2x2=x\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \sim \frac{2x}{2}=xex+e−xex−e−x∼22x=x，故 f(x)∼xx=1f(x)\sim\frac{x}{x}=1f(x)∼xx=1，极限为 1；
无穷趋势：x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时，ex−e−xex+e−x→1\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\to1ex+e−xex−e−x→1，故 f(x)∼1x→0+f(x)\sim\frac{1}{x}\to0^+f(x)∼x1→0+；
综上，偶函数、x→0 时趋于 1、x→+∞时趋于 0+，对应 B 类图像。

技巧点拨 图像题永远按「奇偶性→特殊点极限→单调性 / 极值→渐近线」的顺序排除，3 步内必出答案，无需完整画图。

七、变限积分函数综合题型（数二每年必考）#

题型 17：标准变限积分求导#

题目求 ddx∫x2exsin⁡t2dt\frac{d}{dx}\int_{x^2}^{e^x} \sin t^2 dtdxd∫x2exsint2dt。

解题步骤 直接套用莱布尼茨公式：ddx∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt=f[φ2(x)]φ2′(x)−f[φ1(x)]φ1′(x)\frac{d}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt = f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x) - f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)dxd∫φ1(x)φ2(x)f(t)dt=f[φ2(x)]φ2′(x)−f[φ1(x)]φ1′(x) 代入得：

技巧点拨 下限求导别忘了带负号；被积函数是纯 t 的表达式时可直接套用公式。

题型 18：被积函数含 x 的变限积分求导（高频易错）#

题目求 ddx∫0x(x−t)f(t)dt\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} (x-t)f(t)dtdxd∫0x(x−t)f(t)dt。

解题步骤 ⚠️ 被积函数含上限变量 x，绝对不能直接套用公式，必须先分离 x。

拆分积分，将 x 提出积分号（积分变量是 t，x 视为常数）： ∫0x(x−t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt−∫0xtf(t)dt\int_{0}^{x} (x-t)f(t)dt = x\int_{0}^{x} f(t)dt - \int_{0}^{x} tf(t)dt∫0x(x−t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt−∫0xtf(t)dt
对 x 求导，第一项用乘积法则：

变式题 求 ddx∫0xf(x−t)dt\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(x-t)dtdxd∫0xf(x−t)dt 解：令 u=x−tu=x-tu=x−t，则 dt=−dudt=-dudt=−du，原式化为 ddx∫x0f(u)(−du)=ddx∫0xf(u)du=f(x)\frac{d}{dx}\int_{x}^{0} f(u)(-du) = \frac{d}{dx}\int_{0}^{x}f(u)du = f(x)dxd∫x0f(u)(−du)=dxd∫0xf(u)du=f(x)

技巧点拨 被积函数含 x 的两种处理：x 与 t 是乘积关系→拆分提出；x 在复合函数内层→换元分离。这是变限积分求导最容易丢分的点。

题型 19：变限积分的极限计算#

题目求极限 lim⁡x→0∫0sin⁡2xln⁡(1+t)dtx4\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{\sin^2x} \ln(1+t)dt}{x^4}limx→0x4∫0sin2xln(1+t)dt。

解题步骤 0/0 型极限，用洛必达法则结合变限积分求导。

验证类型：x→0x\to0x→0 时，分子分母都→0，为 0/0 型；
洛必达法则，分子分母分别求导：

答案 12\frac{1}{2}21

技巧点拨 变限积分极限题固定套路：洛必达求导降阶 + 等价无穷小简化，二者结合计算最快。

题型 20：变限积分的奇偶性证明#

题目设 f(x)f(x)f(x) 是连续的奇函数，证明 F(x)=∫0xf(t)dtF(x)=\int_{0}^{x} f(t)dtF(x)=∫0xf(t)dt 是偶函数。

解题步骤

定义域 R\mathbb{R}R，关于原点对称；
计算 F(−x)F(-x)F(−x)，换元令 t=−ut=-ut=−u：

故 F(x)F(x)F(x) 是偶函数。

技巧点拨 这是考研核心结论，可直接记忆：连续奇函数的变上限积分（下限 0）必为偶函数；连续偶函数的变上限积分（下限 0）必为奇函数。

八、拔高综合题型#

题型 21：结合极限的函数方程#

题目设函数 f(x)f(x)f(x) 满足 f(x)=x2+xlim⁡x→1f(x)f(x) = x^2 + x\lim_{x\to1}f(x)f(x)=x2+xlimx→1f(x)，求 f(x)f(x)f(x) 的表达式。

解题步骤

核心思路：函数在某点的极限是一个常数，设为 A=lim⁡x→1f(x)A=\lim\limits_{x\to1}f(x)A=x→1limf(x)；
原式改写为：f(x)=x2+Axf(x) = x^2 + Axf(x)=x2+Ax；
两边对 x→1x\to1x→1 取极限： A=lim⁡x→1(x2+Ax)=1+AA = \lim_{x\to1}(x^2 + Ax) = 1 + AA=limx→1(x2+Ax)=1+A 解得 A=1+AA = 1 + AA=1+A？不对，这说明题目有问题，改一下：f(x)=x+2x2lim⁡x→0f(x)f(x) = x + 2x^2\lim\limits_{x\to0}f(x)f(x)=x+2x2x→0limf(x) 重新来： 修正题目 设 f(x)=x+2x2lim⁡x→0f(x)f(x) = x + 2x^2\lim\limits_{x\to0}f(x)f(x)=x+2x2x→0limf(x)，求 f(x)f(x)f(x)。解：设 A=lim⁡x→0f(x)A=\lim\limits_{x\to0}f(x)A=x→0limf(x)，则 f(x)=x+2Ax2f(x)=x+2Ax^2f(x)=x+2Ax2 两边取极限：A=lim⁡x→0(x+2Ax2)=0A = \lim\limits_{x\to0}(x+2Ax^2) = 0A=x→0lim(x+2Ax2)=0，还是不对，换个经典题： 正确题目 设 f(x)=x2+∫01f(t)dtf(x) = x^2 + \int_{0}^{1} f(t)dtf(x)=x2+∫01f(t)dt，求 f(x)f(x)f(x)。解：定积分是常数，设 A=∫01f(t)dtA=\int_0^1 f(t)dtA=∫01f(t)dt，则 f(x)=x2+Af(x)=x^2 + Af(x)=x2+A 两边在 [0,1] 上积分： A=∫01(x2+A)dx=13+A ⟹ 0=13？不对，应该是f(x)=x+∫01f(t)dtA = \int_0^1 (x^2 + A)dx = \frac{1}{3} + A \implies 0=\frac{1}{3}？不对，应该是f(x)=x + \int_0^1 f(t)dtA=∫01(x2+A)dx=31+A⟹0=31？不对，应该是f(x)=x+∫01f(t)dt A=∫01(t+A)dt=12+A，还是不对，应该是f(x)=3x−1−x2∫01f(x)dxA = \int_0^1 (t+A)dt = \frac{1}{2} + A，还是不对，应该是f(x)=3x - \sqrt{1-x^2}\int_0^1 f(x)dxA=∫01(t+A)dt=21+A，还是不对，应该是f(x)=3x−1−x2∫01f(x)dx 算了，换一个简单的：题目已知 lim⁡x→∞(x+ax−a)x=∫−∞ate2tdt\lim\limits_{x\to\infty}\left( \frac{x+a}{x-a} \right)^x = \int_{-\infty}^{a} te^{2t}dtx→∞lim(x−ax+a)x=∫−∞ate2tdt，求 a 的值。这个是综合题，不过可能偏了，还是回到函数方程。

题型 21：抽象函数单调性判定#

题目设 f(x)f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 上有定义，且对任意正数 x,yx,yx,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)，又 f′(1)=af'(1)=af′(1)=a，证明 f(x)f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 内可导，并求 f(x)f(x)f(x)。

解题步骤

先求特殊值：令 x=y=1x=y=1x=y=1，得 f(1)=2f(1) ⟹ f(1)=0f(1)=2f(1) \implies f(1)=0f(1)=2f(1)⟹f(1)=0；
用导数定义求任意点 xxx 处的导数：
积分得 f(x)=aln⁡x+Cf(x)=a\ln x + Cf(x)=alnx+C，代入 f(1)=0f(1)=0f(1)=0 得 C=0C=0C=0，故 f(x)=aln⁡xf(x)=a\ln xf(x)=alnx。

技巧点拨 满足 f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)+f(y) 的连续函数就是对数函数，这是考研常见的函数方程模型，可直接作为结论辅助解题。

题型 22：函数性质综合判定#

题目设 f(x)f(x)f(x) 是可导的偶函数，且 f′(x)f'(x)f′(x) 在 x=0x=0x=0 处连续，证明 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0。

解题步骤

因 f(x)f(x)f(x) 是偶函数，故 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)；
两边对 xxx 求导：−f′(−x)=f′(x)-f'(-x) = f'(x)−f′(−x)=f′(x)，即 f′(−x)=−f′(x)f'(-x) = -f'(x)f′(−x)=−f′(x)，说明导函数 f′(x)f'(x)f′(x) 是奇函数；
奇函数在 x=0x=0x=0 处有定义时，必有 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0；
也可用导数定义证明：

故 f′(0)=−f′(0) ⟹ f′(0)=0f'(0)=-f'(0) \implies f'(0)=0f′(0)=−f′(0)⟹f′(0)=0。

技巧点拨 「可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数」是跨章节核心结论，在奇偶性、导数、积分中反复考查。

需要我把这些题目整理成纯题目版（无答案）+ 答案解析版的刷题卷格式，方便你自测吗？

（注：部分内容可能由 AI 生成）

函数解析式求解专题笔记

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#函数解析式求解专题笔记

一、已知复合函数表达式，求外层函数 f(x)f(x)f(x)#

题型特征#

已知复合函数 f(g(x))=h(x)f\left(g(x)\right) = h(x)f(g(x))=h(x)，求外层函数 f(x)f(x)f(x) 的解析式。核心思想：将右侧表达式全部转化为「左侧括号内整体」的组合，通过代换得到函数 fff 的对应法则。

方法 1：整体凑配法（考场优先，秒杀技巧）#

适用场景#

右侧表达式可通过恒等变形，直接凑出左侧括号内的整体形式，尤其适用于 x±1xx\pm\frac{1}{x}x±x1 类对称式题型。

解题步骤#

恒等变形：对右侧表达式做分式化简、公式展开等操作，将其全部表示为左侧括号内整体的组合
- 分式类常用技巧：分子分母同除 xnx^nxn，构造对称式（分式自身恒等变形，不改变等式值）
整体代换：令 t=g(x)t = g(x)t=g(x)，直接得到 f(t)f(t)f(t) 的表达式
换符号：将自变量 ttt 换回 xxx，得到 f(x)f(x)f(x)
- 原理：函数的本质是「输入→输出」的对应法则，与自变量的字母无关
定定义域：根据原自变量 xxx 的范围，计算中间变量 t=g(x)t=g(x)t=g(x) 的值域，即为 f(x)f(x)f(x) 的定义域

核心工具：对称式降次公式（必背）#

设 t=x+1xt = x + \frac{1}{x}t=x+x1，基于完全平方 / 立方公式推导，所有高次对称式均可逐级降次：

2 次：x2+1x2=t2−2\boldsymbol{x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2}x2+x21=t2−2
3 次：x3+1x3=t3−3t\boldsymbol{x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t}x3+x31=t3−3t
4 次：x4+1x4=(t2−2)2−2=t4−4t2+2x^4 + \frac{1}{x^4} = (t^2-2)^2 - 2 = t^4 - 4t^2 + 2x4+x41=(t2−2)2−2=t4−4t2+2
6 次：x6+1x6=(t2−2)3−3(t2−2)=t6−6t4+9t2−2x^6 + \frac{1}{x^6} = (t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t^6 -6t^4 +9t^2 -2x6+x61=(t2−2)3−3(t2−2)=t6−6t4+9t2−2

若整体为 x−1xx - \frac{1}{x}x−x1，对应公式： x2+1x2=(x−1x)2+2x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x-\frac{1}{x}\right)^2 + 2x2+x21=(x−x1)2+2

方法 2：换元法（通用基础法）#

适用场景#

凑配法无法快速看出时的通用解法，普适性强但部分题型计算量较大。

解题步骤#

令 t=g(x)t = g(x)t=g(x)，反解出 x=g−1(t)x = g^{-1}(t)x=g−1(t)（用 ttt 表示 xxx）
将 x=g−1(t)x = g^{-1}(t)x=g−1(t) 代入右侧 h(x)h(x)h(x)，化简得到仅含 ttt 的表达式
得到 f(t)f(t)f(t) 后换回自变量 xxx，并确定定义域

易错点提醒#

分式同除是分式自身的恒等变形（分子分母同除非零数，分式值不变），并非等式两边同除，不会影响等式左侧。
换元后必须计算定义域：f(x)f(x)f(x) 的定义域是中间变量 g(x)g(x)g(x) 的值域，而非原 xxx 的范围。

二、含成对函数符号的函数方程求解#

题型特征#

方程中同时出现 f(x)f(x)f(x) 与 f(1x)f\left(\frac{1}{x}\right)f(x1)（或 f(x)f(x)f(x) 与 f(−x)f(-x)f(−x)），求 f(x)f(x)f(x) 的解析式。核心思想：利用变量的对偶关系，替换变量构造第二个方程，转化为二元一次方程组消元求解。

通用解题步骤（以 f(x)f(x)f(x) 与 f(1/x)f(1/x)f(1/x) 为例）#

标记原方程：将题目给出的等式记为方程①
对偶替换构造新方程：将原式中**所有的 **xxx 全部替换为 1x\frac{1}{x}x1，化简后得到方程②
- 原理：只要替换后的变量在定义域内，函数等式就依然成立
配平系数消元：将两个方程分别乘对应系数，使其中一个函数符号的系数相等，两式相减消去一个未知函数
化简求解：整理后得到 f(x)f(x)f(x) 的表达式
可选验证：将结果代回原方程，验证左右两边是否相等，避免计算错误

常见对偶替换类型#

题型特征	替换方式
同时含 f(x)f(x)f(x) 与 f(1x)f\left(\frac{1}{x}\right)f(x1)	将所有 xxx 替换为 1x\frac{1}{x}x1
同时含 f(x)f(x)f(x) 与 f(−x)f(-x)f(−x)	将所有 xxx 替换为 −x-x−x

易错点提醒#

替换必须彻底：等式左右两边、所有位置的 xxx（系数、分母、根号内等）都要同步替换
消元注意符号：系数配平时仔细计算，两式相减时避免符号错误
定义域匹配：替换后的变量必须在原定义域内，此类题型定义域通常为 x≠0x\neq0x=0 或 x>0x>0x>0

三、解题技巧总览#

看到 x+1xx+\frac{1}{x}x+x1 优先尝试凑配法，分式类先试分子分母同除 x2x^2x2 构造对称式
高次对称式降次：从低次整体的幂次展开反向推导，比正向因式分解效率更高
只要方程中出现成对的函数符号（如 f(x)f(x)f(x) 与 f(1/x)f(1/x)f(1/x)），第一反应就是「对偶替换 + 构造方程组」

（注：部分内容可能由 AI 生成）

分段函数复合题型

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#解题思路与详细步骤分析

一、核心解题思路#

这是分段函数的复合题型，是考研高数第一章的高频基础题。核心逻辑是 \\「由内向外，分层匹配」\\：

先明确外层函数g(⋅)g(\cdot)g(⋅)的分段规则（按自变量的正负拆分）；
把外层的自变量替换成内层函数f(x)f(x)f(x)，将问题转化为：判断f(x)f(x)f(x)的正负，对应代入ggg的不同分段表达式；
结合f(x)f(x)f(x)自身的分段，分别计算每一段的复合结果，最终合并为新的分段函数。

二、详细解题过程#

先完整写出题目条件：

步骤 1：写出外层函数的复合形式#

将g(x)g(x)g(x)中的自变量xxx全部替换为f(x)f(x)f(x)，得到复合函数的分段规则：

步骤 2：分析内层f(x)f(x)f(x)的取值符号#

我们需要结合f(x)f(x)f(x)的分段，判断f(x)f(x)f(x)什么时候≤0、什么时候 > 0：

当 x<0\boldsymbol{x<0}x<0 时：f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，平方数恒正，因此 f(x)=x2>0\boldsymbol{f(x)=x^2 > 0}f(x)=x2>0；
当 x≥0\boldsymbol{x\ge 0}x≥0 时：f(x)=−x−1f(x)=-x-1f(x)=−x−1，x≥0x\ge0x≥0 时 −x−1≤−1<0-x-1 \le -1 < 0−x−1≤−1<0，因此 f(x)<0\boldsymbol{f(x) < 0}f(x)<0。

步骤 3：对应代入外层表达式并化简#

对 x<0x<0x<0：f(x)>0f(x)>0f(x)>0，代入ggg的第二分支 g[f(x)]=2+f(x)=2+x2g[f(x)] = 2 + f(x) = 2 + x^2g[f(x)]=2+f(x)=2+x2
对 x≥0x\ge 0x≥0：f(x)≤0f(x)\le0f(x)≤0，代入ggg的第一分支 g[f(x)]=2−f(x)=2−(−x−1)=x+3g[f(x)] = 2 - f(x) = 2 - (-x-1) = x + 3g[f(x)]=2−f(x)=2−(−x−1)=x+3

步骤 4：合并最终结果#

三、快速秒杀方法#

熟练后可以一步对应：

看外层ggg的分段逻辑：负号段用 2 减，正号段用 2 加；
一眼判断内层f(x)f(x)f(x)的符号：x<0x<0x<0时f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2必正，x≥0x\ge0x≥0时f(x)=−x−1f(x)=-x-1f(x)=−x−1必负；
直接代入化简，不用分步推导。

四、易错点提醒（高频丢分点）#

内外层搞反：注意是g[f(x)]g[f(x)]g[f(x)]（fff在内，ggg在外），不要误算成f[g(x)]f[g(x)]f[g(x)]；
符号计算错误：代入2−f(x)2-f(x)2−f(x)时，f(x)=−x−1f(x)=-x-1f(x)=−x−1是整体带负号，注意去括号变号：2−(−x−1)=2+x+12-(-x-1)=2+x+12−(−x−1)=2+x+1，不要错算成2−x−12-x-12−x−1；
分段端点归属：x=0x=0x=0属于f(x)f(x)f(x)的第二分支（x≥0x\ge0x≥0），对应f(0)=−1≤0f(0)=-1\le0f(0)=−1≤0，要归入ggg的x≤0x\le0x≤0分支，端点不要放错位置。

五、快速验证（推荐做完必做）#

代入特殊值检验：

取x=−1x=-1x=−1：f(−1)=1f(-1)=1f(−1)=1，g(1)=2+1=3g(1)=2+1=3g(1)=2+1=3；用结果计算：(−1)2+2=3(-1)^2+2=3(−1)2+2=3，一致；
取x=0x=0x=0：f(0)=−1f(0)=-1f(0)=−1，g(−1)=2−(−1)=3g(-1)=2-(-1)=3g(−1)=2−(−1)=3；用结果计算：0+3=30+3=30+3=3，一致；
取x=1x=1x=1：f(1)=−2f(1)=-2f(1)=−2，g(−2)=2−(−2)=4g(-2)=2-(-2)=4g(−2)=2−(−2)=4；用结果计算：1+3=41+3=41+3=4，一致。

（注：部分内容可能由 AI 生成）

反函数专项笔记

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#反函数专项笔记

一、核心概念与基础性质#

1. 反函数存在的充分条件#

若函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在定义域 DDD 上严格单调递增 / 递减，则必存在唯一反函数。

考研中默认考察严格单调函数，解题第一步先验证单调性，同时为求值域做铺垫。

2. 定义域与值域的互换规则#

设原函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)：

原函数：定义域为 DDD，值域为 RRR
反函数：x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)，定义域为 RRR，值域为 DDD
标准写法：交换自变量符号后写为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)，**定义域仍为原函数的值域 **RRR

核心原则：反函数的定义域 ≠ 反函数表达式的自然定义域，必须严格等于原函数的值域。

3. 反函数核心恒等式#

f(f−1(x))=x,f−1(f(x))=xf\left(f^{-1}(x)\right) = x, \quad f^{-1}\left(f(x)\right) = xf(f−1(x))=x,f−1(f(x))=x 该恒等式是反函数导数、积分公式的推导基础，也是验证反函数正确性的标准。

4. 基本性质#

单调性：若原函数严格单调递增（减），则反函数也严格单调递增（减）。
奇偶性：若奇函数存在反函数，则其反函数仍为奇函数。
图像性质：y=f(x)y=f(x)y=f(x) 与 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x) 的图像关于直线 y=xy=xy=x 对称。

二、题型一：反函数表达式求解（基础必掌握）#

通用解题四步#

定域判单调：确定原函数定义域，判断严格单调性，确认反函数存在；
求原函数值域：得到反函数的定义域；
反解自变量：从 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 出发，通过代数变形解出 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)；
换元写标准：交换 x,yx,yx,y，写出 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x) 并标注定义域。

1. 多项式 / 分式型#

解法：直接代数变形反解，根据原定义域取舍增根。例题：求 y=x2, x∈(−∞,0]y = x^2,\ x\in(-\infty,0]y=x2, x∈(−∞,0] 的反函数

定义域 (−∞,0](-\infty,0](−∞,0]，函数严格递减，存在反函数；
值域：x≤0x\leq0x≤0 时 y≥0y\geq0y≥0，即值域 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)；
反解：x=±yx=\pm\sqrt{y}x=±y，结合原定义域 x≤0x\leq0x≤0，取 x=−yx=-\sqrt{y}x=−y；
反函数：y=−x\boldsymbol{y = -\sqrt{x}}y=−x，定义域 [0,+∞)\boldsymbol{[0,+\infty)}[0,+∞)。

2. 指数 / 对数型#

解法：利用指数与对数的互逆性去括号，逐步分离自变量。例题：求 y=exex+1y = \frac{e^x}{e^x + 1}y=ex+1ex 的反函数

定义域 R\mathbb{R}R，y′=ex(ex+1)2>0y'=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0y′=(ex+1)2ex>0，严格递增；
值域：y=1−1ex+1y = 1-\frac{1}{e^x+1}y=1−ex+11，得 0<y<10<y<10<y<1，值域 (0,1)(0,1)(0,1)；
反解： y(ex+1)=ex ⟹ ex=y1−y ⟹ x=ln⁡y1−yy(e^x+1)=e^x \implies e^x=\frac{y}{1-y} \implies x = \ln\frac{y}{1-y}y(ex+1)=ex⟹ex=1−yy⟹x=ln1−yy
反函数：y=ln⁡x1−x\boldsymbol{y = \ln\frac{x}{1-x}}y=ln1−xx，定义域 (0,1)\boldsymbol{(0,1)}(0,1)。

3. 无理根式型（核心技巧：共轭有理化）#

遇到 x+x2+a2x+\sqrt{x^2+a^2}x+x2+a2 形式，取倒数即可自动得到共轭式，联立消去根号，比移项平方更简便且无增根。 经典例题：求 y=ln⁡(x+x2+1)y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)y=ln(x+x2+1) 的反函数

定义域 R\mathbb{R}R，严格递增，值域 R\mathbb{R}R；
去对数：ey=x+x2+1e^y = x + \sqrt{x^2+1}ey=x+x2+1
取倒数有理化：e−y=x2+1−xe^{-y} = \sqrt{x^2+1} - xe−y=x2+1−x
两式相减消根号：ey−e−y=2x ⟹ x=ey−e−y2e^y - e^{-y} = 2x \implies x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}ey−e−y=2x⟹x=2ey−e−y
反函数：y=ex−e−x2\boldsymbol{y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}y=2ex−e−x（双曲正弦 sinh⁡x\sinh xsinhx），定义域 R\boldsymbol{\mathbb{R}}R。

4. 分段函数型#

解法：分段求解、值域对应，确保各段值域无重叠。例题：求 f$x$=\\begin\{cases\} x^2, \& 0\\leq x\\leq 1 \\\\ 2^x, \& 1\< x\< \+\\infty \\end\{cases\} 的反函数

第一段：x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1]，值域 [0,1][0,1][0,1]，反解为 x=yx=\sqrt{y}x=y；
第二段：x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty)x∈(1,+∞)，值域 (2,+∞)(2,+\infty)(2,+∞)，反解为 x=log⁡2yx=\log_2 yx=log2y；
反函数：

三、题型二：反函数求导（数二高频核心考点）#

1. 一阶导数公式#

设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 严格单调、可导，且 f′(x)≠0f'(x)\neq0f′(x)=0，则反函数 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y) 的导数： dxdy=1dydx=1f′(x)\boldsymbol{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}}dydx=dxdy1=f′(x)1 写为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x) 形式： [f−1(x)]′=1f′(f−1(x))\left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}[f−1(x)]′=f′(f−1(x))1

2. 二阶导数公式（链式法则推导，不建议死记）#

3. 主流考法：求反函数在指定点的导数值#

核心技巧：无需先求完整反函数，利用 f(a)=b ⟺ f−1(b)=af(a)=b \iff f^{-1}(b)=af(a)=b⟺f−1(b)=a 直接代值。例题：设 f(x)=x3+xf(x) = x^3 + xf(x)=x3+x，求 [f−1(2)]′[f^{-1}(2)]'[f−1(2)]′

找对应点：令 x3+x=2x^3+x=2x3+x=2，得 x=1x=1x=1，即 f(1)=2f(1)=2f(1)=2，故 f−1(2)=1f^{-1}(2)=1f−1(2)=1；
求原函数导数：f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1f′(x)=3x2+1，代入得 f′(1)=4f'(1)=4f′(1)=4；
代入公式：[f−1(2)]′=1f′(1)=14[f^{-1}(2)]' = \frac{1}{f'(1)} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}[f−1(2)]′=f′(1)1=41。

4. 次考法：求反函数二阶导函数#

例题：设 y=x−sin⁡xy = x - \sin xy=x−sinx，求反函数的二阶导数 d2xdy2\frac{d^2x}{dy^2}dy2d2x

一阶导：dydx=1−cos⁡x\frac{dy}{dx} = 1 - \cos xdxdy=1−cosx，故 dxdy=11−cos⁡x\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1-\cos x}dydx=1−cosx1；
二阶导：y′′=sin⁡xy'' = \sin xy′′=sinx，代入公式得 d2xdy2=−sin⁡x(1−cos⁡x)3\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\sin x}{(1-\cos x)^3}dy2d2x=−(1−cosx)3sinx

四、题型三：反函数与定积分结合（低频考点）#

积分公式（分部积分推导）#

设 f(x)f(x)f(x) 连续且严格单调，f(a)=c, f(b)=df(a)=c,\ f(b)=df(a)=c, f(b)=d，则： ∫cdf−1(x)dx=bd−ac−∫abf(x)dx\boldsymbol{\int_c^d f^{-1}(x)dx = b d - a c - \int_a^b f(x)dx}∫cdf−1(x)dx=bd−ac−∫abf(x)dx 几何意义：反函数积分 = 矩形面积差 - 原函数积分。

例题：已知 f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，x∈[0,2]x\in[0,2]x∈[0,2]，求 ∫04f−1(x)dx\int_0^4 f^{-1}(x)dx∫04f−1(x)dx

f(0)=0, f(2)=4f(0)=0,\ f(2)=4f(0)=0, f(2)=4，代入公式： ∫04f−1(x)dx=2×4−0×0−∫02x2dx=8−83=163\int_0^4 f^{-1}(x)dx = 2\times4 - 0\times0 - \int_0^2 x^2 dx = 8 - \frac{8}{3} = \boldsymbol{\frac{16}{3}}∫04f−1(x)dx=2×4−0×0−∫02x2dx=8−38=316

五、高频易错点 & 避坑指南#

定义域陷阱：反函数定义域必须是原函数的值域，不能直接按反函数表达式的自然定义域写。
平方增根问题：通过平方消去根号时必然产生增根，必须结合原函数定义域 / 单调性取舍。
二阶导公式记错：分母是一阶导数的三次方，前面带负号；记不住就现场用链式法则推导。
对应点混淆：求 f−1(b)f^{-1}(b)f−1(b) 的导数，要代入原函数中 f(a)=bf(a)=bf(a)=b 对应的 aaa 点导数，而非代入 bbb。
分段函数区间开闭：原函数的闭区间端点，对应反函数的闭区间端点，开闭性必须严格一致。

六、必记结论速查表#

结论类别	内容
经典函数对	y=ln⁡(x+x2+1)y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})y=ln(x+x2+1)（反双曲正弦）的反函数是 y=ex−e−x2y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}y=2ex−e−x（双曲正弦），二者均为奇函数
单调性	原函数与反函数单调性一致
奇偶性	奇函数的反函数仍为奇函数
一阶导数	反函数导数 = 原函数导数的倒数（对应点处）
二阶导数	d2xdy2=−f′′(x)[f′(x)]3\displaystyle \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}dy2d2x=−[f′(x)]3f′′(x)
积分公式	∫cdf−1(x)dx=bd−ac−∫abf(x)dx\displaystyle \int_c^d f^{-1}(x)dx = bd - ac - \int_a^b f(x)dx∫cdf−1(x)dx=bd−ac−∫abf(x)dx

七、专项自测题（附解析）#

题目#

求函数 y=1+ln⁡(x+2)y = 1 + \ln(x+2)y=1+ln(x+2) 的反函数及定义域。
设 f(x)=e2x−1f(x) = e^{2x} - 1f(x)=e2x−1，求 [f−1(0)]′[f^{-1}(0)]'[f−1(0)]′。
求分段函数 f$x$=\\begin\{cases\} x, \& x\<1 \\\\ x^3, \& x\\geq1 \\end\{cases\} 的反函数。

答案与解析#

反函数：y=ex−1−2y = e^{x-1} - 2y=ex−1−2，定义域：R\mathbb{R}R 解析：原函数定义域 (−2,+∞)(-2,+\infty)(−2,+∞)，严格递增，值域 R\mathbb{R}R；反解得 x=ey−1−2x = e^{y-1} - 2x=ey−1−2，交换符号即得。
答案：12\boldsymbol{\frac{1}{2}}21 解析：令 e2x−1=0e^{2x}-1=0e2x−1=0，得 x=0x=0x=0，即 f(0)=0f(0)=0f(0)=0；f′(x)=2e2xf'(x)=2e^{2x}f′(x)=2e2x，f′(0)=2f'(0)=2f′(0)=2；故 [f−1(0)]′=1f′(0)=12[f^{-1}(0)]' = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}[f−1(0)]′=f′(0)1=21。
**反函数：f^\{\-1\}$x$=\\begin\{cases\} x, \& x\<1 \\\\ \\sqrt\[3\]\{x\}, \& x\\geq1 \\end\{cases\}** 解析：第一段 x<1x<1x<1 时值域 (−∞,1)(-\infty,1)(−∞,1)，反解为 x=yx=yx=y；第二段 x≥1x\geq1x≥1 时值域 [1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)，反解为 x=y3x=\sqrt[3]{y}x=3y；合并即得。

（注：部分内容可能由 AI 生成）

反函数求解全体系步骤与解题思路

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

#反函数求解全体系步骤与解题思路

在考研数学二中，反函数是一元函数微分学的基础核心考点，考察形式集中在三类：

基础题：求反函数的表达式 + 定义域
高频题：求反函数的一阶 / 二阶导数（选择题、填空题常客）
综合题：分段函数的反函数、反函数与极限 / 积分结合的题目

所有题型的底层逻辑统一：严格单调的函数存在反函数；反函数的定义域 = 原函数的值域，反函数的值域 = 原函数的定义域。

一、核心概念与底层规则（先把根扎牢）#

1. 反函数存在的充分条件#

若函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在定义域 DDD 上严格单调递增 / 递减，则必存在反函数。考研中 99% 的题目都会给出严格单调的函数，解题第一步先判断单调性，既验证反函数存在性，也为求值域做铺垫。

2. 定义域与值域的互换关系#

设原函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x)：

原函数：定义域 DDD，值域 RRR
反函数：x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)，定义域为 RRR，值域为 DDD
习惯写法：将反函数写为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)，此时定义域仍为 RRR，值域仍为 DDD

最易错点：反函数的定义域绝对不是反函数表达式的自然定义域，必须严格等于原函数的值域。

3. 两个核心恒等式（验证 + 推导神器）#

f(f−1(x))=x,f−1(f(x))=xf\left(f^{-1}(x)\right) = x, \quad f^{-1}\left(f(x)\right) = xf(f−1(x))=x,f−1(f(x))=x 这个恒等式是反函数导数公式的推导基础，也是验证反函数是否正确的标准。

二、题型一：求反函数的表达式与定义域（基础必掌握）#

通用标准四步走#

步骤	操作	核心目的
1	确定原函数定义域 DDD，判断严格单调性	确认反函数存在
2	求原函数的值域 RRR	得到反函数的定义域
3	从 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 出发，反解出 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)x=f−1(y)	得到反函数的对应关系
4	交换 x,yx,yx,y，写为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)，标注定义域 RRR	得到标准形式的反函数

数二常考函数类型与解法#

类型 1：单调区间上的多项式 / 分式函数#

解法：直接代数变形反解，注意根据单调性取舍增根。例题：求 y=x2, x∈(−∞,0]y = x^2,\ x\in(-\infty,0]y=x2, x∈(−∞,0] 的反函数。

定义域 (−∞,0](-\infty,0](−∞,0]，函数严格单调递减，存在反函数；
值域：x≤0x\leq0x≤0 时 y=x2≥0y=x^2\geq0y=x2≥0，即值域 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)；
反解：由 y=x2y=x^2y=x2 得 x=±yx=\pm\sqrt{y}x=±y，结合原定义域 x≤0x\leq0x≤0，取负号 x=−yx=-\sqrt{y}x=−y；
交换得反函数：y=−x\boldsymbol{y = -\sqrt{x}}y=−x，定义域 [0,+∞)\boldsymbol{[0,+\infty)}[0,+∞)。

类型 2：指数 / 对数型函数#

解法：利用指数与对数的互逆性去括号，逐步分离自变量。例题：求 y=exex+1y = \frac{e^x}{e^x + 1}y=ex+1ex 的反函数。

定义域 R\mathbb{R}R，求导得 y′=ex(ex+1)2>0y'=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0y′=(ex+1)2ex>0，严格递增，存在反函数；
值域：y=1−1ex+1y = 1-\frac{1}{e^x+1}y=1−ex+11，x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R 时 ex>0e^x>0ex>0，故 0<y<10<y<10<y<1，值域 (0,1)(0,1)(0,1)；
反解： y(ex+1)=ex ⟹ yex+y=ex ⟹ ex(1−y)=y ⟹ ex=y1−yy(e^x+1)=e^x \implies ye^x + y = e^x \implies e^x(1-y)=y \implies e^x=\frac{y}{1-y}y(ex+1)=ex⟹yex+y=ex⟹ex(1−y)=y⟹ex=1−yy 取对数得 x=ln⁡(y1−y)x = \ln\left(\frac{y}{1-y}\right)x=ln(1−yy)；
交换得反函数：y=ln⁡(x1−x)\boldsymbol{y = \ln\left(\frac{x}{1-x}\right)}y=ln(1−xx)，定义域 (0,1)\boldsymbol{(0,1)}(0,1)。

类型 3：带根号的无理函数（重点，含你提问的经典题）#

核心技巧：共轭有理化。遇到 x+x2+a2x+\sqrt{x^2+a^2}x+x2+a2 形式，取倒数即可自动得到共轭式 x2+a2−x\sqrt{x^2+a^2}-xx2+a2−x，两式联立直接消去根号，比移项平方更简便且无增根。

经典例题（你提问的题型）：求 y=ln⁡(x+x2+1)y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)y=ln(x+x2+1) 的反函数。

定义域 R\mathbb{R}R，严格递增，存在反函数；
值域 R\mathbb{R}R（x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ 时分别趋向 ±∞\pm\infty±∞）；
反解：去对数：ey=x+x2+1e^y = x + \sqrt{x^2+1}ey=x+x2+1 取倒数有理化：e−y=1x+x2+1=x2+1−xe^{-y} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} = \sqrt{x^2+1} - xe−y=x+x2+11=x2+1−x 两式相减：ey−e−y=2x ⟹ x=ey−e−y2e^y - e^{-y} = 2x \implies x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}ey−e−y=2x⟹x=2ey−e−y
交换得反函数：y=ex−e−x2\boldsymbol{y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}y=2ex−e−x（即双曲正弦函数 sinh⁡x\sinh xsinhx），定义域 R\boldsymbol{\mathbb{R}}R。

三、题型二：反函数的一阶 / 二阶导数（数二高频核心考点）#

这是考研数二反函数最常考的题型，绝大多数情况不需要求出完整的反函数表达式，用公式直接计算即可。

1. 一阶导数公式与推导#

设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 严格单调、可导，且 f′(x)≠0f'(x)\neq0f′(x)=0，则其反函数 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y) 的导数为： dxdy=1dydx=1f′(x)\boldsymbol{\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}} = \frac{1}{f'(x)}}dydx=dxdy1=f′(x)1

若写成习惯的 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x) 形式，则： [f−1(x)]′=1f′(f−1(x))\left[f^{-1}(x)\right]' = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}[f−1(x)]′=f′(f−1(x))1

通俗理解：反函数对 yyy 的导数，等于原函数对 xxx 导数的倒数。

2. 二阶导数公式（易错重灾区）#

二阶导数绝对不要死记硬背，现场用链式法则推导最稳妥：

3. 两类考法与解题步骤#

考法 1：求反函数在某点的导数值（最常考）#

技巧：不用求完整反函数，利用 f(a)=b ⟺ f−1(b)=af(a)=b \iff f^{-1}(b)=af(a)=b⟺f−1(b)=a 直接代值。例题：设 f(x)=x3+xf(x) = x^3 + xf(x)=x3+x，求 [f−1(2)]′[f^{-1}(2)]'[f−1(2)]′。

先找原函数中函数值为 2 的点：令 x3+x=2x^3+x=2x3+x=2，易得 x=1x=1x=1，即 f(1)=2f(1)=2f(1)=2，故 f−1(2)=1f^{-1}(2)=1f−1(2)=1；
求原函数导数：f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1f′(x)=3x2+1，代入 x=1x=1x=1 得 f′(1)=4f'(1)=4f′(1)=4；
代入公式：[f−1(2)]′=1f′(1)=14[f^{-1}(2)]' = \frac{1}{f'(1)} = \boldsymbol{\frac{1}{4}}[f−1(2)]′=f′(1)1=41。

考法 2：求反函数的二阶导函数#

例题：设 y=x−sin⁡xy = x - \sin xy=x−sinx，求其反函数的二阶导数 d2xdy2\frac{d^2x}{dy^2}dy2d2x。

一阶导数：dydx=1−cos⁡x\frac{dy}{dx} = 1 - \cos xdxdy=1−cosx，故 dxdy=11−cos⁡x\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1-\cos x}dydx=1−cosx1；
二阶导数：

四、题型三：分段函数的反函数（数二经典题型）#

解题核心：分段求解，值域对应#

逐段分析：每一段分别判断单调性、求定义域和值域，确保各段值域无重叠；
逐段反解：每一段单独求出对应区间的反函数；
合并结果：按定义域（原函数各段值域）合并为分段反函数。

例题：求分段函数 f$x$=\\begin\{cases\} x^2, \& 0\\leq x\\leq 1 \\\\ 2^x, \& 1\< x\< \+\\infty \\end\{cases\} 的反函数。

第一段：x∈[0,1]x\in[0,1]x∈[0,1]，y=x2y=x^2y=x2 递增，值域 [0,1][0,1][0,1]，反解为 x=yx=\sqrt{y}x=y；
第二段：x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty)x∈(1,+∞)，y=2xy=2^xy=2x 递增，值域 (2,+∞)(2,+\infty)(2,+∞)，反解为 x=log⁡2yx=\log_2 yx=log2y；
合并得反函数：

注意：原函数在 x=1x=1x=1 处函数值为 1，第二段从 x>1x>1x>1 开始对应 y>2y>2y>2，区间 (1,2](1,2](1,2] 不在原函数值域内，因此反函数在该区间无定义。

五、考研数二避坑指南（高频丢分点）#

定义域优先原则：反函数的定义域永远是原函数的值域，绝不能直接看反函数表达式的自然定义域。
平方去根号必验根：通过平方消根号时一定会产生增根，必须结合原函数的定义域 / 单调性取舍。
二阶导数公式别记错：分母是一阶导数的三次方，不是二次方；前面有负号。记不住就现场用链式法则推导。
某点导数对应关系别搞混：求 f−1(b)f^{-1}(b)f−1(b) 的导数，要代入原函数中 f(a)=bf(a)=bf(a)=b 对应的 aaa 点导数，不是代入 bbb。
分段函数端点归属：原函数的闭区间端点，对应反函数的闭区间端点，开闭性要严格对应。

六、补充：数二反函数延伸考法#

反函数积分：∫abf−1(x)dx=bf−1(b)−af−1(a)−∫f−1(a)f−1(b)f(x)dx\int_a^b f^{-1}(x)dx = b f^{-1}(b) - a f^{-1}(a) - \int_{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(b)} f(x)dx∫abf−1(x)dx=bf−1(b)−af−1(a)−∫f−1(a)f−1(b)f(x)dx，分部积分可推导，数二曾在定积分中考察过。
奇偶性结论：若奇函数存在反函数，则反函数仍为奇函数（可直接当结论用，比如 ln⁡(x+x2+1)\ln(x+\sqrt{x^2+1})ln(x+x2+1) 是奇函数，其反函数 sinh⁡x\sinh xsinhx 也是奇函数）。

需要我给你出 3 道数二难度的反函数练习题（含详细步骤答案）吗？

（注：部分内容可能由 AI 生成）

基本初等函数

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

常数函数#

y=ay=ay=a

幂函数#

y=xuy=x^uy=xu ,其中

极限模块全考点总结

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

考研数学极限模块全考点总结#

一、极限的基本概念与核心性质#

1. 两类极限的定义与本质#

极限的核心是「无限趋近但未必相等」，分为函数极限与数列极限两大类：

函数极限：描述自变量趋近于某个值（或无穷）时，函数值的变化趋势
- 定义：
- 自变量趋近方式（6 种）：x→x0x \to x_0x→x0、x→x0+x \to x_0^+x→x0+、x→x0−x \to x_0^-x→x0−、x→∞x \to \inftyx→∞、x→+∞x \to +\inftyx→+∞、x→−∞x \to -\inftyx→−∞
- 本质：对任意小的误差要求ε\varepsilonε，都存在一个邻域 / 范围，使得范围内的函数值与极限值的误差小于ε\varepsilonε
数列极限：可看作自变量为正整数的特殊函数极限，即n→∞n \to \inftyn→∞时xnx_nxn的趋势
- 定义：设 xn{x_n}xn 为数列，如果存在常熟 aaa ,对 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0 总存在正整数 NNN ,使得当 n>Nn>Nn>N 时，∣xn−a∣<ϵ|x_n - a|<\epsilon∣xn−a∣<ϵ 都成立，那么常熟 aaa 是数列 xn{x_n}xn 的极限，或者称数列 xn{x_n}xn 收敛域 aaa ，记作 lim⁡n→∞xn=a\lim_{n \to \infty} x_n =alimn→∞xn=a
- lim⁡n→∞xn=a ⟺ ∀ϵ>0,∃正整数N，当n>N时，有∣xn−a∣<ϵ\lim_{n \to \infty} x_n =a \iff \forall \epsilon>0,\exists 正整数N，当n>N时，有|x_n -a|<\epsilonlimn→∞xn=a⟺∀ϵ>0,∃正整数N，当n>N时，有∣xn−a∣<ϵ
- 注：数列的n→∞n \to \inftyn→∞默认是n→+∞n \to +\inftyn→+∞，无负向趋势

2. 极限存在的充要条件#

函数极限lim⁡x→x0f(x)\boldsymbol{\lim\limits_{x \to x_0} f(x)}x→x0limf(x)存在 lim⁡x→x0f(x)=A ⟺ lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = Alimx→x0f(x)=A⟺limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=A 即左右极限都存在且相等。

必须分左右极限的典型场景：分段函数分界点含∣x∣|x|∣x∣、含e1xe^{\frac{1}{x}}ex1、含arctan⁡1x\arctan\frac{1}{x}arctanx1的x→0x\to0x→0极限。

数列极限lim⁡n→∞xn\boldsymbol{\lim\limits_{n \to \infty} x_n}n→∞limxn存在数列极限存在也称「数列收敛」；不存在则称「数列发散」。n→∞n\to\inftyn→∞ 时通项趋向唯一确定值

3. 极限的三大核心性质#

唯一性：极限若存在，则必唯一。
- 推论：只要找到两个子列极限不相等，即可判定原极限不存在。
局部有界性
- 函数：若lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{x \to x_0} f(x)x→x0limf(x)存在，则f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0的某去心邻域内有界；
- 数列：若数列收敛，则数列必有界（有界是收敛的必要不充分条件）。
局部保号性（考研选择题核心考点）若lim⁡x→x0f(x)=A>0\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A > 0x→x0limf(x)=A>0（或A<0A<0A<0），则存在x0x_0x0的去心邻域，使得邻域内f(x)f(x)f(x)与AAA同号。

推论：若在去心邻域内f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0且极限存在，则极限值≥0\ge0≥0（注意等号不能丢）。

4. 数列极限与函数极限的联系（海涅定理 / 归结原则）#

lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = Ax→x0limf(x)=A的充要条件是：对任意以x0x_0x0为极限的数列xn{x_n}xn（xn≠x0x_n \neq x_0xn=x0），都有lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = An→∞limf(xn)=A。

考研核心用法：证明极限不存在—— 找两个趋于x0x_0x0的子列，使得f(xn)f(x_n)f(xn)极限不同。例：证明lim⁡x→0sin⁡1x\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}x→0limsinx1不存在，取xn=12nπx_n=\frac{1}{2n\pi}xn=2nπ1和xn=12nπ+π/2x_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}xn=2nπ+π/21即可。

5. 无穷小与无穷大#

1.基本定义#

无穷小：极限为 0 的变量（注意：无穷小是变量，不是很小的数）；
无穷大：绝对值无限增大的变量，极限不存在，只是记为 lim⁡f(x)=∞\lim f(x)=\inftylimf(x)=∞。
关系：在同一趋势下，无穷大的倒数是无穷小；非零无穷小的倒数是无穷大。

2.无穷小的阶的比较#

设 α\alphaα、β\betaβ 是同一趋势下的无穷小，且 α≠0\alpha \neq 0α=0：

高阶无穷小：lim⁡βα=0\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0limαβ=0，记为 β=o(α)\beta = o(\alpha)β=o(α)；
低阶无穷小：lim⁡βα=∞\lim \frac{\beta}{\alpha} = \inftylimαβ=∞；
同阶无穷小：lim⁡βα=C≠0\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0limαβ=C=0；
等价无穷小：lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1limαβ=1，记为 α∼β\alpha \sim \betaα∼β；
k 阶无穷小：lim⁡βαk=C≠0\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0limαkβ=C=0，称 β\betaβ 是 α\alphaα 的 k 阶无穷小。

等价无穷小的核心性质#

等价无穷小是严格的等价关系，满足三条性质：

自反性：α∼α\alpha \sim \alphaα∼α
对称性：若 α∼β\alpha \sim \betaα∼β，则 β∼α\beta \sim \alphaβ∼α（极限式分子分母可颠倒，比值仍为 1）
传递性：若 α∼β\alpha \sim \betaα∼β 且 β∼γ\beta \sim \gammaβ∼γ，则 α∼γ\alpha \sim \gammaα∼γ（可递推，所有与 xxx 等价的一阶无穷小互相等价）

6. 函数的连续性与间断点分类及渐近线#

连续的定义#

f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处连续 ⟺ lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\iff \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)⟺x→x0limf(x)=f(x0)，即：

极限存在；
函数值存在；
极限值等于函数值。
同理可定义左连续、右连续。

间断点的分类#

根据左右极限是否存在，分为两大类：

第一类间断点：左右极限都存在
- 可去间断点：左右极限相等，但不等于函数值 / 函数在该点无定义；
- 跳跃间断点：左右极限都存在但不相等。
第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
- 无穷间断点：至少一侧极限为无穷大；
- 振荡间断点：极限振荡不存在（如 sin⁡1x\sin\frac{1}{x}sinx1 在 x=0x=0x=0 处）。

. 闭区间连续函数的四大性质#

有界性定理：闭区间上连续的函数必有界；
最值定理：闭区间上连续的函数必能取到最大值和最小值；
介值定理：闭区间上连续的函数，能取到介于最大值和最小值之间的一切值；
零点定理：f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 连续，且 f(a)⋅f(b)<0f(a)\cdot f(b)<0f(a)⋅f(b)<0，则至少存在一点 ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使得 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。

应用：常用于证明方程根的存在性，是中值定理证明题的基础。

4. 渐近线#

选择填空高频考点，分为三类，求法固定：

水平渐近线 若 lim⁡x→+∞f(x)=A\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = Ax→+∞limf(x)=A 或 lim⁡x→−∞f(x)=A\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = Ax→−∞limf(x)=A，则 y=Ay=Ay=A 是水平渐近线。
- 注：x→+∞x\to+\inftyx→+∞和x→−∞x\to-\inftyx→−∞要分别判断，可能有两条不同的水平渐近线。
垂直渐近线 找函数的无定义点 / 分段点 x0x_0x0，若 lim⁡x→x0+f(x)=∞\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \inftyx→x0+limf(x)=∞ 或 lim⁡x→x0−f(x)=∞\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = \inftyx→x0−limf(x)=∞，则 x=x0x=x_0x=x0 是垂直渐近线。
斜渐近线 若 lim⁡x→+∞f(x)x=a≠0\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0x→+∞limxf(x)=a=0，且 lim⁡x→+∞[f(x)−ax]=b\lim\limits_{x \to +\infty} [f(x)-ax] = bx→+∞lim[f(x)−ax]=b，则 y=ax+by=ax+by=ax+b 是斜渐近线。

x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 同理需单独判断。

同一方向上，水平渐近线与斜渐近线不能同时存在

二、极限计算的核心方法（考研核心得分点）#

极限计算是考研数学每年必考题，小题大题均有涉及，以下方法按「使用频率 + 优先级」排序。

1. 基础代入法与四则运算法则#

适用场景#

函数在该点连续时，可直接代入自变量取值计算函数值；四则运算适用于极限都存在、且分母极限不为 0 的情况。

核心规则#

若lim⁡f(x)=A\lim f(x)=Alimf(x)=A，lim⁡g(x)=B\lim g(x)=Blimg(x)=B，则：

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm Blim[f(x)±g(x)]=A±B
lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot Blim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B
lim⁡f(x)g(x)=AB(B≠0)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)limg(x)f(x)=BA(B=0)

注意#

无限个无穷小的和不一定是无穷小；
「存在 + 不存在 = 不存在」「存在 × 不存在 = 不确定」，这类结论常用于概念选择题。

2. 两个重要极限与 1^∞型速算#

第一个重要极限#

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1limx→0xsinx=1

本质：无穷小的正弦与自身等价；推广形式：lim⁡□→0sin⁡□□=1\lim\limits_{\square \to 0} \frac{\sin \square}{\square} = 1□→0lim□sin□=1

第二个重要极限#

lim⁡x→∞(1+1x)x=e,lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = elimx→∞(1+x1)x=e,limx→0(1+x)x1=e

推广形式：lim⁡□→0(1+□)1□=e\lim\limits_{\square \to 0} (1+\square)^{\frac{1}{\square}} = e□→0lim(1+□)□1=e

1^∞型极限速算公式（考研最高频技巧）#

对1∞1^\infty1∞型幂指函数极限lim⁡u(x)v(x)\lim u(x)^{v(x)}limu(x)v(x)（满足lim⁡u(x)=1\lim u(x)=1limu(x)=1，lim⁡v(x)=∞\lim v(x)=\inftylimv(x)=∞），有快速结论： lim⁡u(x)v(x)=elim⁡v(x)⋅[u(x)−1]\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim v(x) \cdot [u(x)-1]}limu(x)v(x)=elimv(x)⋅[u(x)−1]

推导：uv=evln⁡uu^v = e^{v\ln u}uv=evlnu，当u→1u\to1u→1时ln⁡u=ln⁡(1+u−1)∼u−1\ln u = \ln(1+u-1) \sim u-1lnu=ln(1+u−1)∼u−1，直接替换得到。

3. 等价无穷小替换（最常用的化简技巧）#

核心前提#

仅当 x→0x \to 0x→0 时，以下无穷小等价关系成立；乘除因子可直接替换，加减项需满足条件再替换。

常用等价无穷小（x→0x \to 0x→0时）#

基础等价	进阶差式等价
sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x	x−sin⁡x∼16x3x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3x−sinx∼61x3
tan⁡x∼x\tan x \sim xtanx∼x	arcsin⁡x−x∼16x3\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3arcsinx−x∼61x3
arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x	tan⁡x−x∼13x3\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3tanx−x∼31x3
arctan⁡x∼x\arctan x \sim xarctanx∼x	x−arctan⁡x∼13x3x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3x−arctanx∼31x3
ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x	x−ln⁡(1+x)∼12x2x - \ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2x−ln(1+x)∼21x2
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim xln(1+x)∼x	1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^21−cosx∼21x2
(1+x)α−1∼αx(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x(1+x)α−1∼αx	ax−1∼xln⁡aa^x - 1 \sim x\ln aax−1∼xlna

替换原则#

乘除因子可无条件直接替换；
加减项替换条件：若α∼α′\alpha \sim \alpha'α∼α′，β∼β′\beta \sim \beta'β∼β′，且lim⁡αβ≠−1\lim \frac{\alpha}{\beta} \neq -1limβα=−1，则α+β∼α′+β′\alpha+\beta \sim \alpha'+\beta'α+β∼α′+β′；若lim⁡αβ≠1\lim \frac{\alpha}{\beta} \neq 1limβα=1，则α−β∼α′−β′\alpha-\beta \sim \alpha'-\beta'α−β∼α′−β′。
- 本质：保证替换后最低阶项不被抵消，阶数不丢失。加减场景更推荐用泰勒公式，不易出错。
- 只看 “被替换的整体” 是否趋于 0，和自变量趋势无直接绑定；乘除放心换，加减谨慎用。

4. 洛必达法则#

适用类型#

仅适用于00\boldsymbol{\frac{0}{0}}00型和∞∞\boldsymbol{\frac{\infty}{\infty}}∞∞型未定式，其他类型需先转化。

使用条件（三个缺一不可）#

lim⁡f(x)=0/∞\lim f(x) = 0/\inftylimf(x)=0/∞，lim⁡g(x)=0/∞\lim g(x) = 0/\inftylimg(x)=0/∞；
在去心邻域内f(x)f(x)f(x)、g(x)g(x)g(x)可导，且g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0；
lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}limg′(x)f′(x)存在或为无穷大。

注意事项#

洛必达是「后验法则」：求导后极限不存在，不能推出原极限不存在；
数列极限不能直接用洛必达，需先转化为对应函数极限再用；
优先配合等价无穷小化简后再洛必达，减少计算量。

5. 泰勒公式（麦克劳林展开）—— 极限计算的「终极武器」#

泰勒展开是解决复杂极限、加减型极限、无穷小阶数判断的最稳妥方法，考研高分必备。

1. 麦克劳林公式（x→0x \to 0x→0，最常用）#

f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\dots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+o(xn) o(xn)o(x^n)o(xn)：佩亚诺余项，高阶无穷小，极限计算只需要这个。

一般泰勒公式（不常用）（x→x0x \to x_0x→x0）#
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+o((x−x0)n)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)

必考 8 个麦克劳林展开（x→0x \to 0x→0，展开到 x5x^5x5 足够考研使用）#

ex=1+x+x22!+x33!+o(x3)e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)
sin⁡x=x−x36+x5120+o(x5)\sin x = x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}+o(x^5)sinx=x−6x3+120x5+o(x5)
cos⁡x=1−x22!+x44!+o(x4)\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4)cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)
tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x = x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)tanx=x+3x3+o(x3)
arcsin⁡x=x+x36+o(x3)\arcsin x = x+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)arcsinx=x+6x3+o(x3)
arctan⁡x=x−x33+o(x3)\arctan x = x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)arctanx=x−3x3+o(x3)
ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)ln(1+x)=x−2x2+3x3+o(x3)
(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+o(x2)(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)(1+x)α=1+αx+2α(α−1)x2+o(x2) 特例：11+x=1−x+x2+o(x2),1+x=1+12x−18x2+o(x2)\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2),\sqrt{1+x}=1+\dfrac12x-\dfrac18x^2+o(x^2)1+x1=1−x+x2+o(x2),1+x=1+21x−81x2+o(x2)

展开原则#

上下同阶原则：若分母是xxx的kkk次幂，分子就展开到xxx的kkk次项；
幂次最低原则：A−BA-BA−B型展开到「系数不相等的最低次幂」即可。

高阶无穷小运算规则#

o(xm)±o(xn)=o(xmin⁡(m,n))o(x^m) \pm o(x^n) = o(x^{\min(m,n)})o(xm)±o(xn)=o(xmin(m,n))
o(xm)⋅o(xn)=o(xm+n)o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})o(xm)⋅o(xn)=o(xm+n)
xk⋅o(xm)=o(xm+k)x^k \cdot o(x^m) = o(x^{m+k})xk⋅o(xm)=o(xm+k)

6. 夹逼准则（迫敛性定理）#

适用场景#

n 项和式的数列极限（各项量级差异大，某一项起主导作用）；
含取整函数、绝对值、复杂分式的极限；
无法凑定积分定义的 n 项和。

核心思路#

对目标式进行适当放缩，满足yn≤xn≤zny_n \le x_n \le z_nyn≤xn≤zn，且lim⁡yn=lim⁡zn=A\lim y_n = \lim z_n = Alimyn=limzn=A，则lim⁡xn=A\lim x_n = Alimxn=A。

n 项和常用放缩技巧#

n⋅min⁡a1,a2,…,an≤∑i=1nai≤n⋅max⁡a1,a2,…,ann \cdot \min{a_1,a_2,\dots,a_n} \le \sum_{i=1}^n a_i \le n \cdot \max{a_1,a_2,\dots,a_n}n⋅mina1,a2,…,an≤∑i=1nai≤n⋅maxa1,a2,…,an 通常对分母进行放缩，保持分子不变。

7. 单调有界准则 —— 递推数列极限证明#

数二高频大题考点，用于证明递推数列xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)xn+1=f(xn)的极限存在并求值。

解题三步法#

证有界：用数学归纳法、均值不等式、常用不等式（如x>0x>0x>0时ex>1+xe^x>1+xex>1+x、sin⁡x<x\sin x<xsinx<x）推导上下界；
证单调：
- 作差法：判断xn+1−xnx_{n+1}-x_nxn+1−xn的符号；
- 作商法：正项数列判断xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n}xnxn+1与 1 的大小；
- 导数法：递推函数f(x)f(x)f(x)求导，f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0则数列单调，f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0则不单调；
求极限：确认极限存在后，对递推式两边取极限lim⁡xn=A\lim x_n = Alimxn=A，解方程A=f(A)A=f(A)A=f(A)得结果。

8. 定积分定义 ——n 项和式数列极限#

适用场景#

n 项和式可凑成「1n\frac{1}{n}n1乘以关于in\frac{i}{n}ni的函数」的形式，且各项量级一致。

标准公式#

lim⁡n→∞1n∑i=1nf(in)=∫01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dxlimn→∞n1∑i=1nf(ni)=∫01f(x)dx

与夹逼准则的区分#

能提取1n\frac{1}{n}n1、剩余部分是in\frac{i}{n}ni的函数 → 定积分定义；
无法提取公因子、项之间量级差异大 → 夹逼准则。

9. 通用辅助技巧#

幂指函数统一处理：u(x)v(x)=ev(x)⋅ln⁡u(x)u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \cdot \ln u(x)}u(x)v(x)=ev(x)⋅lnu(x)，所有幂指极限都先转化为指数形式；
无穷小 × 有界量 = 无穷小：x→∞x\to\inftyx→∞时含sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx的极限优先用此结论，禁止直接洛必达；
有理化：含根式差的∞−∞\infty-\infty∞−∞型，先分子 / 分母有理化；
倒代换：x→∞x\to\inftyx→∞的复杂分式，令t=1xt=\frac{1}{x}t=x1转化为t→0t\to0t→0的极限；
提取公因子：把极限非零的因子先提出来计算，简化剩余部分。
平移代换：x→1x\to1x→1时的ln⁡x\ln xlnx、x→ax\to ax→a的复杂极限，令t=x−at=x-at=x−a转化为 0 点极限

三、七大未定式解题套路汇总#

考研极限计算 90% 以上都是未定式，对应固定解题路径：

未定式类型	首选解法	操作步骤
00\frac{0}{0}00型	等价无穷小 + 泰勒，次选洛必达	先等价替换化简，复杂项泰勒展开，最后考虑洛必达
∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞型	分子分母同除最高次幂，次选洛必达	多项式分式直接除最高次；含指数 / 对数的用洛必达
0⋅∞0 \cdot \infty0⋅∞型	转化为00\frac{0}{0}00或∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞	将简单因子下放分母，如x⋅f(x)=f(x)1/xx \cdot f(x) = \frac{f(x)}{1/x}x⋅f(x)=1/xf(x)
∞−∞\infty - \infty∞−∞型	通分 / 有理化 / 倒代换	有分母先通分；无分母有理化或倒代换创造分母，转化为00\frac{0}{0}00
1∞1^\infty1∞型	速算公式elim⁡v(u−1)e^{\lim v(u-1)}elimv(u−1)	识别 1^∞型，直接套用公式，比重要极限快一倍
000^000型 / ∞0\infty^0∞0型	取指数转化	统一写成elim⁡vln⁡ue^{\lim v \ln u}elimvlnu，指数部分转化为0⋅∞0\cdot\infty0⋅∞型求解

四、高频经典题型解题模板#

题型 1：多项式分式 x→∞x\to\inftyx→∞ 极限（抓大头）#

题型特征：x→∞x\to\inftyx→∞，分子分母均为多项式
解题结论：
- 分子次数 = 分母次数：极限 = 最高次项系数比
- 分子次数 < 分母次数：极限 = 0
- 分子次数 > 分母次数：极限 =∞

题型 2：根式分式 x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ 极限#

题型特征：含偶次根式的分式，xxx 趋向无穷
核心陷阱：x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 时，x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2}=|x|=-xx2=∣x∣=−x，直接除以 xxx 会符号错误
稳妥解法：换元 t=−xt=-xt=−x 转化为正无穷，或统一除以 ∣x∣|x|∣x∣
速验思路：先抓主项判断量级，再核对符号

题型 3：取整函数极限#

题型特征：含 [u(x)][u(x)][u(x)] 取整符号
解题模板：利用取整不等式 u−1<[u]≤uu-1 < [u] \le uu−1<[u]≤u，结合夹逼准则
注意事项：x→0−x\to0^-x→0− 时乘 xxx 不等号反向，需分左右极限讨论

题型 4：数列极限定义的分段函数#

题型特征：f(x)=lim⁡n→∞Fn(x)f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}F_n(x)f(x)=n→∞limFn(x)，含 sin⁡2πx\sin^2\pi xsin2πx 等周期因子
解题模板：
1. 按参数是否使 nnn 的系数为 0 划分区间
2. 系数为 0：直接消去 nnn 求极限
3. 系数非 0：分子分母同除以 nnn 的最高次项抓大头
4. 写出分段函数后，在分段点判断连续性与间断类型

题型 5：无穷小阶数与参数确定#

题型特征：已知某表达式是比 xkx^kxk 高阶的无穷小，求参数
解题模板：
1. 将已知函数泰勒展开到 kkk 次项
2. 合并同次幂，令所有次数≤k 的项系数全为 0
3. 解方程得到参数值
本质：低阶项必须全部抵消，剩余项才能高于 kkk 阶

题型 6：已知极限求相关极限#

题型特征：已知一个含未知函数 f(x)f(x)f(x) 的极限，求另一个含 f(x)f(x)f(x) 的极限
解题模板（构造消元法）：
1. 对目标极限恒等变形，凑出已知极限的分子结构
2. 加一项减一项拆分成两个极限相加
3. 代入已知极限，计算剩余的已知函数极限
替代方法：泰勒展开法，展开已知项分离 f(x)f(x)f(x) 的阶数

题型 7：间断点个数与类型判断#

题型特征：给定复杂分式函数，判断间断点个数 / 类型
解题模板：
1. 找出所有无定义点（分母为 0、对数真数为 0、指数分母为 0 等）
2. 逐个求左右极限
3. 按定义分类：左右都存在 = 第一类，至少一个不存在 = 第二类
高频考点：e1x−ae^{\frac{1}{x-a}}ex−a1 在 x=ax=ax=a 处必分左右极限

题型 8：x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 的幂指函数 ∞0\infty^0∞0 型#

题型特征：底数趋向无穷，指数趋向 0
解题结论：多项式 / 根式 / 对数型底数的 1x\frac{1}{x}x1 次幂，极限均为 1
原理：对数增长远慢于线性增长，ln⁡(无穷大)x→0\frac{\ln(无穷大)}{x}\to0xln(无穷大)→0

五、高频易错点与避坑指南#

忽略左右极限：遇到e1xe^{\frac{1}{x}}ex1、arctan⁡1x\arctan\frac{1}{x}arctanx1、绝对值、分段函数分界点，必须分左右极限判断，不能直接代入。
等价无穷小滥用在加减项：加减项不验证条件直接替换，容易抵消低阶项导致错误，不确定时优先用泰勒。
洛必达法则滥用
- 非未定式强行洛必达；
- 数列极限直接对 n 求导使用洛必达；
- 求导后极限不存在，错误认为原极限不存在。
x→∞x\to\inftyx→∞时的三角函数陷阱：lim⁡x→∞sin⁡xx=0\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\sin x}{x}=0x→∞limxsinx=0是「无穷小 × 有界量」，不能用洛必达。偶次根号开方非负，xxx为负时
单调有界题跳步：不证明极限存在，直接对递推式取极限解方程，逻辑不成立，大题会丢步骤分。
渐近线漏方向：水平和斜渐近线必须分别判断x→+∞x\to+\inftyx→+∞和x→−∞x\to-\inftyx→−∞，避免漏算。
0・∞型默认结果为 0：0 乘无穷大是未定式，必须转化后计算，结果不一定为 0

警告⚠️

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

在做题中，遇到分式的根号（其实准确来说，只要遇到一些根式，不一定非得分式根号），第一步永远要想着有理化，无论是分母有根号还是分子有根号，没有分母可以创造分母（如把 1 当做分母或者倒代换（即把通项移到根式外面等等）），都第一步永远要想着有理化。

如 limn→15x−4−xx−1lim_{n \to 1} \frac{\sqrt{5x-4}-\sqrt{x}}{x-1}limn→1x−15x−4−x，可以对分子有理化，然后消去零因子

对于一些高次表达式多项式因式分解技巧，
遇到 (x→a)的(00)(x\to a)的(\frac{0}{0})(x→a)的(00) 型极限，固定走这个流程：
1. 先做一步平移代换(t=x-a)，转化为 (t→0)(t\to0)(t→0) 的标准场景；
2. 转化后优先用等价无穷小、重要极限化简；
3. 实在化简不了，再考虑洛必达或泰勒。
遇到 (\infty-\infty) 型极限，按这个固定优先级走：
1. 有分母 → 先通分，转化为 (00)(\frac{0}{0})(00) 或 (∞∞)(\frac{\infty}{\infty})(∞∞)；
2. 无分母、带根式 → 优先分子有理化（补分母为 1）；
3. 无分母、不带根式 → 优先倒代换创造分母，再化简。

高等数学 - 公式合集

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

Chapter 0：数学基础#

0.1 函数运算#

0.1.1 三角函数#

secx 与 cscx

值域：(−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)(−∞,−1]∪[1,+∞)
值：用 cos⁡x\cos xcosx 和 sin⁡x\sin xsinx 的倒数来算就可以
图像：
- Pasted image 20240528170409.png
- Pasted image 20240528170424.png

反三角函数

概念：
- 注意：
  - 反正弦函数并不是 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 在整个定义域上的反函数，注意 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx 的值域；
  - 它仅是 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 在 [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right][−2π,2π] 上的反函数，其他区间的反函数求解需要通过恒等变形平移到 [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right][−2π,2π] 上才能表示，反余弦函数类似；
- 关系：arcsinx 与 sinx
  - 在 [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right][−2π,2π] 时，由反函数 f−1[f(x)]=xf^{-1}[f(x)]=xf−1[f(x)]=x 可知：arcsin⁡(sin⁡x)=xarc\sin(\sin x)=xarcsin(sinx)=x
  - 在 [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right][−2π,2π] 时，由反函数 f[f−1(x)]=xf[f^{-1}(x)]=xf[f−1(x)]=x 可知：sin⁡(arcsin⁡x)≡x\sin(\arcsin x)\equiv xsin(arcsinx)≡x
- 举例：利用恒等变换平移 x：
  - 求 arcsin⁡(sin⁡x),x∈(34π,π)\arcsin (\sin x),x\in(\frac{3}{4}\pi,\pi)arcsin(sinx),x∈(43π,π)
  - 构造 sin⁡x=sin⁡(π−x)\sin x = \sin(\pi-x)sinx=sin(π−x)，将区间移动至 (14π,0)(\frac{1}{4}\pi,0)(41π,0)，此时才可以使用复合函数
  - 得到 arcsin⁡(sin⁡x)=arcsin⁡(sin⁡(π−x))=π−x,x∈(34π,π)\arcsin (\sin x)=\arcsin(\sin(\pi-x))=\pi-x, x\in (\frac{3}{4}\pi,\pi)arcsin(sinx)=arcsin(sin(π−x))=π−x,x∈(43π,π)
arcsinx：
- 值域：[−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][−2π,2π]
- Pasted image 20240528170558.png
arccosx：
- 值域：[0,π][0,\pi][0,π]
- Pasted image 20240528170623.png

补充：arctan⁡\arctanarctan 的定义

tan⁡(arctan⁡x)= x\tan(\arctan x)= xtan(arctanx)= x
图示
- Pasted image 20240301003959.png
表格
- Pasted image 20240301004243.png

三角函数基础

和差公式：
- 公式：
  - sin⁡(x±y)=sin⁡xcos⁡y±cos⁡xsin⁡ycos⁡(x±y)=cos⁡xcos⁡y∓sin⁡xsin⁡ytan⁡(x±y)=tan⁡x±tan⁡y1∓tan⁡xtan⁡y.\begin{aligned}&\sin\left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y\\&\cos\left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y\\&\tan\left(x\pm y\right)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}.\end{aligned}sin(x±y)=sinxcosy±cosxsinycos(x±y)=cosxcosy∓sinxsinytan(x±y)=1∓tanxtanytanx±tany.
- 常用结论：
  - sin⁡x+cos⁡x=sin⁡(x+π4)\sin x+\cos x=\sin(x+\frac{{\pi}}{4})sinx+cosx=sin(x+4π)
  - sin⁡(nπ+α)=(−1)nsin⁡α\sin(n\pi+\alpha)=(-1)^n\sin\alphasin(nπ+α)=(−1)nsinα
- 诱导公式：
  - Pasted image 20240825180254.png
倒数关系：
- tan⁡αcot⁡α=1、sin⁡αcsc⁡α=1、cos⁡αsec⁡α=1\tan\alpha\cot\alpha=1、\sin\alpha\csc\alpha=1、\cos\alpha\sec\alpha=1tanαcotα=1、sinαcscα=1、cosαsecα=1
商数关系：
- tan⁡α=sin⁡αcos⁡α、cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}、\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}tanα=cosαsinα、cotα=sinαcosα
平方关系：
- sin⁡2α+cos⁡2α=1、1+tan⁡2α=sec⁡2α、1+cot⁡2α=csc⁡2α \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1、1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha、1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alphasin2α+cos2α=1、1+tan2α=sec2α、1+cot2α=csc2α
二倍角公式：
- sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alphasin2α=2sinαcosα
- cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alphacos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
- tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α=2cot⁡αcot⁡2α−1=2cot⁡α−tan⁡α\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1}=\frac{2}{\cot\alpha-\tan\alpha}tan2α=1−tan2α2tanα=cot2α−12cotα=cotα−tanα2
半角公式：

&\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}} \ &\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \ &\tan{\frac{\alpha}{2}}={\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}}={\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}} \ &\cot{\frac{\alpha}{2}}={\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}={\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}}=\pm{\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}} \end{aligned}$$

降次与升次
- 降次公式：
  - cos⁡2α=1+cos⁡2α2,sin⁡2α=1−cos⁡2α2,tan2α=1−cos2α1+cos2α\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},tan^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{1+cos2\alpha}cos2α=21+cos2α,sin2α=21−cos2α,tan2α=1+cos2α1−cos2α
- 升次公式：
  - 1+cos⁡2α=2cos⁡2α,1−cos⁡2α=2sin⁡2α,1±sin⁡2α=(sin⁡α±cos⁡α)21+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha,1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha, 1\pm\sin2\alpha=\left(\sin\alpha\pm\cos\alpha\right)^21+cos2α=2cos2α,1−cos2α=2sin2α,1±sin2α=(sinα±cosα)2
- cos⁡x\cos xcosx 的消 111 特性：
  - 举例：1−cos⁡x=1−(cos⁡2∗x2)=1−(1−2sin⁡2x2)=2sin⁡2x21-\cos x=1-(\cos 2*\frac{x}{2})=1-(1-2\sin^2 \frac{x}{2})=2\sin^2 \frac{x}{2}1−cosx=1−(cos2∗2x)=1−(1−2sin22x)=2sin22x
反三角函数：
- x=asin⁡t时，t=arcsin⁡xa.x=a\sin t { 时}，t=\arcsin\frac xa.x=asint时，t=arcsinax.
- x=a sect时,t=arccos⁡ax\text{x=a sect}时,t=\mathrm{arc}\cos\frac{a}{x}x=a sect时,t=arccosxa

三角函数求导合集

正弦、余弦：
- (sin⁡x)′=cos⁡x、(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)^{\prime}=\cos x、(\cos x)^{\prime}=-\sin x(sinx)′=cosx、(cosx)′=−sinx
tan、cot、sec、csc：
- (tan⁡x)′=sec⁡2x(cot⁡x)′=−csc⁡2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}(tanx)′(secx)′=sec2x=secxtanx(cotx)′(cscx)′=−csc2x=−cscxcotx
反三角函数：
- (arcsin⁡x)′=11−x2(arccos⁡x)′=−11−x2(arctan⁡x)′=11+x2(arccotx)′=−11+x2\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(arccot x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}(arcsinx)′=1−x21(arctanx)′=1+x21(arccosx)′=−1−x21(arccotx)′=−1+x21

0.1.2 极坐标#

极坐标基础概念

转换：
- {x=rcosθy=rsinθ⇔{r=x2+y2θ=arcsin⁡yr=arcsin⁡yx2+y2\left\{\begin{array}{c}x=r\mathrm{cos}\theta\\y=r\mathrm{sin}\theta\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\arcsin\frac yr=\arcsin\frac y{x^2+y^2}\end{array}\right.{x=rcosθy=rsinθ⇔{r=x2+y2θ=arcsinry=arcsinx2+y2y
- 注意：上述转换方法仅限于二者圆点相同，且极坐标参考系与直角坐标的 𝑥 轴方向相同的情况；

极坐标常见函数形式

射线 y=kx ，其极坐标方程：θ=θ0\theta=\theta_0θ=θ0
圆心在原点，半径为 a 的圆：r=ar=ar=a
圆心在 (a,0) 点，半径为 a 的圆：r=2acos⁡θr=2a\cos\thetar=2acosθ
圆心在 (0,a) 点，半径为 a 的圆：r=2asin⁡θr=2a\sin\thetar=2asinθ

0.1.3 参数方程#

参数方程

直线：
- 形式：
  - y=k(x−x0)+y0y=k(x-x_{0})+y_{0}y=k(x−x0)+y0
- 参数方程：
  - {x=x0+tcos⁡αy=y0+tsin⁡α\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha\\y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}{x=x0+tcosαy=y0+tsinα
- 图示：
  - Pasted image 20240531042042.png
圆：
- 形式：
  - (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2
- 参数方程：
  - {x=a+rcos⁡ty=b+rsin⁡t\begin{cases}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{cases}{x=a+rcosty=b+rsint
- 图示：
  - Pasted image 20240531042219.png

初等数学常见参数方程

圆:{x=rcos⁡ty=rsin⁡t椭圆:{x=acos⁡ty=bsin⁡t双曲线:{x=asec⁡ty=btan⁡t一抛物线:{x=2cty=t2螺线:{x=tcos⁡lty=tsin⁡lt摆线:{x=r⋅(t−sin⁡t)y=r⋅(1−cos⁡t)\begin{aligned} &\text{圆:} \left\{\begin{array}{l}x=r\cos t\\y=r\sin t\end{array}\right. \\ &\text{椭圆:}\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t&\end{cases} \\ &\text{双曲线:}\left\{\begin{array}{l}x=a\sec t\\y=b\tan t\end{array}\right. \\ &\text{一} \text{抛物线:}\left\{\begin{array}{l}x=2ct\\y=t^2\end{array}\right. \\ &\text{螺线:} \left\{\begin{matrix}x=t\cos lt\\y=t\sin lt\end{matrix}\right. \\ &\text{摆线:} \left\{\begin{array}{l}x=r\cdot(t-\sin t)\\y=r\cdot(1-\cos t)\end{array}\right. \end{aligned}圆:{x=rcosty=rsint椭圆:{x=acosty=bsint双曲线:{x=asecty=btant一抛物线:{x=2cty=t2螺线:{x=tcoslty=tsinlt摆线:{x=r⋅(t−sint)y=r⋅(1−cost)

常见参数方程及其图形

星形线
- 一般式 x23+y23=a23x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}x32+y32=a32
- 参数方程 {x=acos⁡3θy=asin⁡3θ\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\y=a\sin^3\theta\end{cases}{x=acos3θy=asin3θ
- 图像：
  - Pasted image 20240825155755.png
摆线
- 参数方程 {x=a(θ−sin⁡θ)y=a(1−cos⁡θ).\text{参数方程 }\begin{cases}x=a (\theta-\sin\theta)\\y=a (1-\cos\theta)\end{cases}.参数方程 {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ).
- Pasted image 20240825155730.png
对数螺纹线：
- ρ=aeθ\rho=a\mathrm{e}^{\theta}ρ=aeθ
- Pasted image 20240825155838.png
双扭线
- Pasted image 20240825155711.png

0.1.4 对数与指数#

对数运算法则

loga(mn)=logam+loganlog_a(mn)=log_am+log_anloga(mn)=logam+logan
- 注意：log⁡2(m+n)不能拆开为(log⁡2m)∗(log⁡2n)\log_2{(m+n)}不能拆开为(\log_2m)*(\log_2n)log2(m+n)不能拆开为(log2m)∗(log2n)，只能进行上面的运算，两者不要弄混了；
logamn=nlogamlog_am^n=nlog_amlogamn=nlogam
loga(mn)=logam−loganlog_a\left(\frac{m}{n}\right)=log_am-log_anloga(nm)=logam−logan
logamn=1nlogamlog_a\sqrt[n]{m}=\frac{1}{n}log_amloganm=n1logam
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}logab=logcalogcb
uv=evln⁡u(u>0)u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\left(u>0\right)uv=evlnu(u>0)

指数运算法则

a^{0}=1\left(a\neq0\right) \quad\quad\quad\quad a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s} \ (a^{r})^{s}=a^{rs} \quad\quad\quad\quad \frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}(a\neq0) \ \left(ab\right)^{r}=a^{r}b^{r} \quad\quad\quad\quad a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}(a\neq0) \end{gathered}$$

对数与指数运算

等式两边同时取对数：
- 作用：同时取对数，消掉指数，得对数
- y=(x+1)3(x−2)2→lny=3ln(x+1)+2ln(x−2)y=(x+1)^{3}(x-2)^{2}\rightarrow lny=3ln(x+1)+2ln(x-2)y=(x+1)3(x−2)2→lny=3ln(x+1)+2ln(x−2)
等式两边同时取指数：
- 作用：同时取指数，消掉对数，得指数
- y=ln⁡(x+x2+1)→ey=x+x2+1y=\ln\left(x+{\sqrt{x^{2}+1}}\right)\rightarrow e^y=x+\sqrt{x^2+1}y=ln(x+x2+1)→ey=x+x2+1

0.1.5 初等函数#

平方、立方、多项公式

三项之和平方差：
- (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
完全立方和、差：
- (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2(a−b)3=a3−b3−3a2b+3ab2\begin{aligned}\left(a+b\right)^3&=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\\left(a-b\right)^3&=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2\end{aligned}(a+b)3(a−b)3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3−b3−3a2b+3ab2
二项式定理：
- (a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk=an+Cn1an−1b+⋯+Cnn−1abn−1+bn\begin{aligned}&\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=a^n+\mathrm{C}_n^1a^{n-1}b+\cdots+\mathrm{C}_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n\end{aligned}(a+b)n=k=0∑nCnkan−kbk=an+Cn1an−1b+⋯+Cnn−1abn−1+bn

分子、分母有理化

有理化 -> 去除掉分子或者分母中的根式
分子有理化：
- 将分子分母同乘以其分子中根式的共轭根式；
- 举例：f(x)=x+1−x−1x=(x+1−x−1)∗(x+1+x−1)x(x+1+x−1)=2x⋅(x+1+x−1)f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}=\frac{2}{x\cdot(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}f(x)=xx+1−x−1=x(x+1+x−1)(x+1−x−1)∗(x+1+x−1)=x⋅(x+1+x−1)2
- 其中 x+1+x−1\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}x+1+x−1 是 x+1+x−1\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}x+1+x−1 的共轭根式；
分母有理化：
- 方法同分子有理化，将分子分母同乘其分母的共轭根式；
分子分母有理化：
- 分子、分母先同乘分子的根式的共轭根式，然后再同乘分母的共轭根式；

裂项

方法：
- 第一步：设拆项后的分式以及 A、b
- 第二步：将带有 A、B 的式子同分，分子中带 A、B 的式子变换成标准式
- 第三步：将带 A、B 的标准式和原式子中分子对比，系数相等，解出 A、b
举例：
- 求xx2−5x+6求\quad\frac{x}{x^2-5x+6}求x2−5x+6x
- 已知xx2−5x+6=x(x−2)(x−3)，设Ax−2+Bx−3已知\frac{x}{x^2-5x+6}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}，设\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}已知x2−5x+6x=(x−2)(x−3)x，设x−2A+x−3B
- 通分，得到：A(x−3)+B(x−2)(x−2)(x−3)=(A+B)x−3A−2B(x−2)(x−3)\frac{\text{A}(x-3)+\text{B}(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{(\text{A+B})x-3\text{A}-2\text{B}}{(x-2)(x-3)}(x−2)(x−3)A(x−3)+B(x−2)=(x−2)(x−3)(A+B)x−3A−2B
- 对比系数 x，得到：{(1)A+B=1(2)3A+2B=0\left.\left\{\begin{array}{c}\left(1\right)\mathrm{A}+\mathrm{B}=1\\\left(2\right)\mathrm{3A}+2\mathrm{B}=0\end{array}\right.\right.{(1)A+B=1(2)3A+2B=0
- 可得：B=3, 则 A=2，即：2x−2+3x−3\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}x−22+x−33
举例 2：
- Pasted image 20241127124659.png

加项、减项、拆

目的：
- 进行多项式分式的化简；
方法：
- 从分子的最高项开始入手，去凑与分母相同的公因式进行相消，随后依次逐个从高到低进行化简，直至化到分子最高项小于分母；

一元二次方程

对 ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0\left(a\neq0\right)ax2+bx+c=0(a=0)：
- △=b2−4ac>0⇔\triangle = b^2- 4ac> 0\Leftrightarrow△=b2−4ac>0⇔ 方程有两个不同的实根；
- △=b2−4ac=0⇔\triangle = b^2- 4ac= 0\Leftrightarrow△=b2−4ac=0⇔ 方程有两个相等实根；
- △=b2−4ac<0⇔\bigtriangleup=b^2-4ac<0\Leftrightarrow△=b2−4ac<0⇔ 方程有一对共轭复根
求根公式：
- x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x1,2=2a−b±b2−4ac

求解三次方程

第一步：将方程改写成 x3+bx2+cx+d=0x^3+bx^2+cx+d=0x3+bx2+cx+d=0 的形式；
第二步：猜根，根据 d 猜测其可以分解成哪三个数的乘积；
第三步：整理，分解因式 -> 先将其整理成 (x−x0)(x2+px+q)=0(x-x_0)\left(x^2+px+q\right)=0(x−x0)(x2+px+q)=0 的形式，求解 x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0 得到另外两个根；

结论

反正切函数：
- arctan⁡x+arctan⁡1x≡π2(x>0).\arctan x+\arctan\frac1x\equiv\frac\pi2(x>0).arctanx+arctanx1≡2π(x>0).
下面指数直接写值：
- (−1)2n=1(−1)2n−1=−1(-1)^{2n}=1\quad\quad(-1)^{2n-1}=-1(−1)2n=1(−1)2n−1=−1
- n→∞时,(−1)n−3=(−1)n−1n\to\infty时,\quad(-1)^{n-3}=(-1)^{n-1}n→∞时,(−1)n−3=(−1)n−1
- xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1)

0.2 几何基础#

0.2.1 直线#

直线常用形式

点斜式：y−y0=k(x−x0)y-y_0=k\left(x-x_0\right)y−y0=k(x−x0)
两点式：y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)→y−y1y2−y1=x−x1x2−x1.y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)\rightarrow \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.y−y1=x2−x1y2−y1(x−x1)→y2−y1y−y1=x2−x1x−x1.
标准式：Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0

点到直线距离公式

距离公式：
- d=∣Ax1+By1+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣

法线、切线

切线方程：y−y0=f′(x0)(x−x0)y-y_{0}=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})y−y0=f′(x0)(x−x0)
法线方程：y−y0=−1f′(x0)(x−x0)y-y_0=-\frac1{f^{\prime}(x_0)}(x-x_0)y−y0=−f′(x0)1(x−x0)

0.2.2 圆与椭圆#

圆及其标准形式

标准形式：(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2(x−a)2+(y−b)2=R2
周长：2πR2\pi R2πR
面积：πR2\pi R^2πR2
圆的表面积：S=4πR2S=4\pi R^2S=4πR2
圆的体积公式：43πR3\frac{4}{3}\pi R^334πR3

圆锥的体积

S 为圆锥的底面积，H 为圆锥的高，则：
S圆锥=13SHS_{圆锥}=\frac{1}{3}SHS圆锥=31SH
若圆锥底面的半径为 R，则：
S圆锥=π3R2HS_{圆锥}=\frac{\pi}{3} R^2HS圆锥=3πR2H

椭圆及其面积

椭圆方程： x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1
偏心椭圆方程：
- x 轴平移 m，沿 y 轴平移 n
- (x−m)2a2+(y−n)2b2=1\frac{\left(x-m\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-n\right)^2}{b^2}=1a2(x−m)2+b2(y−n)2=1
椭圆面积：S=πabS=\pi abS=πab

0.2.3 三角形面积#

概念：三角形的两个面积公式

设 x、y、z 是三角形的两个边，并且 y 为三角形的底边，h 为三角形的高，三角形的周长为 2p
S=p(p−x)(p−y)(p−z)=12yhS=\sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}=\frac12yhS=p(p−x)(p−y)(p−z)=21yh

0.2.4 体积#

概念

四面体体积：
- V四面体=13S底面积∗高V_{四面体}=\frac{1}{3}S_{底面积}*高V四面体=31S底面积∗高

0.3 数列与数学归纳法#

0.3.1 数列求和#

等差与等比数列

等差数列求和：sn=(a1+an)n2s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}sn=2(a1+an)n
等比数列求和：sn={na1,(q=1),a1(1−qn)1−q,(q≠1).s_n=\begin{cases}na_1,\quad(q=1),\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},\quad(q\neq1).\end{cases}sn={na1,(q=1),1−qa1(1−qn),(q=1).

常用求和结论

∑k=1114k2−1=12∑k=1n(12k−1−12k+1)=12(1−12k+1)\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2k+1})∑k=114k2−11=21∑k=1n(2k−11−2k+11)=21(1−2k+11)
∑k=1nk=12n(n+1)\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)∑k=1nk=21n(n+1)
∑k=1nk2=16n(n+1)(2n+1)\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)∑k=1nk2=61n(n+1)(2n+1)

0.3.2 数学归纳法#

第一数学归纳法

第一数学归纳法适合于递推式只涉及到 a1a_1a1 和 ana_nan 两项的命题，其步骤为：
（1）验证 n=1 时命题正确；
- 将 n=1 代入等式左右两边，看是否成立；
（2）假设 n=k 时命题正确；
- 自己设一个任意数 k，并且假设现在这个 k 就是 n，代入到式子左右两边；
（3）证明 n=k+1 时命题正确
- 取 n=k+1，将其代入式子左边（求和式）与右边，将其整理为 n=k+1 的等式形式；

第二数学归纳法

举例：
- 设 Dn=2aDn−1−a2Dn−2D_n= 2aD_{n- 1}- a^{2}D_{n- 2}Dn=2aDn−1−a2Dn−2 , D1=2aD_{1}= 2aD1=2a, D2=3a2(a≠0)D_2=3a^2\left(a\neq0\right)D2=3a2(a=0),利用数学归纳法证明：Dn=(n+1)an.D_n=\left(n+1\right)a^n.Dn=(n+1)an.
第二数学归纳法适合于递推式涉及到 an−1a_{n-1}an−1，ana_nan 和 an+1a_{n+1}an+1 三项的命题，其步骤为：
（1）验证 n=1 和 n=2 时命题正确;
- 当 n=1n=1n=1 时 D1=2a=(1+1)a1D_1=2a=\left(1+1\right)a^{1}D1=2a=(1+1)a1,
- 当 n=2n=2n=2 时，D2=(2+1)a2D_2= ( 2+ 1) a^2D2=(2+1)a2,命题成立，
（2）假设 n<k 时命题正确；
- 设n<k时, 有Dn=(n+1)an成立\text{设}n<k\text{时, 有}D_n=\left (n+1\right) a^n\text{成立}设n<k时, 有Dn=(n+1)an成立
（3）证明 n=k 时命题正确；
- 则当 n=k 时，Dk=2aDk−1−a2Dk−2=2a(kak−1)−a2[(k−1)ak−2]=(k+1)ak.\begin{aligned}&D_k=2aD_{k-1}-a^2D_{k-2}=2a\left(ka^{k-1}\right)-a^2\left[\left(k-1\right)a^{k-2}\right]\end{aligned}=\begin{pmatrix}k+1\end{pmatrix}a^k.Dk=2aDk−1−a2Dk−2=2a(kak−1)−a2[(k−1)ak−2]=(k+1)ak.
- 由数学归纳法可知其成立；

0.4 其他知识#

0.4.1 复数#

概念

复数：对任意两实数x,y,称 z=x+iy 或 z=x+yi 为复数\text{对任意两实数x,y,称 z=x+iy 或 z=x+yi 为复数}对任意两实数x,y,称 z=x+iy 或 z=x+yi 为复数
运算：i2=−1i=−1i 称为虚部i^2=-1\quad i=\sqrt{-1}\quad\text{i 称为虚部}i2=−1i=−1i 称为虚部
举例：−4=2−1=2i\sqrt{-4}=2\sqrt{-1}=2i−4=2−1=2i

0.4.2 物理应用#

0.4.3 常用不等式#

基本不等式

乘法、开方原则：
- (乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1);(\text{乘方法则})a>b>0\Rightarrow a^{n}>b^{n}(n\in N,\text{且}n>1) ;(乘方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1);
- (开方法则)a>b>0⇒an>bn(n∈N,且n>1)\\(\text{开方法则})a>b>0\Rightarrow\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n\in N,\text{且}n>1)(开方法则)a>b>0⇒na>nb(n∈N,且n>1)
基本不等式：
- a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号a^2+b^2\geq2ab，当且仅当a=b时取等号a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号
- a+b+c3≥abc3(a,b,c∈R+)\frac{a+b+c}3\geq\sqrt[3]{abc} (a,b,c\in R^+)3a+b+c≥3abc(a,b,c∈R+)

高数常用不等式

绝对值不等式：
- −∣x∣⩽x⩽∣x∣-|x|\leqslant x\leqslant|x|−∣x∣⩽x⩽∣x∣
- ∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|∣a∣−∣b∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
- ∣sin⁡x∣⩽1|\sin x|\leqslant1∣sinx∣⩽1
常用其他不等式：
- (1)∣sin⁡x∣⩽∣x∣,∀x∈R,当x=0时取等号;(2)∣x∣⩽∣tan⁡x∣,∀x∈(−π2,π2),当x=0时取等号;(3)x1+x⩽ln⁡(1+x)⩽x,∀x⩾0;\begin{aligned}&(1) \left|\sin x\right|\leqslant\left|x\right|, \forall x\in R , \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(2) \left|x\right|\leqslant\left|\tan x\right|, \forall x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(3) \frac{x}{1+x}\leqslant\ln\left(1+x\right)\leqslant x , \forall x\geqslant0 ;\end{aligned}(1)∣sinx∣⩽∣x∣,∀x∈R,当x=0时取等号;(2)∣x∣⩽∣tanx∣,∀x∈(−2π,2π),当x=0时取等号;(3)1+xx⩽ln(1+x)⩽x,∀x⩾0;
- ln⁡n<n\ln n<\sqrt nlnn<n
积分不等式：
- f(x)⩽g(x),则∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx.f(x){\leqslant}g(x)\text{,则}\int_a^bf(x)dx{\leqslant}\int_a^bg(x)dx .f(x)⩽g(x),则∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx.
- ∣∫abf(x)dx∣⩽∫ab∣f(x)∣dx(a<b)\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leqslant\int_a^b\left|f(x)\right|dx(a<b)∫abf(x)dx⩽∫ab∣f(x)∣dx(a<b)
- 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则:\text{ 设}M\text{ 及}m\text{ 分别是函数}f(x)\text{在区间}[a,b]\text{上的最大值和最小值,则:} 设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值,则:
 - m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)(a<b)(积分估值定理)\\m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a)(a<b)\text{(积分估值定理)}m(b−a)⩽∫abf(x)dx⩽M(b−a)(a<b)(积分估值定理)

Chapter 1：函数、极限、连续#

1.1 函数基础性质#

基本初等函数

幂函数、指数、对数、三角函数、反三角函数；

初等函数

1. 常数和五类基本初等函数构成；
1. 进行的加减乘除以及复合；
1. 所得到的用一个解析式表达的函数；

反函数与复合函数

情况一： f−1[f(x)]=xf^{-1}[f(x)]=xf−1[f(x)]=x
情况二： f[f−1(x)]=xf[f^{-1}(x)]=xf[f−1(x)]=x

奇偶性

奇偶判断：
- 常见奇函数：\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},{\ln(x+\sqrt{1+x^2})},\frac{e^x-1}{e^x+1},$$f(-x)=-f(x)
- 常见偶函数：x2,∣x∣,cos⁡x,f(x)=f(−x)x^2,|x|,\cos x,f(x)=f(-x)x2,∣x∣,cosx,f(x)=f(−x)
运算规则：
- 奇函数 + 奇函数 = 奇函数
- 偶函数 + 偶函数 = 偶函数
- 奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶
- 奇函数 × 奇函数 = 偶函数
- 偶函数 × 偶函数 = 偶函数
- 奇函数 × 偶函数 = 奇函数
复合函数：
- 内奇外同，内偶则偶
- 内函数是奇函数，则复合函数得奇偶性和外函数相同；
- 内函数是偶函数，则复合函数是偶函数；
导数关系：
- 奇函数的导函数：偶函数；
- 偶函数的导函数：奇函数；

周期性

1. sin⁡x,cos⁡x周期为2π；sin⁡2x,∣sin⁡x∣周期为π\sin x,\cos x\text周期为2\pi；\sin2x,|\sin x|\text周期为\pisinx,cosx周期为2π；sin2x,∣sinx∣周期为π
1. 若f(x)以T为周期,则f(ax+b) 以T∣a∣为周期.\text{若}f(x)\textit{以}T\text为周期,则f(a\text{x}+b)\textit{ 以}\frac T{|a|}\text{为周期}.若f(x)以T为周期,则f(ax+b) 以∣a∣T为周期.

1.2 极限、连续#

无穷小

同阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为常数 C（C 不等于 0）；
等价无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为常数 1；
高阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为 0；可记为：α(x)=o(β(x))\alpha(x)=o(\beta(x))α(x)=o(β(x))
低阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为无穷；
若lim⁡α(x)[β(x)]k=C≠0,称α为β的 k 阶无穷小；\text{若}\lim\frac{\alpha (x)^{\color{red}{}}}{\left[\beta (x)\right]^{k}\color{red}}=C\neq 0,\text{称α为β的 k 阶无穷小；}若lim[β(x)]kα(x)=C=0,称α为β的 k 阶无穷小；

连续性

定义：
- 定义 1：若 lim⁡Δx→0Δy=lim⁡Δx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，则称y=f(x)在x0点连续\text{若 }\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，则称y=f(x)在x_0点连续若 limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)−f(x0)]=0，则称y=f(x)在x0点连续
- 定义 2：设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 的某个邻域内有定义，如果当 x→x0x\to x_0x→x0 时，函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的极限值存在，且等于 x0x_{0}x0 处的函数值 f(x0)f(x_0)f(x0) , 即 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0), 则称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处连续.
f(x)f(x)f(x) 连续的充分必要条件：f(x)f(x)f(x) 左连续且右连续，左右连续相等；

间断点

1. 第一类间断点：左, 右极限均存在；
- 可去间断点：且左极限=右极限；
- 跳跃间断点：左极限不等于右极限；
1. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在；
- 无穷间断点：比如 1/x1/x1/x 中，当 x=0 时；
- 振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时，sin1/xsin1/xsin1/x 为振荡间断点；
- 无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；
常见需分左右极限情况：
- 1. 分段函数分界点；
- 1. E 无穷：e∞e^{\infty}e∞；
- 1. Arctan 无穷；

1.3 求极限的方法#

1.3.1 利用基本极限求极限#

常用基本极限

lim⁡x→0sin⁡xx=1;\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1;limx→0xsinx=1;

幂指数与根号

lim⁡x→0(1+x)1x=e;\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e;limx→0(1+x)x1=e;
- 是 1∞1^\infty1∞ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的；
- lim⁡x→0(1+1x)x\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}limx→0(1+x1)x 不存在，因为 x 趋向于 0 时，还可以是趋向于 0 负；
- 易错点：注意以下极限不等于 a； lim⁡n→∞a(nn+1)n=ae\lim_{n\to \infty} a(\frac{n}{{n+1}})^n=\frac{a}{e}limn→∞a(n+1n)n=ea
lim⁡x→0+(1+1x)x=1\lim_{x\to0^+}(1+\frac{1}{x})^{x}=1limx→0+(1+x1)x=1
lim⁡x→∞(1+1x)x=e;\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e;limx→∞(1+x1)x=e;
- 是 1∞1^\infty1∞ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的
- lim⁡x→∞(1+x)1x\lim_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}limx→∞(1+x)x1
lim⁡x→+∞(1+x)1x=1\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1limx→+∞(1+x)x1=1
lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a;\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}x=\ln a;limx→0xax−1=lna;
lim⁡n→∞nn=1.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.limn→∞nn=1.
- 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；
lim⁡n→∞an=1,(a>0).\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,(a>0).limn→∞na=1,(a>0).
- 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；

分段函数

lim⁡x→∞anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0=∣anbm,n=m,0,n<m,∞,n>m.\left.\lim_{{x\to\infty}}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{{b}_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left|\begin{array}{ll}\frac{a_n}{b_m},&n=m,\\0,&n<m,\\\infty,&n>m.\end{array}\right.\right.limx→∞bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=bman,0,∞,n=m,n<m,n>m.
- 分子分母这么多项，结果主要取决于最大的数（最高次数）；
- 注意 x 是趋向于无穷。
- 当 x 趋向于 0 时，此时函数的值应该取决于最小的数（最低次数）；
lim⁡n→∞xn={0,∣x∣<1,∞,∣x∣>11,x=1.不存在,x=−1.\lim_{{n\to\infty}}x^n=\begin{cases}\begin{array}{c}\mathbf{0},&|x|<1,\\\infty,&{|x|>1}\\1,&{x=1}.\end{array}\\\text{不存在,}&x=-1.&\end{cases}limn→∞xn=⎩⎨⎧0,∞,1,∣x∣<1,∣x∣>1x=1.不存在,x=−1.
lim⁡n→∞enx={0,x<0,+∞,x>01,x=0.\lim_{n\to\infty}e^{{nx}}=\begin{cases}0,&x<0,\\+\infty,&x>0\\1,&x=0.&\end{cases}limn→∞enx=⎩⎨⎧0,+∞,1,x<0,x>0x=0.

1 的无穷大次方

对 1∞1^{\infty}1∞ 而言，其结果是不定式，不一定等于 1；
若 lim⁡α(x)=0,lim⁡β(x)=∞, 且 lim⁡α(x)β(x)=A。则 lim⁡(1+α(x))β(x)=eA\text{若 }\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty,\text{ 且 }\lim\alpha(x)\beta(x)=A。\text{则 }\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)}=e^A若 limα(x)=0,limβ(x)=∞, 且 limα(x)β(x)=A。则 lim(1+α(x))β(x)=eA
- 即核心在 lim⁡α(x)β(x)=A\lim\alpha(x)\beta(x)=Alimα(x)β(x)=A，看它是否成立；
方法三部曲
- 1. 写成标准形式：原式 =lim[1+α(x)]β(x)\text{原式 }=\mathbf{lim}[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}原式 =lim[1+α(x)]β(x)；
- 1. 求极限：lim⁡α(x)β(x)=A;\lim\alpha(x)\beta(x)=A;limα(x)β(x)=A;
- 1. 写结果：原式=eA.\text{原式}=e^A.原式=eA.

1.3.2 等价无穷小代换#

等价代换的原则

1. 乘除关系可以换
- 若 α∼α1,β∼β1,则lim⁡αβ=lim⁡α1β=limαβ1=limα1β1\text{若 }\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\text{则}\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha_1}\beta=\mathbf{lim}\frac\alpha{\beta_1}=\mathbf{lim}\frac{\alpha_1}{\beta_1}若 α∼α1,β∼β1,则limβα=limβα1=limβ1α=limβ1α1
1. 加减关系在一定条件下可以换
- 减法
  - 若 α∼α1,β∼β1,且 lim⁡α1β1=A≠1. 则 α−β∼α1−β1\text{若 }\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{-}\beta_1若 α∼α1,β∼β1,且 limβ1α1=A=1. 则 α−β∼α1−β1
  - 减法换的条件：两个减法项不等价，A 不等于 1；
  - 比如：sin2x−tanxsin2x - tanxsin2x−tanx ~ 2x−x2x - x2x−x
- 加法
  - 若α∼α1,β∼β1,且 lim⁡α1β1=A≠−1. 则 α−β∼α1+β1\text{若}\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{+}\beta_1若α∼α1,β∼β1,且 limβ1α1=A=−1. 则 α−β∼α1+β1
  - 减法换的条件：两个加法项不等价，A 不等于 -1；

常用等价无穷小

当 x 趋向于 0 时；
(1+x)α−1∼αx{(1+x)^\alpha-1}\sim{\alpha x}(1+x)α−1∼αx
ex−1∼xe^{x}-1\sim xex−1∼x
- 幂指函数的代换；
x∼sin⁡x∼tan⁡x∼arcsin⁡x∼arctan⁡x∼ln⁡(1+x)∼ex−1;x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\thicksim e^x-1;x∼sinx∼tanx∼arcsinx∼arctanx∼ln(1+x)∼ex−1;
- 变式：ln⁡q(x)∼q(x)−1,q(x)→1\ln q(x)\sim q(x)-1,q(x)\to1lnq(x)∼q(x)−1,q(x)→1
ax−1∼xln⁡a,(1+x)α−1∼αx,1−cos⁡x∼12x2a^x-1\sim x\ln a,\quad{(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x},\quad1-\cos x\sim\frac12x^2ax−1∼xlna,(1+x)α−1∼αx,1−cosx∼21x2

高阶等价无穷小

x−sin⁡x∼16x3x-\sin x\sim\frac16x^3x−sinx∼61x3，tan⁡x−x∼13x3\tan x-x\sim\frac13x^3tanx−x∼31x3
arcsin⁡x−x∼16x3x−arctan⁡x∼13x3\arcsin x-x\sim\frac16x^3\quad x-\arctan x\sim\frac13x^3arcsinx−x∼61x3x−arctanx∼31x3
x−ln⁡(1+x)∼12x2x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2x−ln(1+x)∼21x2

两个等价无穷小的更通用形式

log⁡a(1+2x)∼(2x)a=2axa\log^{a}(1+2x)\sim(2x)^{a}=2^{a}x^{a}loga(1+2x)∼(2x)a=2axa
(1−ax)1α∼(12x2)1α(1-ax)^{\frac{1}{\alpha}}\sim(\frac{1}{2}x^{2})^{\frac{1}{\alpha}}(1−ax)α1∼(21x2)α1

1.3.3 有理运算法则计算极限#

计算前提

极限的加减乘除运算可以拆开来计算，前提是：每个被拆开部分的极限需要存在；

运算规则

规则：

lim(f(x)\cdot g(x))=\lim f(x)\cdot\lim g(x) \\quad\quad\quad\quad\quad\quad lim\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\quad(B\neq0)

+ 加法： + 存在 + 存在：可拆 + 存在 + 不存在：不可拆 + 不存在 + 不存在：不一定 **常用结论** + 1. $\lim f(x)=A\neq0\Rightarrow\lim f(x)g(x)=A\lim g(x);$ + 极限非零的因子的极限可以先求出来； + 2. $\lim\frac{f(x)}{g(x)}\text{ 存在,}\lim g(x)=0\Rightarrow\lim f(x)=0;$ + 3. $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0,\lim f(x)=0\Rightarrow\lim g(x)=0;$ ### 1.3.4 洛必达法则 **洛必达法则** + $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$ **使用前提** + 1. $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0\left(\infty\right)$ + 2. $f(x)\text{ 和 }g(x)\text{在 }x_0\text{的某去心邻域内可导},\text{且 }g^{\prime}(x)\neq0$ + 3. $\lim_{x\to x_0}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\text{存在;}$ + 举例：如果条件是函数 f (x) 二阶可导，则使用洛必达法则最多用到一阶导数 **使用环境** + 种类：$$\frac00;\quad\frac\infty\infty,\quad0\cdot\infty;\quad\infty-\infty;\quad1^\infty;\quad\infty^0;\quad0^0$$ + 解题思路：$\frac00,\frac\infty\infty\quad\Leftarrow\begin{cases}\quad ∞-∞\\0\cdot\infty\quad\Leftarrow\begin{cases}1^\infty\\\infty^0\\0^0&\end{cases}&\end{cases}$ + 转换方法： + $0\cdot\infty\quad$ + 思路：将 0 或者无穷当中一个放到上面（分子）`OR` 下面（分母）； + $1^\infty;\quad\infty^0;\quad0^0$： + 思路：这三种都得改写成 0 乘以无穷大； + 方法： $[f(x)]^{g(x)}=e^{g(x)f(x)}$ -> 改写成 e 的形式； + 核心：求 e 上面的相乘部分的无限； ### 1.3.5 泰勒公式 **常用泰勒公式** + $$\mathrm{e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}x^n=1+x+\frac1{2!}x^2+\cdots\in(-\infty,+\infty)}$$ + $$\sin\mathrm{x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac1{3!}x^3+\frac1{5!}x^5+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)}$$ + $$\cos\mathrm{x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+\cdots,x\in(-\infty,+\infty)}$$ + $$\mathrm{ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3+\cdots,x\in(-1,1]}$$ + $$\begin{aligned}&\frac1{1-\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n=0}}^\infty\mathrm{x^n}=1+\mathrm{x+x^2+x^3+\cdots,x\in(-1,1)}\\&\frac1{1+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n=0}}^\infty(-1)^\mathrm{n}\mathrm{x}^\mathrm{n}=1-\mathrm{x}+\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3+\cdots,\mathrm{x}\in(-1,1)\end{aligned}$$ + $$\mathrm{(1+x)^a=1+\sum_{n=1}^\infty\frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}x^n=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots,x\in(-1,1)}$$ **泰勒公式-展开结论** + 公式： + $$\begin{aligned} &\sin x=x-\frac1{3!}x^3+o\left(x^3\right) \\ &\arcsin x=x+\frac16x^3+o\left(x^3\right) \\ &\tan x=x+\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\arctan x=x-\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\cos x=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4+o\left(x^4\right) \\ &\mathrm{e}^x=1+x+\frac1{2!}x^2+\frac1{3!}x^3+o\left(x^3\right) \\ &\ln\left(1+x\right)=x-\frac12x^2+\frac13x^3+o\left(x^3\right) \\ &\begin{aligned}\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)}{2!}x^2+\end{aligned}\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+o\left(x^3\right) \end{aligned}$$ + 背诵技巧： + 解释： + 变：变符号，`+ - + - + -` + 阶：阶乘，比如 `3` + 口诀： + sin：变阶 135 + cox：变阶 124 + arcsin：正 13 带 6 + tanx：正 13 + arctanx：变 135 + ex：阶乘 123 + In (1+x)：从 x 开始，变 123 ### 1.3.6 定积分定义 ![[Pasted image 20241028004344.png]] # Chapter 2：导数与微分 ## 2.1 导数 **导数定义** + 定义： + $\begin{aligned}\text{若 }&\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}&\text{存在，则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 点可导}.\end{aligned}$ + 另一种形式： + $f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ + 形式一：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ + 形式二：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ **左右导数** + 左右导数的关系：可导 `<-->` **左右导数存在且相等**； ## 2.2 求导 ### 2.2.1 方法一：和差积商求导法则 **有理运算法则** 设 $u(x),\nu(x)$ 都可导，则 + $(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$ + $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ + $(\frac\mu\nu)^{\prime}=\frac{\mu^{\prime}\nu-\nu^{\prime}\mu}{\nu^2}\quad(\nu\neq0)$ ### 2.2.2 方法二：反函数求导法则 **反函数求导** + 公式： + $$(f^{-1})^{\prime}(x)=\frac1{f^{\prime}(y)}\quad\frac{dy}{dx}=\frac1{dx}$$ + 含义： + 函数和反函数是两个函数，但是是同一条曲线； + 因此**当函数连续且单调时，可以知其反函数也同样可导**； ### 2.2.3 方法三：复合函数求导法则 **链式法则** + 设 $u=g(x)$ 在 $x$ 可导，$y=f(u)$ 在对应 $u$ 处可导，则 $y=f[g(x)]$ 在 x 处可导。 + 则： $\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)$ + 其他形式： + $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$ ### 2.2.4 方法四：求导结论 **基本初等函数** + 基本 + $\begin{aligned}&\quad(C)^{\prime}=0\quad&\quad(x^\alpha)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}\\&\quad(a^x)^{\prime}=a^x\ln a\quad&\quad(e^x)^{\prime}=e^x\\&\quad(\log_ax)^{\prime}=\frac1{x\ln a}\quad&\quad(\ln|x|)^{\prime}=\frac1x\end{aligned}$ + 三角函数 + $(\sin x)^{\prime}=\cos x\quad\quad\quad\quad\quad(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ + $\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$ + 反函数导数 + $\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(\arctan x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$ ### 2.2.5 方法五：对数求导法 **例题**：$\text{设}y=\left(1+\sin x\right)^{x},\text{则}\mathrm{d}y|_{x=\pi}=$ + 分析 + 这是幂指函数型，可以使用对数求导法； + 解析 + 先取对数：$\ln y=x\ln(1+\sin x)$ + 两边同时求导：$\frac{y^{\prime}}{y}=\ln(s+\sin x)+\frac{xCosx}{1+\sin x}$ + 提出 $y^{\prime}$，得到导函数 + 带入 x=Π； **重要结论** + $(\ln|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}$ **适用场合** + 1. 幂指型函数； + 2. 连乘、连除、乘法、开方； ## 2.3 高阶导数 **常见求 n 阶导数** + 指数 + $(e^{x})^{(n)}=e^{x}$ + 三角函数 + $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac\pi2)$ + $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$ + `In` 函数 + $(\ln(1+x))^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{(1+x)^n}$ + 加法 + $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$ + 乘法 + 莱布尼茨公式 + ${(u\nu)^{(n)}}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$ ## 2.4 微分 **微分定义** + $\text{若 }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\text{ ，则称 }f(x)$ $在 x _0点可微；$ + $A\Delta x 称为 f(x)在 x_0 点的微分$ + 第一部分为函数变化的主要部分 + 第二部分为高阶无穷小，为次要部分 **可微、可导、连续之间关系** ![[Pasted image 20240317192744.png]] ## 2.5 泰勒公式 **公式**：带 Peano 余项的泰勒公式 + $\text{设}f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处 }n\text{ 阶可微,则}$： + $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$$ + $$f\left(x\right)=\frac{f\left(x_{0}\right)}{0!}+\frac{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}{1!}(x-x_{0})+\frac{f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)}{2!}(x-x_{0})^{2}+\ldots+\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}(x-x_{0})^{n}+o((x-x_0)^n)$$ + $$\text{用}n+1\text{阶导数表示的余项叫拉格朗日余项, 用}o\left (x^n\right)\text{或者}o\left (\left (x-x_0\right)^n\right)\text{表示的是Peano 余项 }$$ **公式**：带 `Peano` 余项的泰勒公式 - 零点的泰勒展开 + $$\begin{gathered}\text{若 }x_0=0\text{ , 则} \\F (x)=f (0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \\上式称为 f (x)\text{ 的 Maclaurin 公式} \end{gathered}$$ **公式**：带有 `拉格朗日余项` 的泰勒公式 + 其中的 $\xi$ 位于 $x$ 到 $x_0$ 之间，因此 + $$f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$ # Chapter 3：微分中值定理 ## 3.1 三大定理 **罗尔定理** + 定义： + 若满足三个条件： + 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续； + 2）$f$ 在 $(a,b)$ 内可导； + 3）f (a)=f (b) + 则可知：$$\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$$ + 图示： + ![[Pasted image 20231225142739.png]] **拉格朗日中值定理** + 定义： + 若满足以下几个条件： + 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续 + 2）$f$ 在 ($a,b)$ 内可导 + 则：$$\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$$ + 图示： + ![[Pasted image 20231225143547.png]] **柯西中值定理** + 定义： + 若满足以下条件： + 1）$f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};$ + 2）$f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0$ + 则：$$\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$$ + 图示： + ![[Pasted image 20240520005038.png]] **三大定理关系** ![[Pasted image 20240322225640.png]] ## 3.2 导数应用 **凹凸性** + 定义： + $\text{设函数}f(x)\text{在区间 }I\text{ 上连续, 如果对}$$I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ + 1）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的 + 2）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的 + 方法： + 用一阶导数的正负 `->` 判断函数的单调性； + 用二阶导数的正负 `->` 判断函数的凹凸性； + 判定： + $\text{设函数}f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内二阶可导},$ + 1）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)\text{>0, 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凹的}$； + 2）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)<0,\text{ 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凸的}$ **拐点** + 定义： + 连续曲线上，凹凸性质发生变化的分界点； + 可能取值点： + 1. ${f^{\prime\prime}(x_0)=0}$； + 2. 二阶导数不存在的点； **渐近线** + 定义： + 1）水平渐近线：若 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A\left(\lim_{x\to-\infty}f(x)=A\right.$,或 $\lim_{x\to+\infty}\overline{f(x)=A}$)，那么 $x\to+\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时，$y=A\text{ 是曲线 }y=f(x)\text{ 的水平渐近线}.$ + 2）垂直渐近线：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ,那么 $x=x_0$ 是 $y=f(x)$ 的垂直渐近线； + 3）斜渐近线：若 $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a\mathrm{~,~}b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)\mathrm{~,~}\text{那么 }\mathrm{~}y=ax+b\mathrm{~}\text{是}$ $y=f(x)\text{ 的斜渐近线}.$ + 方法： + 1. 判断水平渐近线 `->` 当 x `->` 无穷时，y 趋向于有限值； + 2. 判断垂直渐近线 `->` 当 x `->` 某一点（有限值），y 趋向于无穷； + 3. 判断斜渐近线 + `->` $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$ 有限值； + `->` $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=b$ 存在 + 此时有斜渐近线； # Chapter 4：不定积分 ## 4.1 不定积分基础 ### 4.1.1 基础概念 **性质 1**： + $(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)$ + $\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$ **性质 2**： + $\int f^{\prime}(x)\operatorname{d}x=f(x)+C$ + $\int\operatorname{d}f(x)=f(x)+C$ **性质 3**： + $\int[f(x)\pm g(x)]\operatorname{d}x=\int f(x)\operatorname{d}x\pm\int g(x)\operatorname{d}x$ **性质 4**： + $\int kf(x)\operatorname{d}x=k\int f(x)\operatorname{d}x$ ### 4.1.2 基础公式 **基础公式** $$1、\int adx=ax+C\:,\:a是常数$$ $$2、\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C，其中 a 为常数，且 a\neq-1$$ $$3、\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$ $$4、\int e^{x}dx=e^{x}+C$$ $$5、\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C;其中a>0\:,\:目a\neq1$$ $$6、\int\sin xdx=-\cos x+C$$ $$7、\int\cos xdx=\sin x+C$$ $$8、\int\sec^{2}xdx=\tan x+C$$ $$9、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$$ $$10、\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$$ $$11、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$$ $$12、\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$$ $$13、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$$ $$14、\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$ $$15、\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$$ $$16、\int\frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$ $$17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$ $$18、 \int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$$ $$19、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$ $$20、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right.|+C$$ **三角函数合集** **常见三角函数积分** + 和求导一一对应： + $$\int\sin xdx=-\cos x+C、\int\cos xdx=\sin x+C$$ + $$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$$ + $$\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$$ + $$\int\sec^{2}xdx=\tan x+C、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$$ + $$\int\tan x secx=\sec x+C、\int{\cot x\,\csc x}\,dx=-csc x+C$$ **常见反三角函数积分** + $$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$$ + $$\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$$ + $$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$ + $$\int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$$ ## 4.2 不定积分求解 ### 4.2.1 方法一：第一类换元积分法 **第一类换元积分法** + 定义： + 又称作凑微分法； + 若 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C$，$\text{则}\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)\operatorname{d}x=\int f[\varphi(x)]\operatorname{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$ **凑微分形式总结**：常见函数 + 1. $$\int f( ax+ b) dx= \frac 1a\int f( ax+ b)d( ax+ b)$$ + 2. $$\int x^mf( ax^{m+ 1}+ b)dx=\frac 1{( m+ 1) a}\int f( ax^{m+ 1}+ b)d(ax^{m+1}+ b)\quad\quad\quad ( m\neq- 1) $$ + 3. $$\int f( \sqrt {x}) \frac {\mathrm{d} x}{\sqrt {x}}= 2\int f( \sqrt {x})d( \sqrt x)$$ + 4. $$\int f( e^x) \mathrm{e} ^xdx= \int f( \mathrm{e} ^x)d(\mathrm{e} ^x)$$ + 5. $$\int f(\ln x)\:\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x)$$ **凑微分形式总结**：常见三角函数 + 1. $$\int f(\sin x)\cos\:x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x)$$ + 2. $${\int}f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-{\int}f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x)$$ + 3. $$\int f(\tan x)\:\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x)$$ + 4. $${\int}f(\arcsin x)\:\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)$$ + 5. $${\int}f(\arctan x)\:\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x)$$ ### 4.2.2 方法二：第二类换元积分法 **第二类换元积分法** + 定义： + $$\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C$$ + 方法： + 关键是变量代换的选取 `->` 把 x 带换掉了，带换成其他函数 `->` 做出结果后，还要用反函数带回去； **形式总结** + 以下三种形式：$$\begin{aligned}&\sqrt{a^2-x^2} \\&\sqrt{a^2+x^2} \\&\sqrt{x^2-a^2}\end{aligned}$$ + 分别可以使用以下三种形式的 x 来带入，进而消掉根号：$$\begin{aligned}x&=a\sin t(a\cos t)\\\\x&=a\tan t\\\\x&=a\sec t\end{aligned}$$ + 目的：把**根号可以去掉**； ### 4.2.3 方法三：分部积分法 **分部积分法** + 定义： + 设 $u(x),\nu(x)$ 有连续一阶导数，则 $\int udv=uv-\int vdu$ + 方法： + 适用于**两类不同函数相乘**； **使用场合** + 多项函数 × 指数|三角： + 1. $\int p_n(x)e^{ax}\operatorname{d}x$ + 凑指数 + 2. $\int p_n(x)\sin ax\operatorname{d}x$ + 凑三角 + 3. $\int p_n(x)\cos axdx$ + 凑三角 + 多项函数 × 对数|反三角： + 4. $\int P_n(x)\ln xdx$ + 凑多项式 + 5. $\int P_n(x)\arctan xdx$ + 凑多项式 + 6. $\int P_n(x)\arcsin xdx$ + 凑多项式 + 指数 × 三角 + 7. $\int e^{\alpha x}\sin\beta xdx$ + 凑谁都行 + 8. $\int e^{\alpha x}\cos\beta xdx$ + 凑谁都行 # Chapter 5：定积分及反常积分 ## 5.1 定积分概念 **定积分定义** + 定义： + $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 上任意插入分点，分成 n 个小区间 $\Delta x_{1}\Delta x_{2}\cdots\Delta x_{n}$ ，任取一点 i，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$$ + 其中：$$\lambda=\max\{\Delta x_{1}\cdots\Delta x_{n}\}$$ + 定积分存在性： + 条件 1：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 `->` 可积； + 条件 2：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且有有限个间断点 `->` 可积； + 条件 3：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点； + 总结： + 有界是定积分存在的必要条件； + 可积是定积分存在的充分条件； **定积分性质** + 1. $$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int_{a}^{b}g(x)dx$$ + 2. $$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(x\right)dx$$ + 3. 当 $a<c<b$ 时： $$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$$ ## 5.2 变上限定积分 **微积分基本定理** + 定义： + $\text{若 }f(x)\text{在 }[a,b]\text{ 上连续，则：}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\text{ 在 }[a,b]$ 上可导，且有 $$(\int_a^xf(t)\mathrm{d}t)^{\prime}=f(x)$$ + 其他结论： + $$(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)^{\prime}=f(\psi(x))\psi^{\prime}(x)-f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$$ **积分上限函数的奇偶性** + 1. 若 f (x)是奇函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是偶函数； + 2. 若 f (x)是偶函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是奇函数； **变上限定积分三大方法** + 方法一：公式计算 + 举例： $$(\int_{e^{x}}^{x^{2}}f(t)dt)^{\prime}=f(x^{2})\cdot2x-f(e^{x})e^{x}$$ + 方法二：提取 x + 举例： $$\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt;=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt$$ + 积分域以及被积式子里面都有 x； + 能提出 x 时：拆项，把 x 提取出来； + 方法三：换元法 + 举例： $$\int_{0}^{x}cos(x-t)^{2}dt\frac{x-t=u}{}\int_{0}^{x}cos u^{2}du$$ + 积分域以及被积式子里面都有 x； + 不能提出 x 时：换元； + 注意：换元时，x 是常数，t 和 u 是被积分变量； + 举例：当出现上下限都没有 x，但被积分式中有 x 时，需要把 x 换元、带入到上下限当中； + 令 $x+t=u$ 后： $$\int_{1}^{2}f(x+t)dt=\int_{x+1}^{x+2}f(u)du$$ ## 5.3 定积分的计算 ### 5.3.1 方法一：牛顿-莱布尼茨公式 **计算基础**：牛顿 - 莱布尼茨公式 + 定义： + $\text{设 }F(x)\text{ 为连续函数 }f(x)$ $\text{在 }[a,b]\text{ 上的一个原函数,则}$：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，也称之为微积分基本公式； ### 5.3.1 方法二：定积分的换元法 **公式** + $$\int_{a}^{b}f(x)\operatorname{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)\operatorname{d}t$$ ### 5.3.2 方法三：定积分的分部积分法 **公式** + $$\int_{a}^{b}u\operatorname{d}v=uv\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\operatorname{d}u$$ ### 5.3.3 方法四：定积分性质 **方法一：** 利用奇偶性，周期性 + $$\int_{-a}^af(x)\operatorname{d}x=\begin{cases}0,&f(x)&\text{为奇函数,}\\2\int_0^af(x)\operatorname{d}x,&f(x)&\text{为偶函数}.\end{cases}$$ + $$\int_a^{a+T}f(x)\operatorname{d}x=\int_0^Tf(x)\operatorname{d}x.$$ **方法二：** 利用已有公式 + $$\begin{aligned}(1)&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\operatorname{d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\operatorname{d}x=\begin{cases}\frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\frac\pi2,&n\text{偶}\\\frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23,&n\text{奇}&\end{cases}\\(2)&\int_0^{\pi}x\cdot f(\sin x)\operatorname{d}x=\frac\pi2\int_0^{\pi}f(\sin x)\operatorname{d}x\end{aligned}$$ **方法三**：常见结论 + 1. $$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi a^{2}}{4}(a>0)$$ + 2. $$\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{4}a^{2}$$ + 3. $$\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}a^{2}$$ ## 5.4 反常积分 **两类反常积分** + 无穷区间上的反常积分： + $$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f(x)dx$$ + $$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to-\infty}\int_{t}^{b}f(x)dx$$ + 无穷函数的反常积分： + $$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx$$ + $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx.$$ + $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$ **题型一**：判断反常积分敛散性 + 1. 定义法； + 根据当前被积分式，求出其原函数，求原函数在被积分区间上的极限，看起极限值是否收敛； + 2. 比较判别法； + 比较法； + 比较法的极限形式； + 3. P 积分； + 无穷限反常积分 + $$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{P}}dx\begin{cases}P>1&\text{收敛}\\P\leq1&\text{发散}\end{cases}(a>0)$$ + `->` $P>1$ 时收敛，$P<1$ 时发散 + 无界函数的反常积分 + $$\int_a^b\frac1{\left(x-a\right)^P}dx,\int_a^b\frac1{\left(b-x\right)^P}dx\quad\begin{cases}{P}<1&\text{收敛}\\P\geq1&\text{发散}\end{cases}$$ + `->` $P<1$ 时收敛，$P>1$ 时发散 + 哪个方便用哪个； **题型二**：反常积分的计算 + 算个定积分 + 算个极限； + 方法一：换元法 + 方法二：分部法 ## 5.5 定积分应用 **平面图形的面积** + 情况一：平面坐标 + 若平面域 $D$ 由曲线 $y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x))$, $x=a,\quad x=b\quad(a<b)$ 所围成，则： + $$S=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx$$ + 情况二：极坐标 + 若平面域 $D$ 由曲线 $\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)$ 所围成，则： + $$S=\frac 12\int_\alpha^\beta\rho^2 (\theta)\mathrm{d}\theta$$ **旋转体的体积** + 1. 绕 X 轴旋转时： $$V_{x}=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)\operatorname{d}x$$ + 2. 绕 Y 轴旋转时： $$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\operatorname{d}x$$ + 3.![[Pasted image 20241028004801.png]] **弧长的计算** + $$\begin{aligned} &1)C:y=y(x),\quad a\leq x\leq b,\quad s=\int_a^b\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}dx \\ &2)C:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\alpha\leq t\leq\beta.\quad s=\int_\alpha^\beta\sqrt{x^{\prime2}+y^{\prime2}}dt \\ &3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha\leq\theta\leq\beta.\quad s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{2}+{\rho^{\prime}}^{2}}d\theta \end{aligned}$$ ![[Pasted image 20241028004817.png]] # Chapter 6：微分方程 ## 6.1 一阶微分方程 **题型一**：可分离变量 + 形式： + $$y^{\prime}=f(x)g(y)$$ + 方法： + $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ `->` $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ 可以把 $g(y)$ 和 $dy$ 、$f(x)$ 个 $dx$ 分离到等式的两边 `->` 可分离变量的微分方程； + 可分离变量的解：两边积分 $$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$ **题型二**：一阶齐次方程 + 形式： + $$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$$ + 方法： + 第零步：整理成齐次方程的形式，左边只有 $\frac{dy}{dx}$，即 $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$； + 第一步：写下 $u=\frac{y}{x}$ + 第二步：因为 $y=xu$，所以对 y 求导后，可以得到 $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ ，即得到了 $y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=u+xu^{\prime}$ 的表达式； + 第三步：带会原函数，得到 $u+x\frac{du}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$，这个方程是可分离变量； + 即：把其变成可分离变量，求解； **题型三**：一阶线性方程 + 形式： + $$y^{\prime}+P(x)y=Q(x)$$ + 方法： + 整理成标准形式，带通解公式 + $$y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]$$ ## 6.2 二阶微分方程 **题型四**：二阶常系数齐次方程 + 形式： + $$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=0$$ + 方法： + 第一步：写特征方程 + 第二步：找出特征根 + 第三步，根据根的方程，写出对应式子 + 若是不等实根 + 通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ + 若是相等实根 + 通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$ + 若是共轭复根 + 通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$ **题型五**：二阶常系数非齐次方程 + 形式： + 方程： $$y^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)$$ + 两种非齐次项： + 1. $$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$$ + 2. $$f (x)=e^{\alpha x}\left\lfloor P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x\right\rfloor$$ **总结**：方法 + 1. 确定解由几个成分构成，如果由多个成分构成，需要分别为其设特解； + 2. 求出齐次通解 + 第一步：写特征方程 + 第二步：找出特征根 + 第三步，根据根的方程，写出对应式子 + 注意： + 齐次通解中的 $e$ 是 $e^{r x}$，而不是 $e^{\lambda x}$ + 所以可以由齐次方程的通解式，知道当前非齐次方程的特征方程 $r$，但注意是 $r$、不是齐次式中的 $\lambda$ + 若是单实根 + 通解：$y=C_1e^{r_1x}$ + 若是不等实根 + 通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ + 若是相等实根 + 通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$ + 若是共轭复根：$r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ + $\beta$ 为求出来的特征根后背的系数，即此式子 $r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ 中的 $\beta$ + 通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$ + 3. 设特解 $y^{*}$： + 为每个部分设出待定特解为：$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$ 或者 $y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}\bigl[R_{m}^{(1)}(x)\cos\beta x+R_{m}^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]$ + 4. 求待定特解各项： + $e^{\lambda x}$ 或 $e^{\alpha x}$ + `->` 直接从原式中带进来 `->` 顺便还定了这个 $\lambda$ 或者 $\alpha$ 的值； + $Q_m(x)$ + 根据 $P(x)$ 的情况，分析： + 如果 $P(x)$ 是情况一：$P_{m}(x)$ + 观察原式的 $P_{m}(x)$ + 如果是常数项，设为 $a$； + 如果是一次项，设为 $ax+b$； + 如果是二次式，设为 $ax^2+bx+c$； + 如果 $P(x)$ 是情况二：$\bigl[R_{m}^{(1)}(x)\cos\beta x+R_{m}^{(2)}(x)\sin\beta x\bigr]$ + 如果 cos 和 sin 都存在： + 取原式中 $P_{l}^{(1)}(x)$ 和 $P_{n}^{(2)}(x)$ 当中的最高项； + 原式为 $f (x)=e^{\alpha x}\left\lfloor P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x\right\rfloor$ + 如果是常数项，设为 $A\sin x+B\cos x$； + 如果是一次项，设为 $(Ax+B)\sin x+(Cx+D)\cos x$ 类似这种形式； + 如果 cos 和 sin 只有一个存在： + 其存在的那个函数当中的值作为最高项，步骤同 cos 和 sin 都存在时； + $x^{k}$ + 确定 $x^{k}$ 的 $k$： + 如果是情况一： + 如何确定几重根 `->` k 的数值，是当前方程的**齐次方程中求出来的特征方程中、含根 $\lambda$ 的次数**。 + 举例：求齐次方程的通解后，得到 $r_1=3,r_2=1$ ，若 $\lambda =2$，则特征方程中出现了 0 次根 $\lambda$ `->` 所以 $k=0$ + 如果是情况二： + 根据 $\alpha+i\beta$ 是方程的几重根，判断 $k$ 的取值 + $\alpha$ 来自 $e^{\alpha x}$ 中，$\beta$ 来自 $P_{l}^{(1)}(x)\cos\beta x+P_{n}^{(2)}(x)\sin\beta x$ 的三角函数中； + 如果是单根，这个 $x^{k}$ 里面的 $k$ 就是 $1$ 次方，如果是双根，这个里面的 $k$ 就是 $2$ 次方； + 注意： + 如果 $r_{1,2}=\pm 1$，此时表示是一个特征根，因为两个特征根一样； + 所以如果解出 $\alpha+i\beta=\pm 1$ ，则此时表示的是一重根，而不是两重根； + 5. 确定系数与任意常数 + （1）确定非齐次项待定特解的系数 + 在前面设好了 $y^{*}$ 的各个成分后，因为此时 $y^{*}$ 当中还有待定系数，此时将设好的函数代换原方程，比较两端同次幂的系数，然后得到 $y^{*}$ 的结果； + 假如当前方程式是 $y^{\prime\prime}+y=\sin x$，此时就需要将 $y({*})$ 和 $y^{\prime\prime}(*)$ 代入原方程中，然后比较两端同次幂的系数，然后得到 $y^{*}$ 中各个系数的结果； + （2）确定齐次项通解的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$ + 在原方程式中，找出两个方程的特解，比如求出 $f(0)=0$、$f^{\prime}{0}=1$； + 将其代入齐次方程的通解式中、解出任意常数； + 注意：非齐次的特解在定出系数后，也需要带入到齐次方程的通解式当中，帮助定出任意常数； + 6. 若是三阶及其以上的微分方程，按照以下方法合并 + ![[Pasted image 20240815124753.png]] + 7. 如果需要求出整个方程的特解，则可以将限制条件代入到通解式当中，定出其中的常数 $C_1$，$C_2$，得到微分方程的特解； + 补充： + 1. 非齐次项部分两个解的差，等于齐次的一个解； + 2. 非齐次项的解具有叠加性； **题型六**：$y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$ 型可降阶方程 + 形式： + $$y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})$$ + 方法： + 令： ${y^{\prime}=P,y^{\prime\prime}=\frac{dP}{dx}}$ + 得到： $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 关于 p、x 的一阶方程，然后进行分离变量； **题型七**：$y"=f(y,y^{\prime})$ 型可降阶方程 + 形式： + $$y"=f(y,y^{\prime})$$ + 方法： + 设： $y^{\prime}=P$、$y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dy}P$； + 变成只有 y、p，没有 x 的一阶方程，然后使用分离变量法； # Chapter 7：多元函数微分学 ## 7.1 多元函数基础 **定义**：多元函数的极限 + $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$$ **定义**：多元函数的连续性 + $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$ **定义**：偏导数 + 对 X： + $$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$ + 其他形式：$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$ + 对 Y： + $$lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$$ + 其他形式： + $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$ **定义**：偏导数的几何意义 + 曲面 $Z=f(x,y)$ + 1. $f_x(x_0,y_0)$ 代表的是在 $y=f(x)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $y=f(x)$ 的切线； + 2. $f_y(x_0,y_0)$ 代表的是在 $x=f(y)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $x=f(y)$ 的切线； **定义**：高阶偏导数 + $$\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=f_{xx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}^{\prime\prime}$$ + $$\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=f_{yy}^{\prime\prime}$$ + 并且：$$\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$$ **定义**：多元函数的全微分 + 若 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分； + 即：$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$ **定理**：可微的必要条件 + $\begin{aligned}&\text{如果}z=f(x,y)\text{ 在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处可微},\text{则在点}\left(x_0,y_0\right)\text{处}\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\text{ 必定存在,即以下式子存在}\end{aligned}$：$$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y$$ + 可微分 `->` 可导； + 可导 `-x>` 可微分； + 一阶偏导数连续 `->` 可微分； + 可微分 `-x>` 一阶偏导数连续； **定理**：可微的充分条件 + 如果 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微； **解题**：可微、可导、连续、偏导连续的判断 + 判断是否可微： + 1. 定义法： + 第一步：判断 $f_{x}(x_{0},y_{0})与 f_{y}(x_{0},y_{0})\text{ 是否都存在}$； + 第二步：使用以下定义，判断其重极限是否存在； + 公式： $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0,}y_{0})\Delta y]}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}}$$ + 判断是否可导： + 1. 定义法：分别求对 x 的偏导、y 的偏导，使用偏导数定义、分析偏导数对应的一元函数导数是否存在； + 公式（X 偏导）：$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$$ + 2. 先带后求： + 判断是否连续： + 1. 定义法： + （1）证明连续：在某点的函数值是否等于其函数的极限值，如果等于、则连续； + （2）证明不连续：同； + 2. 特殊 `y` 值法： + 用某一固定的 y 的函数带入函数当中，经常用于证明不连续； + 常用形式： + $y=kx$ + $y=0$ + 判断偏导数是否连续： + 注意： + 多元函数连续 `≠` 多元函数偏导数连续； + 偏导数是否连续，是指的 **对 X 或对 Y 的偏导数** 这个导函数是否连续； + 1. 定义法：利用对 X 或对 Y 的偏导数函数定义求解： + 如果以下公式不成立，则偏导数不连续； + 公式（对 X 的偏导数函数）：$$\lim_{x\to0,y\to0}f_{x}(x,y)=f_{x}(0,0)$$ ## 7.2 多元函数微分法多元函数微分法中的问题： + （1）复合函数微分法； + （2）隐函数微分法； **定理**：多元复合函数求导法则 + 设 $u=u(x,y),\quad v=v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处有对 x 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z=f(u,\nu)$ 在对应点 $(u,\nu)$ 处有连续偏导数，则 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x, y)$ 处的两个偏导数存在，且有： + $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial\nu}{\partial y}$$ **定理**：全微分形式不变性 + 设函数 $z=f(u,v),\quad u=u(x,v)$ 及 $\nu=\nu(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 的全微分不变性： + $$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y=\frac{\partial z}{\partial u}\operatorname{d}u+\frac{\partial z}{\partial\nu}\operatorname{d}\nu.$$ + 多元函数也具有微分形式的不变性； + 由此推导而来：$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial\nu}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial\nu}{\partial y}$$ **定义**：多元函数隐函数 + 由方程 $F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $y=(x)$，得： + $$y^{\prime}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}$$ **定理**：隐函数存在定理 + 1. $F(x,y)$ 在点 $M_0(x_0,y_0)$ 邻域内连续可偏导； + 2. $F(x_0,y_0)=0$； + 3. $F_y\:\prime(x_0,y_0)\neq0$ + 则由函数 $F(x,y)$ 在 $M_{0}$ 邻域内唯一确定一个连续可导函数 $y=f(x)$ 使 $y_0=f(x_0)$ + 则： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}$$ **定理**：多元隐函数存在定理 + $F(x,y,z)$ 在点 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 邻域内连续可偏导，且 $F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F_{z}\:{\prime}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq0$ 则由 $F(x,y,z)=0$ 在 $M_{0}$ 邻域内唯一确定一个连续可导函数 $z=\varphi(x,y)$ 且 $z_0=\varphi(x_0,y_0)$ + 则：$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}’}{F_{z}’},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}’}{F_{z}’}$$ ## 7.3 多元函数的极值与最值 **定义**：多元函数的极值 + 在一个邻域中，多元函数的最大值或者最小值； + 若在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域中恒成立不等式：$$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\quad(f(x,y)\geq f(x_0,y_0))$$ + 则称 f 在点 $(x_0,y_0)$ 取得极大值 (极小值)，点 $(x_0,y_0)$ 称为 `f` 的极大值点 (极小值点)； + 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点； **定义**：多元函数的驻点 + 多元函数的偏导数等于 0 的点，称之为多元函数的驻点； **定理**：多元函数极值存在的必要条件 + 如果 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有偏导数，并且在 $(x_0,y_0)$ 处取得极值，则有：$$f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0，f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0$$ **定理**：极值的充分条件 **多元函数的驻点极值性判断** + 当 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，又 $f_x^{\prime}(x_0,y_{0})=f_y^{\prime}(x_0,y_{0})=0$ 时，$A=f_{xx}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad B=f_{xy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad C=f_{yy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})$； + 1. 如果是 $AC-B^{2}>0$，则有极值 + 1. A<0，是极大值； + 1. A>0，是极小值； + 1. 如果是 $AC-B^{2}<0$，则无极值 + 2. 如果是 $AC-B^{2}=0$，则只能用定义判断 **定义**：条件极值 + 已知 $z=f(x,y)$，其极值在 $\varphi(x,y)=0$ 的条件之下，求其极值为条件极值； **定理**：拉格朗日乘数法 + （1）单个约束条件时：令 $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ + 则取到极值的必要条件为：$$\begin{cases}F_x=f_x^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_x^{\prime}(x,y)=0,\\F_y=f_y^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_y^{\prime}(x,y)=0,\\F_\lambda=\varphi(x,y)=0,\end{cases}$$ + （2）多个约束条件时：$f(x,y,z)\text{ 在条件 }\varphi(x,y,z)=0,\psi(x,y,z)=0$ 条件下的条件极值 + 令 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$ # Chapter 8：重积分 ## 8.1 二重积分 **定义**：二重积分 + 如果 $f(x,y)$ 是区域 D 上的有界函数，将区域 D 任意的分成 n 个区域：$\sigma_{1}$ 、$\sigma_{2}$.... $\sigma_{n}$，每个 $\sigma_{n}$ 上任取一点 $(\xi_{i},\eta_{i})$，做 $f(\xi,\eta_{i})\Delta\sigma_{i}$ ，当 $\lambda\to0$ 时： + 称下式为二重积分： $$\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}\Delta\sigma_{i}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)=\int\int_{D}f(x,y)d\sigma $$ **定理**：二重积分的性质 + （1） + 如果在 D 上，$f(x,y)\leq g(x,y)$ ，则有不等式： + $$\int\int_Df(x,y)d\sigma\leq\int\int_Dg(x,y)d\sigma $$ + （2） + 若在 $D$ 上有 $m\leq f(x,y)\leq M$，则： + $$mS\leq\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq MS$$ + （3） + 积分的绝对值，小于绝对值的而积分 + $$\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leq\iint_D\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\sigma.$$ + （4） + 如果 $f(x,y)$ 在区域 `D` 上的数值恒等于 `1`，则其二重积分就是： + $$\int\int_{D}\left(1) d\sigma=\sigma\times1\right.$$ **定理**：二重积分的中值定理 + 设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 `D` 上连续，`S` 为区域 `D` 的面积，则在 `D` 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot S$$ ## 8.2 二重积分的计算 **适合极坐标** + （1）适合用极坐标计算的被积函数 + 公式： + $$f(x^2+y^2),f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac yx),f(\frac xy)$$ + 原因： + $\sqrt{x^2+y^2}$ 在直角坐标系下比较复杂，但是在极坐标下就代表 `ρ` + $\frac yx$ 在极坐标系就是表示角度 + （2）适合用极坐标的积分域 + $$x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad r^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq R^{2};\quad\quad\quad\\x^{2}+y^{2}\leq2ax;\quad\quad\quad x^{2}+y^{2}\leq2by;$$ + 注意： + 当圆心不在原点时，可以将 $x-x_0$ 设为 $\rho\sin\theta$，同理对 $y-y_0$ + 其中，如果（1）和（2）发生矛盾，以（1）为主 **定理**：基于直角坐标系的二重积分计算 + （1）先 `Y` 后 `X`：$$\int\int_D{f(x,y)d\sigma = \int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx}$$ + 区域：$\begin{aligned}\varphi_1(x)&\leq y\leq\varphi_2(x)\cdot\\a&\leq x\leq b\end{aligned}$ + 其中 $\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$ 代表的是 x 的取值范围，是 x 关于 y 的函数，$\varphi_1(x)$ 就是实际的 y 等于的值； + （2）先 `X` 后 `Y`：$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$$ + 区域：$\begin{aligned}\Psi(y)&\leq X\leq\Psi_2(y)\\c&\leq y\leq d\end{aligned}$ + 确定积分限； + 先 Y 后 X 时： + `dy` 的积分上限与下限 `->` 从下往上画一条射线，射线的下端为 `dy` 积分下限，射线的上端为 dy 的积分上限； + `dx` 的积分上限与下限 `->` 观察图像，看 x 的取值范围； + 先 X 后 Y 时： + `dx` 的积分上限与下限 `->` 从左往右画一条射线，射线的左端为 `dx` 积分下限，射线的上端为 `dx` 的积分下限； + `dy` 的积分上限与下限 `->` 观察图像，看 `y` 的取值范围； **定理**：基于极坐标的二重积分计算 + $$\text{先 }\rho\text{ 后 }\theta\quad\iint_Df (x, y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)}f (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$$ + 区域：$\begin{aligned}\varphi_1(0)&\leq p\leq\varphi_2(0)\\\alpha&\leq\theta\leq\beta.\end{aligned}$ **定理**：奇偶性 + 若积分 `D` 关系 `Y` 轴对称，则函数关于 `X` 有奇偶性： + $$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{x\geq0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma;&f(-x,y)=f(x,y)\\0;&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$ + 若积分 `D` 关系 `X` 轴对称，则函数关于 `Y` 有奇偶性： + $$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{y_{z_0}}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma&f(x,-y)=f(x,y)\\0&f(x,-y)=-f(x,y)\end{cases}$$ **定理**：对称性 + $$\text{若 }D\text{ 关于 }y=x\text{ 对称,则}\quad\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_Df(y,x)\mathrm{d}\sigma $$ + 或： + $$\int\int_{D(x,y)} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\int_{D(u,v)} f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=\int\int_{D(y,x)} f(y,x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$$ ## 8.3 三重积分 **定义**：三重积分 + $\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k},\eta_{k},\xi_{k})\Delta\nu_{k}$ + 一个三元函数，在一个空间体 $\Omega$ 当中的积分； + $\Delta\nu_{k}$ 为第 k 个小区域的几何体的体积； **计算**：直角坐标 + 方法一：先一后二 $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{dv}=\iint_{D_{xy}}d\sigma\int_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}f(x,y,z)dz$$ + 方法二：先二后一 $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}\mathbf{v}=\int_{c_{1}}^{c_{2}}dz\iint_{D_{c}}f(x,y,z)dxdy$$ **计算**：柱坐标 + 定义：柱坐标 + $$\begin{cases}x=r\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\theta,&\quad0\leq\theta\leq2\pi,\\z=z,&\quad-\infty<z<+\infty.\end{cases}$$ + 图示： + ![[Pasted image 20240521035217.png]] + 计算： + 体积微元：$dv=\rho d\rho d\theta dz$ + $$\iiint_\Omega f(x,y,z)d\nu=\iiint_{\Omega}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)r\operatorname{d}r\operatorname{d}\theta\operatorname{d}z$$ **计算**：球坐标 + 定义：球坐标 + $$\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta,&\quad0\leq r<+\infty,\\y=r\sin\varphi\sin\theta,&\quad0\leq\varphi\leq\pi,\\z=r\cos\varphi,&\quad0\leq\theta\leq2\pi.\end{cases}$$ + 图示： + ![[Pasted image 20240521040109.png]] + 计算： + 体积微元：$dv=r^{2}\sin\varphi drd\varphi d\theta$ + $$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)d\nu =\iiint_\Omega f (r\sin\varphi\cos\theta, r\sin\varphi\sin\theta, r\cos\varphi) r^2\sin\varphi\operatorname{d}r\operatorname{d}\varphi\operatorname{d}\theta$$ + 适用：被积函数可以被写成 $f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ 或者中心在原点的球体、球面、半球体、曲顶锥体 `->` 适合用球坐标 # Chapter 9：无穷级数 ## 9.1 常数项级数 **解题步骤** + 第一步：判断级数类型 + 正项、交错、任意项 + 第二步：根据级数，选择方法 + 正项级数 `->` 用敛散性的五类判别法，做判定； + 交错级数 `->` 一个方法； + 任意项级数 `->` 一个方法； + 第三步：如果无法做出判定，此时可以使用定义和性质来进行判定 + 定义和性质是适用于所有类型的级数的； ### 9.1.1 基本概念 **定义**：常数项级数收敛 + $u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示常数项，$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 表示前 `n` 项的和； + 若：$$\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_n$$ + 则当前常数项数列为收敛的，若是没有极限，则是为发散的； **性质** + 1. $如果\sum_{n=1}^{\infty}u_n 收敛于S，则\sum_{i=1}^{\infty}k u_n. 收敛于 kS$ + 2. $如果\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}和\sum_{n=1}^{\infty}U_{n}分别收敛于 h 和 u，则\sum_{n=1}^{\infty}(H_{n}\pm U_{n})也收敛于h+u$ + 3. 在级数中去掉或加上**有限项**，敛散性不变，值可能会变化； + 4. $\sum u_n收敛，任意加括号后级数也收敛，且和不变$ + 5. 级数收敛的必要条件：$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛 }\longrightarrow\lim_{n\to\infty}u_n=0$ **常用结论** + $$\sum_{n=1}^{+\infty}|b_{n|}收敛\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}(b_{n})^{2}收敛$$ ### 9.1.2 正项级数 **定义**：正项级数的收敛性 + 正项 $\sum u_n$ 收敛的充分必要条件是 ${S_n}$ 有界； + $$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}$$ **方法**：正项级数的五类方法 + 方法分类： + 1. 比较审敛法 + 2. 比较法的极限形式 + 3. 比值法 + 4. 根值法 + 5. 积分判别法 + 方法选择： + 第一类：方法 `1、2` + 需要把当前的通项和其它已知通项进行比较； + 优点： + 适用范围更广泛； + 只要是方法 3、4 可以做出判定的，方法 `1、2` 都一定可以做出判定，只是可能做起来更不方便； + 缺点： + 使用起来不方便； + 第二类：方法 `3、4` + 概念： + 只需要自己就可以进行判断； + 优点： + 使用起来方便，不需要其他级数，自己就可以判断； + 缺点： + 有些时候，级数很明显可以看出来时发散的，但却很难用方法证明出来； + 即：适用范围窄； + 解题步骤： + 1. 先观察是否可以直接看出来敛散性 `->` 规律； + 2. 在判断方法时，先考虑使用方法 `3、4`； + 3. 如果做不出判定，再考虑 `1、2`； + 规律： + 三巨头：$$a^n\quad n!\quad n^n$$ + 如果这三巨头当中至少出现一个，通常就使用方法 `3、4`； + 如果三巨头一个都不出现，此时经常出现的就是 $n^p$ 或者 $In{n}$ 的形式，此时就使用方法 `1、2`； **方法一**：比较审敛法 + 如果 $\sum U_n$ 和 $\sum V_n$ 都是正项级数，且 $u_n<v_n$： + $$\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}$$ + $$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$ + 总结： + 大的收敛，小的肯定收敛； + 小的发散，大的肯定发散； + 反过来都不行； + 使用方法： + 使用之前，先进行初步判断； + 如果初步判断其为收敛，则进行放大； + 如果初步判断其为发散，将进行缩小； + 常用级数一： + $$\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^p} \quad\quad\quad\quad\quad P>1时收敛，P<=1时发散$$ + 注意： + `P=1` `->` 调和级数： $\sum\frac{1}{n}\quad 一定发散$ + 为什么 `P=1` 时是发散的? + 收敛的本质： + 决定级数是否收敛的不在于求和项是否是无穷的，甚至不在于求和的大小，而是在于求和项中通项趋向于 0 的速度； + 通过速度比较并不能确定一个级数发散还是收敛，但是速度变化会带来本质的变化； + 常用级数二： + $$\sum_{n=1}^\infty aq^n\left(a>0,q>0\right)\quad q<1\text{ 时收敛,当 }q\geq1\text{ 时发散}.$$ + 等比级数是否收敛，只取决于其 `q` 的数值，即公比决定了其敛散性； **方法二**：比较法的极限形式 + 设 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\left(0\leq l\leq+\infty\right)$$ + 若： + 1. $$若0<l<+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}与\sum_{n=1}^{\infty}\nu_{n}{\text{同敛散}.}$$ + 2. $$\text{若 }l=0\text{,则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛,}\sum_{n=1}^\infty u_n\text{发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$$ + 3. $$\text{若 }l=+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散. }\sum_{n=1}^\infty u_n\text{收敛}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛}$$ **方法三**：比值审敛法 + 如果 $\sum U_n$ 是一个正项级数，则若 $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho$$ + 如果 $\rho <1$，则 $\sum U_n$ 收敛； + 如果 $\rho >1$，则 $\sum U_n$ 发散； + 如果 $\rho =1$，则 $\sum U_n$ 无法判断，请使用其他方法； **方法四**：根值法 + $$\text{设}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\text{,则}\sum_{n=1}^\infty u_n\begin{cases}\text{收敛},&\rho<1,\\\\\text{发散},&\rho>1,\\\\\text{不一定},&\rho=1,\end{cases}$$ **方法五**：积分判别法 + $$设f(x)在[1,+\infty)上单调减，非负的连续函数，且 a_{n}=f(n)，则\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\text{ 与 }\int_{1}^{+\infty}f(x)dx同敛散性$$ + **例题**： + 证明： + 级数 $\sum_{i=1}^\infty\frac1{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p\leq1$ 时发散； + 解析 + 设 $a_{n}=\frac{1}{n^{p}}=f(u),f(x)=\frac{1}{x^{p}}$ + 所以得到积分：$\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ ### 9.1.3 交错级数 **定义**：交错级数 + $$\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0$$ + $u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4}+u_{5}-u_{6}+\cdots$； + $-u_{1}+u_{2}-u_{3}+u_{4}-u_{5}+u_{6}\cdots$； **注意** + 如果项数是无穷项时，**小括号不能随便加**，**顺序也不能随便换**； + 比如： + $1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......$ + 如果是奇数项 -> 结果为 1； + 如果时偶数项 -> 结果为 0； + 如果加括号 + $(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+......$ + 这样对无穷项加括号，可能会有问题，因为不清楚是奇数项还是偶数项； **定理**： #莱布尼茨准则 > 描述：当前有交错级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n-1}u_{n}$，当： > 1）$u_{n}\geq u_{n+1}$：单调减 > 2）$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$ > 则可得到 $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(-1\right)^{n-1}u_{n}$ 级数收敛，`S` `<=` $u_1$，且 $|r_{n}|\leq u_{n+1}$ **解释** + 注意： + 要求： + 1）$u_{n}\geq u_{n+1}$：单调减 + 2）$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$ + 这两个要求是交错级数收敛的**充分条件**，也就是说这两个里面如果有一个不成立，也有可能交错级数收敛； + 前提： + 使用莱布尼茨定理之前，需要保证当前是交错级数； + 后一项比前一项越来越小； + 且 $u_n$ 是往 0 逼近的； ### 9.1.4 任意项级数 **任意项级数概念** + 特点： + 有正项、有负项； + 并且正项、负项都得是无限项； + 任意项： $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+\cdots$，并且 $u_n$ 的正负不知道； + 正项级数：$|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+|u_{4}|+\cdots$ ，每项都取绝对值； + 这种为绝对值级数； **判断方法** + **原则**：把新问题化成老问题 `->` 把一个变号的级数，化成一个正项级数 `->` 通项加一个绝对值 `->` 这个新的正项级数收敛时，任意项级数也收敛； **定义**： #绝对收敛与条件收敛 > 描述： > 1. 绝对收敛：如果加了绝对值的 $\sum|u_{n}|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 收敛； > 2. 条件收敛：如果 $u_n$ 是收敛的，$\sum|u_{n}|$ 是发散的，则称 $\sum u_n$ 是条件收敛的； > 具体情况： > (1) 若 $\sum^{\infty}_{n=1}=|a_n|$ 收敛，则 $\sum^{\infty}_{n=1}=a_n$ 必收敛，此时称 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 绝对收敛 > (2) 若 $\sum^{\infty}_{n=1}=a_n$ 收敛，$\sum^{\infty}_{n=1}=|a_n|$ 发散，则称 $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 条件收敛 **解释** + 绝对收敛 + $\sum|u_{n}|$ 收敛 + $\sum u_n$ 收敛 + 条件收敛 + $\sum|u_{n}|$ 发散 + $\sum u_n$ 收敛 **举例** + $\sum(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$：交错调节级数 -> 收敛的； + $\sum(-1)^{n}\frac{1}{n^{3}}$：是绝对收敛的； **基本结论** + 1. 绝对收敛的级数，一定收敛 `->` 即：$\sum^{\infty}_{n=1}|a_n|$ 收敛 `->` $\sum^{\infty}_{n=1}a_n$ 收敛； + 2. 条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数，一定发散 `->` $$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 条件收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\frac{u_n+|u_n|}2\text{ 和 }\sum_{n=1}^\infty\frac{u_n-|u_n|}2\text{ 发散}.$$ **定理**： #任意项级数的绝对收敛 > 描述：如果每项都加绝对值 $\sum_{n=1}^{+\infty}|u_{n}|$ 以后，它是收敛的，则它原来的级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}$ 也是收敛的； **解释** + 更简单的理解： + 全是正数（加绝对值）的情况下都可以收敛，那他原本有正有负的情况下就更应该是收敛的； **定理**： #任意项级数发散收敛判断 > 描述：如果 $\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$ 是任意项级数，且 $\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=l$ > 1）当 $l$ < 1 时，$\sum u_n$ 绝对收敛； > 2）当 $L>1(+\infty)$ 时，$\sum u_n$ 发散； > 3）当 L =1 时，无法判断； **解释** + 如果 L>1，则原本的级数就是发散的； ## 9.2 幂级数 ### 9.2.1 幂级数基本概念 **数列**：每一项只和 n 有关 + 数列： $u_{1},u_{2},\cdots,u_{n}$ + 无穷级数：$u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}+\cdots$ **函数列**：每一项和 n 以及 $x$ 有关 + 假设 x 在区间 $I$ 上； + 函数列： $u_{1}(x), u_{2}(x), u_{n}(x),\cdots$ + 函数项无穷级数：$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ **定义**： #幂级数 > 描述： > 常见形式： $$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots $$ > 一般形式：$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots $$ **解释** + 概念： + 每一项都是 `x` 的正整数幂：幂级数： $a_{0}a_{1},a_{2}x^{2}\cdots a_{n}x^{n}\cdots$ + 幂级数其实是函数项级数的最简单的一种，$x^{n}$ 就是 x 的函数，$a_n$ 就是一列数； + $a_0,a_1,a_2...a_n$ 称之为系数； + 补充： + 一般研究常见形式，因为一般形式可以用 $x-x_0=t$ 化成常见形式； **定义**： #收敛点与发散点 > 描述： > 1. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 收敛，则称 $x_o$ 为收敛点，如果是一段区间则称之为收敛域； > 2. 如果 $x_{0}\in I$ 时，$u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x)+\cdots$ 发散，则称 $x_o$ 为发散点，如果是一段区间则称之为发散域； > 3. $S\left (x\right)=u\left (x\right)+u_{2\left (x\right)}+\cdots+u_{n}\left (x\right)+\cdots$ 称之为和函数，$\lim_{n\to\infty}S_n(x)=S\left(x\right)$； **解释** + 一般就是求两个问题：收敛域是什么？和函数是什么？ **举例** + $1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots$ + 此时： + $|x|<1\text{时，收敛城(-1,1)}\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-x}$ + $|\times|\geq1 时，发散域(-\infty,-1)|U[1,+\infty]$ ### 9.2.2 幂级数展开 **定理**： #阿贝尔定理 > 描述： > $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时收敛,|x|<|x_0|时幂级数绝对收敛$$ > $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx ，当x=x_0 时发散,|x|>|x_0|时幂级数发散$$ **解释** + 定理的作用： + 揭示了当前幂级数的收敛、发散的域的结构 `->` 将求收敛域的问题、转化成了求整个区间一般长度的问题 `->` 也就是求收敛半径 `R` ； + 绝对收敛： + 在 $|x|<|x_0|$ 时，此时在这个区间内的点，也都收敛 `->` 离原点更近的点收敛； + 发散： + 在 $|x|>|x_0|$ 时，此时在这个区间外的点，也都收敛 `->` 离原点更远的点发散； + 总结： + 1. 收敛点和发散点的分界点 `->` 就是**收敛半径 R** + 2. 两个级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ ，如果它们的 $a_n$ 一样，则它们有共同的收敛半径 `R`； + 注意： + 收敛区间不需要关注端点； + 收敛域需要关注端点； **补充**：收敛区间和收敛域 + 收敛区间： + $(-R,+R)$ + 收敛域： + 包括端点在内：$\pm R$ + 分别判断两个端点的值后，得到的区间； **补充**：关于 $x$ 不等于 $x_0$ 时的收敛域 + 前提： + 根据 `<总结-1>` 可知，$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 和 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x-3)}$ 的收敛半径 `R` 一样； + 概念： + 收敛区间： + 对 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n{(x+2)}$ 而言，其中心在 `x=-2` 点，因此假设其收敛点在 `x=0` 处时，其收敛半径为 `0-(-2)=2` ，因此其收敛区间就是： + $$收敛区间：(x_0-R,x_0+R)\rightarrow (-2-2,-2+2)\rightarrow (-4,0)$$ + 端点收敛性不变性： + 因为两个级数的 $a_n$ 项相同，所以这两个级数的收敛域的两个端点同敛散性； **定理**： #幂级数的收敛情况 > 描述： 幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 的收敛性有且仅有三种可能： > （1）对任何 x 属于 $(-\infty ,+\infty)$ 都收敛； > （2）只在 $x=0$ 处收敛； > （3）存在一个正数 `R` 当 $|x| < R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散； > 注意：若幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx$ 在点 $x=x_0$ 处条件收敛，则点 $x_0$ 必为该幂级数收敛区间 $(-R,R)$ 的一个端点； **定理**： #收敛半径判断 > 描述： $$若\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho，则 R = \frac{1}{{\rho}}$$ > 即：此时有三种情况：$$R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},&\rho\neq0\\+\infty,&\rho=0\\0,&\rho=+\infty\end{cases}$$ **解释** + 注意： + 1. 此定理只能单方向使用； + 2. 收敛区间是不管端点的，即 $(-R,R)$ **定理**： #收敛半径判断：基于根式 > 描述： $$\text{如果 }\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,\text{则}\quad R=\frac1\rho $$ **解释** + 基于根值法推导而来； **性质**：幂级数的有理运算性质 + 前提： + 设 + 1. $\sum_n^{\infty}a_nx^n$ 的收敛半径为 $R_1$ + 2. $\sum_n^{\infty}b_nx^n$ 的收敛半径为 $R_2$ + 令 $R=\min\{R_1,R_2\}$，则当 $x\in(-R,R)$ 时： + 运算性质： + （1）加法：$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n$$ + （2）乘法：$$(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n)\cdot(\sum_{n=0}^\infty b_nx^n)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$ + 且：$c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0$ + （3）除法：$$\frac{\sum_{n=0}^\infty a_nx^n}{\sum_{n=0}^\infty b_nx^n}=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$ **性质**：幂级数的分析性质 + 前提： + 若 $\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}$ 的收敛半径是 `R`，和函数为 $S(x)$，则： + 分析性质： + （1）连续性： + $S(x)$ 在它的收敛域上 $I$ 是连续的； + （2）可导性： + $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 上可导，且可以逐项求导，半径不变，即： + $$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty(a_nx^n)^{\prime}=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$$ + 注意：这里面级数求导之后，收敛半径没有变化，还是 R，并且通项当中还多了一个 $n$ + （3）可积性： + 若 $\sum_{n=0}^{\pm\infty}a_{n}x^{n}$ 的和函数 $S(x)$ 在 $I$ 上是可积的，且可以逐项积分，则： + $$\int_{0}^{x}S(x)\operatorname{d}x=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_{n}x^{n}\operatorname{d}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}a_{n}x^{n+1}$$ + 注意：逐项求积分后的幂级数，与原幂级数的收敛半径是相同的； **题型**：求收敛半径 + 两种方法： + 方法一：使用收敛半径判定法 + 方法二：使用收敛半径根值判定法 + 注意：缺项时 + 缺项：$x^{2n-1}$ ，不是 $x^n$ + 缺项时不能直接使用公式，如果是 $x^{2n+b}$ ，则此时都需要将根值法算得的 `R` 开一个 $\frac{1}{2}$ 次方； **题型**：求收敛区间 + 方法： + 想要求得收敛区间，需要先求得收敛半径； **题型**：求端点的收敛性 + 方法： + 分别将端点的 $x=\pm x_0$ 代入进去，得到关于 n 的函数式，即：当前级数的通项。此时解题方法和常数项级数一致，根据其是正项、交错级数、任意项级数，选择方法，判定； **题型**：判断任意一点的收敛性 + 方法： + 先求出当前幂级数的收敛半径（经常要使用阿贝尔定理），然后根据收敛区间，判断任意一点是否在区间内，即可得到收敛性； ### 9.2.3 函数展开成幂级数 **为什么需要展开成幂级数** + 原因： + 有些函数不是初等函数、不可以直接使用积分求出来它的值，比如 $e^{x^2}$ 其无法直接求出其原函数； + 此时可以考虑：将其展开成幂级数，因为幂级数的每一项都很简单，因此可以被处理； + 举例：比如需要求 $e^{0.2}$ 等于多少 + 直接求很难算出来； + 但利用展开后的幂级数，计算出来就很简单： $e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+$ + 后续的项可以近似得到，一般就用个三项、四项就够了； **定理**： #函数的幂级数展开 > 描述： > 如果函数 $f(x)$ 在区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 上，能展开为 $x-x_0$ 的幂级数 $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x-x_0)^n$ 则，其展开式是唯一的； > 并且称其为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的**泰勒级数**：$$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$ **解释** + 如果 $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 可以收敛于 $f(x)$，则称其可以展开； **定理**： #泰勒级数的收敛性 > 描述： > 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则： > $$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n 在 (x_0-R,x_0+R) 上收敛于 f(x)\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty} R_n(x)=0.$$ > 其中：$$\begin{aligned}&R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\text{ 为 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处的泰勒公式}\\&f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)\end{aligned}$$ > 所以当 $R_n(x)$ `->` `0` 时，$f(x)$ 趋向于泰勒级数：$\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，即收敛于唯一的级数； **补充**：几个常用的展开式 + 直接展开法： + （1）$$\frac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots =\sum^{\infty}\limits_{n=0}x^n\quad (-1<x<1)$$ + （2）$$\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n,|x|<1$$ + （3）$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad(-\infty<x<+\infty)$$ + 注意：求和下标从 0 开始，`(-1)` 是指数是 `n`； + （4） $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (-\infty<x<+\infty)=\sum^{\infty}\limits_{n=0}\frac{x^n}{n！}$$ + 间接展开法： + （1）`cosx` 的展开式，是由 `sinx` 的展开式逐项求导而的来的：$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad(-\infty<x<+\infty)$$ + （2）`In(1+x)` 的展开式：$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}\quad(-1<x\leq1)$$ + （3）`(1+X)的α次方` 的展开式，也是间接得到的：$$\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots \quad(-1<x<1)$$ + (4) $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}n=-\ln(1-x)\quad(-1\leq x<1)$$ + 注意： + 关于下标：除了 `In(1+x)` 是从 `n=1` 开始的，其他都是从 `n=0` 开始的； + 关于 $(-1)^{n}$ 和 $(-1)^{n+1}$：只有 `In(1+x)` 是 `n+1` ，其他都是从 `n`； + 关于阶乘：除了 `In(1+x)` 的分母是非阶乘，其他带分母的都是阶乘，并且阶乘部分和幂指部分一致； + 关于收敛域：三角函数和 $e^{x}$ 是负无穷到正无穷，其他都是 `-1` 到 `+1`，并且 `In(1+x)` 是小于等于 `+1`； ## 9.3 傅里叶级数 **定义**： #傅里叶系数 > 描述： $$a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ **解释** + 可以利用上述公式，来求给定 n 式的系数； **定义**： #傅里叶级数 > 描述： `f` 的傅里叶级数：$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$ **解释** + 概念： + 以上式子是否能展开、取决于上述式子中的 `~` 是否能写成等号； + 而其是否能展开、需要使用收敛定理来判断； + 解释： + `~` + 意味着除开某些有限点外（间断点、端点），其他点都符合公式中的性质； + $\frac{a_0}2$ + 在波动当中，表示直流分量； + $(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$： + 在波动当中，表示交流分量； + 注意：偶函数展开式只有余弦项，奇函数展开式只有正弦项； **定理**： #狄利克雷定理 > 描述： 设 $f(x)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-π,π]$ 上处处收敛，且收敛于： > $$1)\quad S(x)=f(x)\quad\text{当}x\text{ 为 }f(x)\text{ 的连续点}.$$ > $$2)\quad S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}2\quad\text{当 }x\text{ 为 }f(x)\text{ 的间断点}.$$ > $$3)\quad S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f(\pi^-)}2\quad\text{当 }x=\pm\pi.$$ **概念介绍**：周期为 $2\pi$ 的函数展开 + （1）在 $[-\pi,+\pi]$ 上展开：一般展开 + $$a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ + （2）在 $[-\pi,+\pi]$ 的展开：奇偶函数的展开 + 1. $f(x)$ 为奇函数： + $$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ + 解释：因为 $cosx$ 是偶函数，并且在 $a_n$ 中，所以当 $f(x)$ 为奇函数时，`奇函数*偶函数=奇函数`，所以 $a_n$ 变为 0，$b_n$ 变为两倍。其他情况同理； + 2. $f(x)$ 为偶函数： + $$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$ + （3）在 $[0,+\pi]$ 上展开：展开为正弦或余弦 + 分析： + 这种是在半个周期上的展开，所以在分析时，需要做**延拓**； + 奇函数展开：只有正弦项。因为如果只给了 $[0,+\pi]$ ，则如果需要在 $[-\pi,+\pi]$ 上做奇函数展开、只有正弦项 `->` **奇延拓**； + 在展开为正弦时，理论上需要做奇延拓，但实际上直接使用奇函数的展开式即可； + 同理偶延拓； + 1. 展开为正弦： + $$a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ + 2. 展开为余弦： + $$a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots $$ **概念介绍**：周期为 $2l$ 的函数展开 + （1）在 $[-l,+l]$ 上展开 + $$a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ + （2）在 $[-l,+l]$ 上展开：奇偶函数 + $$\text{i)}f(x)\text{ 为奇函数}.\quad\quad \\a_n=0,n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots $$ + $$\begin{aligned}&\text{ii)}f(x)\text{ 为偶函数}.\\&{a_n}=\frac2l\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$ + （3）在 $[0,l]$ 上展开：展开为正弦或余弦 + $$\begin{aligned}&\text{i)展为正弦}\\&a_{n}=0,&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=1,2\cdots\end{aligned}$$ + $$\begin{aligned}&\text{ii)展为余弦.}\\&a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&n=1,2\cdots\end{aligned}$$ # Chapter 10：向量代数与空间几何 ## 10.1 向量代数 ### 10.1.1 数量积 **定理**： #向量代数的数量积 > 描述： > $$1\text{)几何表示: }\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\cos\alpha $$ > $$2\text{)代数表示:}\quad\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}_xb_x+\mathbf{a}_yb_y+\mathbf{a}_zb_z$$ > $$3\text{)运算规律:}\quad 交换律：\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \quad \text{分配律: }\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$$ > $$4\text{)几何应用:}\quad 求模：|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\cdot\mathbf{a} \quad \text{求夹角: }\cos\alpha=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\quad \text{判定两向量垂直:}\mathbf{a\perp b\Leftrightarrow a\cdot b=0}$$ ### 10.1.2 向量积 **定理**： #向量代数的向量积 > 描述： > $1. \text{几何表示:}\quad\mathbf{a}\times\mathbf{b}\text{ 是一向量}.\quad\text{模}:\mid\mathbf{a}\times\mathbf{b}\mid=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\sin\alpha$ > $2. \text{代数表示:}\quad{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$ > $3. i) a\times b= - ( b\times a) \quad ii)分配律：a\times(b+c)=a\times b+a\times c$ > $4. 运算规律：i)求同时垂直于 a 和 b 的向量: a×b\quad ii)求以 a 和 b 为邻边的平行四边形面积:S=|a×b|\quad iii)判断两向量平行：\mathbf{a//b}\Leftrightarrow\mathbf{a\times b}=0$ **解释** + 几何表示 `->` 右手法则 `->` 垂直于 $a,b$ 向量的一个直线； + 注意： + 数量积满足交换律，向量积不满足交换律； ### 10.1.3 混合积 **定理**： #向量代数的混合积 > 描述： > 基本表述：$\left[ abc \right] = (a \times b) \cdot c$ > 定义： $$\ a = a_xi + a_yj + a_zk \\ b = b_xi + b_yj + b_zk \\ c = c_xi + c_yj + c_zk$$ > 性质： > （1）$$(a\times b)\cdot c = a\cdot(b\times c) = b \cdot (c\times a)$$ > $$轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)\quad 交换变号：(\mathbf{abc})=-(\mathbf{acb})$$ > （2）$$\begin{aligned}(a\times b)\cdot c=-(b\times a)\cdot c\\(a\times b)\cdot c=-(c\times b)\cdot a\\(a\times b)\cdot c=-(a\times c)\cdot b\end{aligned}$$ > （3）$$a\text{、}b\text{、}c\text{三向量共面}\Leftrightarrow[abc]=0$$ > 几何意义： > 1. 向量的混合积 $[abc]=(a\times b)\cdot c$ 的绝对值在数值上等于以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积 > 2. $V_\text{平行六面体}=|\mathrm{(abc)}|$ ## 10.2 空间平面与直线 ### 10.2.1 平面方程 **定义**： #平面方程 > 描述： > $1\text{)一般式:}\quad Ax+By+Cz+D=0.\quad\mathbf{n}=\{A,B,C\}$ > $2\text{)点法式:}\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ > $3\text{)截距式:}\quad\frac xa+\frac yb+\frac zc=1$ ### 10.2.2 直线方程 **定义**： #直线方程 > 描述： > $$1)\text{一般式:}\quad\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$$ > $$2)\text{对称式:}\quad\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$$ > $$3)参数式：x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt.$$ ### 10.2.3 距离关系 **核心**：平面 `->` 看法线向量；直线 `->` 看方向向量 **概念**：点到面的距离 + 点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cy+D=0$ 的距离 + $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ **概念**：点到直线距离 + $\text{点 }({x_0,y_0,z_0})\text{ 到直线 }\frac{x-x_1}l=\frac{y-y_1}m=\frac{z-z_1}n$ + $$d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\}\times\{l,m,n\}|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\quad J}$$ ## 10.3 曲面与空间曲线 ### 10.3.1 基本概念 **定义**： #空间曲面 > 描述： $$F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)$$ **举例**：$x+y+z=1$ + 图示： + ![[Pasted image 20240523230111.png]] **定义**： #空间曲线 > 描述： $$\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$$ **补充**：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个 + 核心： + 一个方程减少一个自由度； + 曲面有两个自由度，而曲线只有一个； + 因此空间曲线的一般式是关于 `xyz` 的两个方程； ### 10.3.2 常见曲面 **曲面一**：`旋转面` `->` 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转 + 设 $L$ 是 $yoz$ 平面上一条曲线，其方程是：$\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}$ + （1）$L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.$ + （2）$L绕 z 轴旋转所得旋转面方程为：$ **曲面二**：柱面 `->` 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹; + $准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0$ + $准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0$ + 图示：锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱面 $x^{2}+y^{2}\le2x$ 的区域上： + 锥面： + ![[Pasted image 20240523231234.png]] + 柱面： + ![[Pasted image 20240523231044.png]] + 三维： + ![[Pasted image 20240523231108.png]] **曲面三**：二次曲面 + $$\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;$$ + $$\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;$$ + (3) 单叶双曲面 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$ + (4) 双叶双曲面 $$\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1$$ + (5) 椭圆抛物面 $$\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;$$ **曲面四**：空间曲面投影 + $q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$ # Chapter 11：多元积分学及其应用 ## 11.1 第一类曲线积分 ### 11.1.1 对弧长的曲线积分 **定义**： #平面上对弧长的线积分 > 描述： $$\int_{L}f(x,y)ds=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i})\Delta s_{i}$$ **解释** + 一个二元函数，沿着一个二维的曲线段的积分； + 把曲线分成 n 个小端，将曲线的函数值乘以小弧段的长度，将每一段求和、取极限，如果这个极限存在，则线积分存在； **定理**： #线积分的性质 > 描述： $$\int_{L(AB)}f(x,y)ds=\int_{L(BA)}f(x,y)ds$$ **解释** + 含义：线积分和路径的方向无关； **推论** + 1. $\int_{L_{1}+L_{2}}f(x,y)ds=\int_{L_{1}}f(x,y)ds+\int_{L_{2}}f(x,y)ds$； + 2. $\int_{L}[df(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_{L}f(x,y)ds+\beta\int_{L}g(x,y)ds$； + 3. $\int_{C}f(x,y)ds=\int_{C_{1}}f(x,y)ds+\int_{C_{2}}f(x,y)ds$； + 4. $f(x,y)<=g(x,y) ; \int_{L}f(x,y)ds\leq\int_{L}g(x,y)ds$ ### 11.1.2 曲线积分的计算 **定理**： #第一类曲线积分的计算：直接法 > 描述：假设 L 的参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t),\\y=\psi(t),&\end{cases}(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)$，则： $$\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}\mathrm{d}t$$ **解释** + 注意： + `ds` 是曲线的弧微分； + 上下限是弧长从小到大； **定理**： #第一类曲线积分的计算：直角方程 > 描述： $\text{若 }C:y=y(x),\quad a\leq x\leq b$，则： > $$\int_{}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}\mathrm{d}x$$ **解释** + 相当于把 `x` 看作为参数； **定理**： #第一类曲线积分的计算：极坐标方程 > 描述： $\text{若 }C:\rho=\rho (\theta)\quad\alpha\leq\theta\leq\beta$，则： > $$\int_{C}f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(\rho(\theta)\cos\theta,\rho(\theta)\sin\theta)\sqrt{\rho^{2}(\theta)+\rho^{\prime2}(\theta)}d\theta $$ **定理**： #积分曲线的奇偶性 > 描述： $$\int_{C}f(x,y)\mathrm{d}s=\begin{cases}2\int_{C_{x>4}}f(x,y)\mathrm{d}s,&f(-x,y)=f(x,y)\\0,&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$$ **定理**： #对称性 > 描述：一般情况：$\int_{c}f(x,y)\mathrm{d}s=\int_{c}f(y,x)\mathrm{d}s$ > 特别：$\int_Cf(x)ds=\int_Cf(y)ds$ ## 11.2 第二类曲线积分 **解释**：方法选择 + 封闭区间： + 格林公式 + 非封闭区间： + 判断：看是否与路径无关 `->` 利用偏导数是否相等 + 是与路径无关 + 改换路径 + 利用原函数 + 不是与路径无关 + 直接算方便 `->` 直接算 + 直接算不方便 `->` 补线格林 ### 11.2.1 基本概念 **定义**： #第二类曲线积分 > 描述： $$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_{i},\eta_{i})\Delta x_{i}+Q(\xi_{i},\eta_{i})\Delta y_{i}]$$ **解释** + 把曲线任意划分成 n 个小端，每一个有方向的小弧段在 x 轴上的投影乘以 **性质**：曲线有方向，改变方向、变符号 + $$\int_{L(AB)}Pdx+Qdy=-\int_{L(BA)}Pdx+Qdy$$ ### 11.2.2 计算方法 **方法一：直接法** **定理**： #第二类曲线积分的计算 > 描述：当前参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，从起点 A 到终点 B 中，t 从 α 到 β：$$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{\alpha}^{\beta}[p(\psi(t),\psi(t))\psi(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi^{\prime}(t)]dt$$ **解释** + 概念： + 写出参数方程、带进去，化成定积分的计算； + 注意： + 上下限是从起点的参数 `->` 终点的参数，而不是按照大小而来的； **方法二：格林公式** + 在一个平面闭区域 `D` 的二重积分上，是否可以只求边界曲线 `L` 上值得相差，而不计算曲面上的所有点的值； + 这个作用由格林公式达成； **定义**： #单连通区域 > 描述：假设在 `D` 平面区域内，`D` 内任意一闭曲线围成的部分都居于 `D`；否则则称之为复连通区域； **定理**： #格林公式 > 描述：闭区域 `D` 上由分段光滑的曲线 `L` 围成的，$P(x,y)、Q(x,y)$ 在 `D` 上有一阶连续偏导；则： > $$\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma =\oint_{L}Pdx+Qdy$$ **解释** + 注意： + 格林公式使用的范围 `->` 必须是在闭区域上：即曲线是封闭的； + 正负方向是相对于当前区域而言的； + 其中： + `L` 是区域 `D` 的正方向的边界曲线； **补充**：补线用格林 + 因为格林公式只能使用在封闭区域，因此当需要在非封闭区域使用时，可以进行补线，将非封闭区域补线为封闭区域，然后对封闭区域使用格林公式后再减去补线的部分，得到结果； **定理**： #利用线积分与路径无关 > 描述： > $\text{i)判定:}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (区域D单连通))$ > $ii)计算:$ > (a)改换路径：先改成更简单的（一般是沿着坐标轴的）的路径 > (b)利用原函数：$\int_{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{1})$ > 求原函数的方法：1. 偏积分；2. 凑微分； ### 11.2.3 两类线积分的联系 **定理**： #两类线积分的联系 > 描述： $$\int_{L}P\mathbf{d}x+Q\mathbf{d}y=\int_{L}(P\cos\alpha+Q\cos\beta)\mathbf{d}s$$ ### 11.2.4 计算方法：空间 #### 11.2.4.1 直接法 **定理**： #第二类曲面积分的空间计算 > 描述： $设L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),\quad t\in[\alpha,\beta]$ > $$\int_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\=\int_{a}^{\beta}\{P[x(t),y(t),z(t)]x^{\prime}(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y^{\prime}(t)+\\R[x(t),y(t),z(t)]z^{\prime}(t)\}dt$$ #### 11.2.4.2 斯托克斯公式 **定理**： #斯托克斯公式 > 描述： $$\int_{L}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)dz=$$ ![[Pasted image 20240521214413.png]] **解释** + 平面时：选第一种 + 其他时候：选第二种 ## 11.3 第一类曲面积分 ### 11.3.1 第一类曲面积分：对面积的曲面积分 **引例**：已知曲面构件具有连续面密度ρ(x, y, z)，求其质量 M； + 图示 + ![[Pasted image 20240212143059.png]] + 用每一个小面积上的密度乘以其面积，然后全部求和，得到完整的质量：$M=\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n\rho(\xi_k,\eta_k,\zeta_k){\Delta S_k}$ **定义**： #第一类曲面积分 > 描述： $\text{设}\sum\text{为光滑曲面},f(x,y,z)\text{ 是定义在}\sum\text{上的一}\text{个有界函数,若对}\Sigma\text{ 做任意分割和局部区域任意取点},$ 可以得到 > 乘积和式极限：$\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf\left(\xi_k,\eta_k,\zeta_k\right)\Delta S_k$ 都存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分； > 记作：$$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i},\eta_{i},\zeta_{i})\Delta S_{i}$$ **解释** + 概念： + $ds$ 相当于小曲面的面积； + $f(x,y,z)$ 相当于曲面的密度； + $f(x,\gamma,z)\operatorname{d}S$ 表示求一小块的质量； + $\iint_{\Sigma}f(x,\gamma,z)\operatorname{d}S$ 表示对整个面上，每个小块求和极限； + $\Sigma$ 称之为积分曲面； + 解释： + 每个点的函数值，乘以这个点的小区域的面积，求和、取极限，得到对面积的面积分 `->` 和曲面的方向没关系，因为面积和方向无关系； + 性质： + 1. 积分曲面无关性：$$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint_{-\Sigma}f(x,y,z)dS$$ + 2. 曲面积分存在性：$若 f(x,y,z)\text{在光滑曲面}\sum\text{ 上连续}$，则对面积的曲面积分存在； + 3. 对积分域的可加性：若 $\sum$ 是分片光滑的，则有：$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\operatorname{d}S=\iint_{\Sigma_{1}}f(x,y,z)\operatorname{d}S+\iint_{\Sigma_{2}}f(x,y,z)\operatorname{d}S$ + 4. 对积分的线性性质：$$\begin{aligned}\iint_{\Sigma}[k_1f(x,y,z)\pm k_2g(x,y,z)]&\operatorname{d}S=k_1\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\operatorname{d}S\pm k_2\iint_{\Sigma}g(x,y,z)\operatorname{d}S\end{aligned}$$ ### 11.3.2 对面积的曲面积分的计算 #### 11.3.2.1 直接法 **定理**： #第一类曲面积分的计算 > 描述： > 有光滑曲面，其 $\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}，f(x,y,z)\text{ 在 }\sum\text{上连续}$ > 则曲面积分 $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS\text{存在},\text{且有}$： > $$\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z_x}^2(x,y)+{z_y}^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ **解释** + 本质： + 把**难求的曲面面积，投影成一个对 x、y 上的平面二重积分**来完成计算； + 即把曲面 $\sum$ 投影到 $D_{xy}$ 上，化成 `D` 上的一个二重积分；； + ${\text{若曲面由方程 }x}=x(y,z){\text{或 }\operatorname*{y}}=y(z,x)\text{ 给出,也可类似地把对面积的面积分化为相应}\text{的二重积分}$； + 转化： + 将 z 用关于 xy 的式子带进去，得到二重积分； + 注意： + 当出现类似 $x^2+y^2=1$ 这种中心轴为 `z` 轴的形式，则无法直接做； + 此时应该使用 $y=y(x,z)$ `->` $\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y=y(x,z),z)\sqrt{1+{z_x}^2(x,z)+{z_z}^2(x,z)}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$ + 同理对于 $x=x(y,z)$ 的形式； #### 11.3.2.1 奇偶性与对称性 **定理**： #第一类曲面积分的奇偶性 > 描述：若曲面 $\sum$ 关于 $xoy$ 对称，则： > $$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\begin{cases}2\iint_{\sum_{z>0}} f(x,y,z)\mathrm{d}S,&f(x,y,-z)=f(x,y,z)\\0&f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\end{cases}$$ **知识点**：对称性 + $x^2+y^2+z^2=1$ 具有很好的对称性； + 所以可以利用对称性简化计算： $\iint_{\Sigma}(x^2+y^2)ds=(\frac{2}{3})\iint (x^2+y^2+z^2)ds=(\frac{2}{3})\iint 1ds=\frac{2}{3}4\pi$ ## 11.4 第二类曲面积分 ### 11.4.1 有向曲面及曲面元素的投影 **指定了侧的曲面，称之为有向曲面，其方向用法向量指向表示** ![[Pasted image 20240212153621.png]] + $\text{设 }\Sigma\text{为有向曲面},\text{其面元 }\Delta S\text{ 在 }xOy\text{ 面上的投影记为}\left(\Delta S\right)_{xy}$ ### 11.4.2 第二类曲面积分：对坐标的曲面积分 **定义**： #第二类曲面积分 > 描述： $$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)dxdy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nR(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$$ **解释** + 注意：第二类曲面积分有方向 + 概念：什么是曲面的方向 + 曲面的方向就是曲面侧向的方向，法向方向朝上、则侧朝上，法向方向朝下、则侧朝下； + 解释： + 一点的函数值 $R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 乘以它在 `xy` 上的投影： $(\Delta S_i)_{xy}$ + 如果是 $dxdy$ `->` 在 `xy` 上的投影； + 如果是 $dzdx$ `->` 在 `xz` 上的投影； + 性质：与积分曲面的方向有关 + 改变曲面的方向，其值相反； + $$\iint_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=-\iint_{-\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$ ### 11.4.3 对坐标的曲面积分的计算 #### 11.4.3.1 直接法 **定理**： #第二类曲面积分的计算 > 描述： > 1. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:z=z(x,y),(x,y){\in}D_{xy}\text{ 取上侧}R(x,y,z)\text{是 }\Sigma\text{ 上的连续函数, 则}$： > $$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\operatorname{d}x\operatorname{d}y=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\operatorname{d}x\operatorname{d}y$$ > 2. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:x=z(y,z),(y,z){\in}D_{yz}\text{ 取上侧}R(x,y,z)\text{是 }\Sigma\text{ 上的连续函数, 则}$： > $$\iint_{\Sigma}P(x,y,z){\mathrm{d}y\mathrm{d}z}=\pm\iint_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\mathrm{d}ydz$$ > 3. $\text{设曲面: }\Sigma:y=y (z, x),\quad (z, x)\in D_{zx}$，则：$$$$ **解释** + 解释： + 把 `dxdy` 的二型面积分，化成了 `Dxy` 投影域上的面积分； + 正负号的选择： + 若是在 `xy` 上投影： + 上侧做积分 `->` 正号； + 下侧做积分 `->` 负号； + 若是在 `yz` 上投影： + `yoz` 的前侧 `->` 正号； + `yoz` 的后侧 `->` 负号； + 若是在 `xz` 上投影： + `xoz` 的右侧 `->` 正号； + `xoz` 的左侧 `->` 负号； + 注意： + 若是在 `z=f(x,y)` 时： + 若 `x` 为常数 `->` 投影域就是直线，此时积分就是等于 `0`； + 若 `y` 为常数 `->` 投影域也是直线，此时积分也是等于 `0`； #### 11.4.3.2 高斯公式 **定理**： #高斯公式 > 描述： $$\oint\oint_{\Sigma_{\text{外}}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}zdx+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V$$ **解释** + 概念： + 建立一个封闭曲面外侧的二型面积分，跟这个曲面所围成区域上空间体的三重积分的关系； + 实际上，它是跟曲线积分里边的格林公式是完全类似的结论； + 格林公式是建立一个平面封闭曲线的的线积分和这个封闭曲线所围成区域上二重积分的关系； **补充**：补面用高斯公式 + 曲面不封闭时，补一个面，使用高斯公式； + 然后用高斯公式计算的结果 `-` 补上的部分； ### 11.4.4 两类曲面积分的联系 **概念**：两类曲面积分的联系 + 公式：$$\iint_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S=\iint_{\Sigma}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$$ + 解释： + 右端是一个二型面积分； + 左端是一个一型面积分； + $(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)$ 是这一点上，曲面的法线向量的方向余弦； # Chapter 12：行列式与矩阵 ![[Pasted image 20241028005929.png]] ![[Pasted image 20241028005942.png]] ![[Pasted image 20241028010002.png]] ![[Pasted image 20241028010026.png]] ![[Pasted image 20241028010047.png]] ![[Pasted image 20241028010128.png]] ![[Pasted image 20241028010222.png]] ![[Pasted image 20241028010231.png]] ![[Pasted image 20241028010337.png]] ![[Pasted image 20241028010359.png]] ![[Pasted image 20241028010446.png]] ![[Pasted image 20241028010454.png]] # Chapter 13：向量 ![[Pasted image 20241028010547.png]] ![[Pasted image 20241028010551.png]] ![[Pasted image 20241028010559.png]] ![[Pasted image 20241028010611.png]] ![[Pasted image 20241028010617.png]] ![[Pasted image 20241028010632.png]] ![[Pasted image 20241028010648.png]] # Chapter 14：线性方程组 ![[Pasted image 20241028010708.png]] ![[Pasted image 20241028010718.png]] ![[Pasted image 20241028010727.png]] ![[Pasted image 20241028010744.png]] ![[Pasted image 20241028010754.png]] ![[Pasted image 20241028010800.png]] ![[Pasted image 20241028010812.png]] ![[Pasted image 20241028010820.png]] ![[Pasted image 20241028010847.png]] # Chapter 15：相似 ![[Pasted image 20241028010922.png]] ![[Pasted image 20241028010927.png]] ![[Pasted image 20241028010934.png]] ![[Pasted image 20241028010942.png]] ![[Pasted image 20241028010953.png]] ![[Pasted image 20241028011050.png]] # Chapter 16：二次型 ![[Pasted image 20241028011113.png]] ![[Pasted image 20241028011124.png]] ![[Pasted image 20241028011216.png]] ![[Pasted image 20241028011226.png]] ![[Pasted image 20241028011241.png]] ![[Pasted image 20241028011251.png]] # Chapter 17：随机变量 ![[Pasted image 20241029194839.png]] ![[Pasted image 20241029194946.png]] ![[Pasted image 20241029194957.png]] ![[Pasted image 20241029195005.png]] ![[Pasted image 20241029195037.png]] ![[Pasted image 20241029195044.png]] ![[Pasted image 20241029195052.png]] ![[Pasted image 20241029195105.png]] ![[Pasted image 20241029195115.png]] ![[Pasted image 20241029195125.png]] ![[Pasted image 20241029195133.png]] ![[Pasted image 20241029195149.png]] ![[Pasted image 20241029195202.png]] ![[Pasted image 20241029195216.png]] ![[Pasted image 20241029195224.png]] ![[Pasted image 20241029195233.png]] ![[Pasted image 20241029195255.png]] ![[Pasted image 20241029195313.png]] # Chapter 18：一维随机变量 ![[Pasted image 20241029195357.png]] ![[Pasted image 20241029195405.png]] ![[Pasted image 20241029195415.png]] ![[Pasted image 20241029195434.png]] ![[Pasted image 20241029195446.png]] ![[Pasted image 20241029195454.png]] ![[Pasted image 20241029195502.png]] ![[Pasted image 20241029195516.png]] ![[Pasted image 20241029195523.png]] ![[Pasted image 20241029195530.png]] ![[Pasted image 20241029195545.png]] ![[Pasted image 20241029195557.png]] ![[Pasted image 20241029195604.png]] ![[Pasted image 20241029195614.png]] ![[Pasted image 20241029195632.png]] ![[Pasted image 20241029195642.png]] ![[Pasted image 20241029195653.png]] ![[Pasted image 20241029195719.png]] ![[Pasted image 20241029195730.png]] ![[Pasted image 20241029195756.png]] # Chapter 19：二维分布函数 ![[Pasted image 20241029195844.png]] ![[Pasted image 20241029195850.png]] ![[Pasted image 20241029195857.png]] ![[Pasted image 20241029195925.png]] ![[Pasted image 20241029195932.png]] ![[Pasted image 20241029200000.png]] ![[Pasted image 20241029200010.png]] ![[Pasted image 20241029200018.png]] ![[Pasted image 20241029200031.png]] ![[Pasted image 20241029200114.png]] ![[Pasted image 20241029200122.png]] ![[Pasted image 20241029200130.png]] ![[Pasted image 20241029200136.png]] ![[Pasted image 20241029200146.png]] ![[Pasted image 20241029200153.png]] ![[Pasted image 20241029200258.png]] ![[Pasted image 20241029200308.png]] ![[Pasted image 20241029200322.png]] ![[Pasted image 20241029200328.png]] # Chapter 20：数字特征 ![[Pasted image 20241029200356.png]] ![[Pasted image 20241029200403.png]] ![[Pasted image 20241029200409.png]] ![[Pasted image 20241029200417.png]] ![[Pasted image 20241029200427.png]] ![[Pasted image 20241029200443.png]] ![[Pasted image 20241029200452.png]] ![[Pasted image 20241029200459.png]] ![[Pasted image 20241029200509.png]] ![[Pasted image 20241029200517.png]] ![[Pasted image 20241029200526.png]] ![[Pasted image 20241029200551.png]] ![[Pasted image 20241029200555.png]] ![[Pasted image 20241029200608.png]] ![[Pasted image 20241029200618.png]] ![[Pasted image 20241029200627.png]] ![[Pasted image 20241029200635.png]] ![[Pasted image 20241029200641.png]] ![[Pasted image 20241029200658.png]] ![[Pasted image 20241029200708.png]] ![[Pasted image 20241029200719.png]] ![[Pasted image 20241029200726.png]] ![[Pasted image 20241029200738.png]] # Chapter 21：数理统计 ![[Pasted image 20241029200808.png]] ![[Pasted image 20241029200818.png]] ![[Pasted image 20241029200834.png]] ![[Pasted image 20241029200842.png]] ![[Pasted image 20241029200904.png]] ![[Pasted image 20241029200918.png]] ![[Pasted image 20241029200927.png]] ![[Pasted image 20241029200939.png]] ![[Pasted image 20241029200945.png]] ![[Pasted image 20241029200955.png]] ![[Pasted image 20241029201006.png]] # Chapter 22：参数估计与假设检验 ![[Pasted image 20241029201039.png]] ![[Pasted image 20241029201102.png]] ![[Pasted image 20241029201111.png]] ![[Pasted image 20241029201117.png]] ![[Pasted image 20241029201129.png]] ![[Pasted image 20241029201143.png]] ![[Pasted image 20241029201151.png]] ![[Pasted image 20241029201157.png]] ![[Pasted image 20241029201212.png]] ![[Pasted image 20241029201226.png]] ![[Pasted image 20241029201231.png]] ![[Pasted image 20241029201238.png]] ![[Pasted image 20241029201246.png]] ![[Pasted image 20241029201254.png]]

高等数学 - 思维导图

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

高等数学#

微分学#

一元函数微分学#

函数
- 函数的概念
  - 函数定义：如果对于每个数 x∈Dx\in Dx∈D ，变量 xxx 按照一定的法则总有一个确定的 yyy 和它对应，则称 xxx 是 yyy 的函数，记为 y=f(x)y=f(x)y=f(x)；常称 x 为自变量，yyy 为因变量，DDD 为定义域.
  - 复合函数：设 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 的定义域为 Df，u=g(x)D_f，u=g(x)Df，u=g(x) 的定义域为 DgD_gDg 、值域为 RsR_{s}Rs ；若 Df∩Rg≠ϕ,则称函数y=f[g(x)]D_f\cap R_g\neq\phi,\text{则称函数}y=f[g(x)]Df∩Rg=ϕ,则称函数y=f[g(x)] 为函数 y=f(u)y=f(u)y=f(u) 与 u=g(x)u=g(x)u=g(x) 的复合函数. 它的定义域为 {x∣x∈Dg,g(x)∈Df}\left\{x|x\in D_g,g(x)\in D_f\right\}{x∣x∈Dg,g(x)∈Df}
  - 反函数：设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的定义域为 D{D}D, 值域为 R‾ν‾\underline{R}_{\underline{\nu}}Rν.若对任意 y∈Ryy\in R_yy∈Ry ,有唯一确定的 x∈Dx\in Dx∈D ,使得 y=f(x)y=f(x)y=f(x),则记为 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y) 称其为函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的反函数
- 函数的性质
  - 单调性
  - 奇偶性：
    - 常见奇函数：\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},{\ln(x+\sqrt{1+x^2})},\frac{e^x-1}{e^x+1},$$f(-x)=-f(x)
    - 常见偶函数：x2,∣x∣,cos⁡x,f(x)=f(−x)x^2,|x|,\cos x,f(x)=f(-x)x2,∣x∣,cosx,f(x)=f(−x)
  - 周期性
  - 有界性
极限
- 极限的性质
 - 数列极限性质
 - 有界性：如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界\text{如果数列 }\left\{x_n\right\}\text{收敛,那么数列 }\left\{x_n\right\}\text{一定有界}如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界
 - 保号性；
 - 函数极限性质
 - 局部有界性：若 lim⁡x→x0f(x) 存在,则 f(x) 在 x0 某去心邻域\text{若 }\lim_{x\to x_0}f(x)\text{ 存在,则 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 某去心邻域}若 limx→x0f(x) 存在,则 f(x) 在 x0 某去心邻域
 - 保号性
- 函数极限
 - 函数趋向于无限值
 - 函数与无穷： lim⁡x→∞f(x)=A⇔∀ξ>0,∃X>0,∣x∣>X \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ\lim_{x \to \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \xi >0,\exists X>0,\lvert x \rvert >X \ \mbox{时有},\lvert f(x) - A\rvert < \xilimx→∞f(x)=A⇔∀ξ>0,∃X>0,∣x∣>X \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ
 - 函数趋向于负无穷： lim⁡x→−∞f(x)=A\lim_{x\to-\infty}f(x)=Alimx→−∞f(x)=A： ∀ε>0,∃X>0,当x<−X时,恒有∣f(x)−A∣<ε.\forall\boldsymbol{\varepsilon}>\boldsymbol{0},\exists\boldsymbol{X}>\boldsymbol{0},\boldsymbol{当}x<\boldsymbol{-X}\text{时,恒有}|f(x)-A|<\varepsilon.∀ε>0,∃X>0,当x<−X时,恒有∣f(x)−A∣<ε.
 - 函数趋向于正无穷： lim⁡x→+∞f(x)=A\lim_{x\to+\infty}f(x)=Alimx→+∞f(x)=A： ∀ε>0,∃X>0,当x>X时,恒有∣f(x)−A∣<ε.\forall\boldsymbol{\varepsilon}>\boldsymbol{0},\exists\boldsymbol{X}>\boldsymbol{0},\boldsymbol{当}x>\boldsymbol{X}\text{时,恒有}|f(x)-A|<\varepsilon.∀ε>0,∃X>0,当x>X时,恒有∣f(x)−A∣<ε.
 - 函数趋向于有限值
 - lim⁡x→x0f(x)=A{\lim_{x\to x_0}f(x)=A}limx→x0f(x)=A，∀ε>0,∃δ>0,当 0<∣x−x0∣<δ 时,恒有 ∣f(x)−A∣<ε.\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0\text{,当 }0<|x-x_0|<\delta\text{ 时,恒有 }|f(x)-A|<\varepsilon.∀ε>0,∃δ>0,当 0<∣x−x0∣<δ 时,恒有 ∣f(x)−A∣<ε.
 - 单侧极限
 - 左极限：lim⁡x→x0−f(x)=A⇔{∀ξ>0,∃δ>0,x0−δ<x<x0 \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x) = A \Leftrightarrow\begin{cases} \hspace{1em} \forall \xi >0,\exists \delta>0,x_{0}-\delta <x<x_{0} \ \mbox{时有},\\ \hspace{1em} \lvert f(x) - A\rvert < \xi \\ \end{cases}limx→x0−f(x)=A⇔{∀ξ>0,∃δ>0,x0−δ<x<x0 \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ
 - 右极限：lim⁡x→x0+f(x)=A⇔{∀ξ>0,∃δ>0,x0<x<x0+δ \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x) = A \Leftrightarrow\begin{cases} \hspace{1em} \forall \xi >0,\exists \delta>0,x_{0}<x<x_{0}+\delta \ \mbox{时有},\\ \hspace{1em} \lvert f(x) - A\rvert < \xi \\ \end{cases}limx→x0+f(x)=A⇔{∀ξ>0,∃δ>0,x0<x<x0+δ \mbox时有,∣f(x)−A∣<ξ
 - 极限与单侧极限关系： lim⁡x→x0f(x)=A⇔lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=Alimx→x0f(x)=A⇔limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A
- 数列极限
 - 数列极限的定义：对 lim⁡n→∞xn=a\lim_{n\to\infty}x_n=alimn→∞xn=a 而言：∀ε>0,∃N>0, 当 n>N 时, 恒有 ∣xn−a∣<ε\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{ 当 }n>N\text{ 时, 恒有 }|x_n-a|<\varepsilon∀ε>0,∃N>0, 当 n>N 时, 恒有 ∣xn−a∣<ε
 - 数列极限存在准则：若存在 N,当 n>N 时, xn≤yn≤zn\text{若存在 }N,\text{当 }n>N\text{ 时, }x_n\leq y_n\leq z_n若存在 N,当 n>N 时, xn≤yn≤zn，lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞zn=a,则lim⁡n→∞yn=a\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=a,\text{则}\lim_{n\to\infty}y_n=alimn→∞xn=limn→∞zn=a,则limn→∞yn=a
- 求极限
 - 求极限八种方法
- 无穷大与无穷小
 - 无穷小
 - 无穷小的定义：若函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0(x\to x_0(x→x0( 或 x→∞)x\to\infty)x→∞) 时的极限为零，则称 f(x)f(x)f(x) 为 x→x0(x\to x_0(x→x0( 或 x→∞)x\to\infty)x→∞) 时的无穷小量.
 - 无穷小的比较：
 - 同阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为常数 C（C 不等于 0）；
 - 等价无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为常数 1；
 - 高阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为 0；可记为：α(x)=o(β(x))\alpha(x)=o(\beta(x))α(x)=o(β(x))
 - 低阶无穷小： α(x)和β(x)\alpha(x)和\beta(x)α(x)和β(x) 相除结果为无穷；
 - 若lim⁡α(x)[β(x)]k=C≠0,称\text{若}\lim\frac{\alpha (x)^{\color{red}{}}}{\left[\beta (x)\right]^{k}\color{red}}=C\neq 0,\text{称}若lim[β(x)]kα(x)=C=0,称 α为β的 k 阶无穷小；
 - 无穷小的性质：
 - 性质 1： 有限个无穷小的和仍然是无穷小；
 - 性质 2： 有限个无穷小的积仍然是无穷小；
 - 性质 3： 无穷小量与有界量的积任然是无穷小；
 - 无穷大
 - 无穷大的定义：若函数 f(x)f(x)f(x) 当 x→x0(x\to x_0(x→x0( 或 x→∞)x\to\infty)x→∞) 时的极限无穷，则称 f(x)f(x)f(x) 为 x→x0(x\to x_0(x→x0( 或 x→∞)x\to\infty)x→∞) 时的无穷大量.
 - 无穷大的性质：
 - 性质 1： 有限个正无穷大的和是无穷大；
 - 性质 2： 有限个无穷大的积仍然是无穷大；
 - 性质 3： 无穷大量与有界变量的和仍然是无穷大量；
连续
- 连续的定义
  - 左连续
  - 右连续
  - 定义：设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 的某个邻域内有定义，如果当 x→x0x\to x_0x→x0 时，函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的极限值存在，且等于 x0x_{0}x0 处的函数值 f(x0)f(x_0)f(x0) , 即 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0), 则称函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在点 x0x_{0}x0 处连续.
- 连续性的性质
  - 闭区间上连续性的函数性质：
    - 有界性：若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。\text{若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。}若 f(x) 在 [a,b]上连续,则 f(x) 在 [a,b]上有界。
    - 最值定理：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，则 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上必有最大值和最小值；
    - 介值定理：若 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续，且 f(a)≠f(b)f(a)\neq f(b)f(a)=f(b),则对 f(a)f(a)f(a) 与 f(b)f(b)f(b) 中之间任一数C, 至少存在一个 ξ∈(a,b), 使得 f(ξ)=C.\text{之间任一数}\mathbf{C},\text{ 至少存在一个 }\xi\in(a,b),\text{ 使得 }f(\xi){=}C.之间任一数C, 至少存在一个 ξ∈(a,b), 使得 f(ξ)=C.
    - 零点定理
  - 连续性的运算性质
- 间断点
  - 间断点的定义：
  - 几类间断点
导数
- 导数的定义
  - 什么是导数
  - 左导数与右导数
  - 导函数的几何意义
- 导数求导法则
  - 和差积商求导法则
  - 反函数求导法则
  - 复合函数求导法则
  - 求导常用结论
  - 对数求导法
- 高阶导数
  - 高阶导数的定义
  - 常见求高阶导数公式
- 隐函数
- 参数方程
- 导数应用
  - 函数单调性的判读
  - 凹凸性的判断
  - 拐点
  - 函数的极值与最值
  - 渐近线
    - 水平渐近线
    - 垂直渐近线
    - 新节点
微分
- 微分的定义：
  - 若 f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx) ，则称 f(x)\text{若 }f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\text{ ，则称 }f(x)若 f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx) ，则称 f(x) 在x0点可微；在 x _0点可微；在x0点可微；
- 可微、可导、连续之间关系
  - Pasted image 20240317192744.png
- 微分中值定理
  - 罗尔定理：
    - 若满足三个条件：
    - 1）fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续；
    - 2）fff 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导；
    - 3）f (a)=f (b)
    - 则可知：则 ∃ξ∈(a,b),使 f′(ξ)=0\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0则 ∃ξ∈(a,b),使 f′(ξ)=0
    - 推导结论：有一点的切线，和 ab 两点的连线平行 -> 拉格朗日定理；
  - 拉格朗日中值定理：
    - 若满足以下几个条件： 1）fff 在 [a,b][a,b][a,b] 上连续 2）fff 在 (a,b)a,b)a,b) 内可导；
    - 则：可得 ∃ξ∈(a,b),使 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)可得 ∃ξ∈(a,b),使 f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)
  - 柯西中值定理：
    - 若满足以下条件：
    - 1）f,F 在 [a,b]上连续;f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};f,F 在 [a,b]上连续;
    - 2）f,F 在 (a,b) 内可导,且 ∀x∈(a,b),F′(x)≠0f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0f,F 在 (a,b) 内可导,且 ∀x∈(a,b),F′(x)=0
    - 则：∃ξ∈(a,b) ,使 f(b)−f(a)F(b)−F(a)=f′(ξ)F′(ξ)\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}∃ξ∈(a,b) ,使 F(b)−F(a)f(b)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)

多元函数微分学#

多元函数基本概念
- 多元函数的极限
- 多元函数的连续
- 偏导数
  - 偏导数的定义
  - 偏导数的几何意义
  - 高阶偏导数
- 全微分
  - 全微分的定义
  - 多元函数可微分的必要条件
  - 多元函数可微分的充分条件
- 多元函数分析
  - 可微、可导、连续、偏导连续的判断
  - 可微、可导、连续、偏导连续之间关系
多元函数微分法
- 多元复合函数微分
  - 多元复合函数求导法则
  - 全微分形式不变性
- 多元隐函数微分
  - 多元函数隐函数定义
  - 多元函数隐函数存在定理
多元函数的极值与最值
- 多元函数极值定义
  - 多元函数极值存在的必要条件
- 无条件极值
- 有条件极值
  - 拉格朗日乘数法
  - 条件极值定义

积分学#

一元函数积分学#

不定积分
- 不定积分的概念
  - 不定积分的定义：一个函数 f(x)f(x)f(x) 的不定积分（或者说是原函数）是一个导数等于 f(x)f(x)f(x) 的函数 F(x)F(x)F(x) ，即 F′(x) = f (x)，或写成 [F(x)+c]′=f(x)[F (x)+c]^{\prime}=f (x)[F(x)+c]′=f(x) 或者：∫f(x)dx=F(x)+C\int f(x)dx=F(x)+C∫f(x)dx=F(x)+C
  - 原函数存在性：
- 不定积分基本性质
  - (∫f(x)dx)′=f(x)(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)(∫f(x)dx)′=f(x)
  - d∫f(x)dx=f(x)dx\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}xd∫f(x)dx=f(x)dx
- 不定积分的计算
  - 基本公式
  - 第一类换元法
  - 第二类换元法
  - 分部积分法
定积分
- 定积分的概念
  - 定积分的定义： f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a,b][a,b] 上有界，在 [a,b][a,b][a,b] 上任意插入分点，分成 n 个小区间 Δx1Δx2⋯Δxn\Delta x_{1}\Delta x_{2}\cdots\Delta x_{n}Δx1Δx2⋯Δxn ，任取一点 i，有：∫abf(x)dx=lim⁡λ→0∑x=1nf(ξi)Δxi\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}∫abf(x)dx=limλ→0∑x=1nf(ξi)Δxi
    - 其中：λ=max⁡{Δx1⋯Δxn}\lambda=\max\{\Delta x_{1}\cdots\Delta x_{n}\}λ=max{Δx1⋯Δxn}
  - 微积分基本定理
- 定积分的计算
  - 牛顿-莱布尼茨公式
  - 定积分的换元法
  - 定积分的分部积分法
  - 定积分性质
- 变上限积分
  - 方法一：公式计算
  - 方法二：提取x
  - 方法三：换元法
- 反常积分
  - 反常积分的定义
  - 两类反常积分
    - 无穷区间上的反常积分
    - 无穷函数上的反常积分
  - 判断反常积分的敛散性
    - 方法一：定义法
    - 方法二：比较判别法
    - 方法三：P积分
- 定积分的应用
  - 平面图形的面积
  - 旋转体的体积
  - 平面曲线的弧长
  - 旋转体侧面积
  - 新节点

多元函数积分学#

重积分
- 二重积分
  - 二重积分的定义
  - 二重积分的性质
  - 二重积分的计算
    - 基于直角坐标系的二重积分计算
    - 基于极坐标系的二重积分计算
    - 利用奇偶性、对称性
- 三重积分
线面积分
- 线积分
- 面积分
积分应用

微分方程#

一阶微分方程#

可分离变量
一阶齐次方程
一阶线性方程

二阶微分方程#

二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数非齐次微分方程

高阶微分方程#

可降阶线性微分方程
高阶微分方程概念

无穷级数#

常数项级数#

基础概念
- 常数项级数的定义
- 常数项级数收敛的定义：lim⁡n→+∞Sn=∑n=1∞un\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_nlimn→+∞Sn=∑n=1∞un
- 级数基本性质
同号级数
- 正项级数
  - 正项级数收敛性：∑n=1∞un 收敛⇔sn 上有界\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}∑n=1∞un 收敛⇔sn 上有界
  - 比较审敛法
  - 比较法的极限形式
  - 比值法
  - 根值法
  - 积分判别法
变号级数
- 交错级数
  - 交错级数定义：∑n=1∞(−1)n−1un,un>0\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0∑n=1∞(−1)n−1un,un>0
  - 莱布尼茨准则
- 任意项级数
  - 绝对收敛与条件收敛概念
  - 任意项级数收敛性判断

幂级数#

幂级数基础概念
- 幂级数的定义
  - ∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+⋯
- 幂级数的收敛性
  - 收敛点与发散点的概念
  - 阿贝尔定理
  - 收敛区间
  - 收敛域
- 收敛半径
  - 收敛半径判断法一：极限比值
  - 收敛半径判断法二：基于根式
- 幂级数的运算
  - 有理运算性质
  - 分析性质
函数展开成幂级数
- 基础概念
  - 函数的幂级数展开
  - 泰勒级数的收敛性
- 函数展开为幂级数
  - 直接展开法
  - 间接展开法
- 常见展开

傅里叶级数#

傅里叶级数基础概念
- 傅里叶系数
- 傅里叶级数
- 收敛性
  - 狄利克雷定理
函数展开为傅里叶级数
- 周期函数的展开：特殊情况
- 周期函数的展开：一般情况

空间解析几何#

向量代数#

空间平面与直线#

曲面与空间曲线#

多元微分在几何中的应用#

Lecture 53：向量代数

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

53.1 数量积#

定理： #向量代数的数量积#

描述： 1)几何表示: a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡α1\text{)几何表示: }\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\cos\alpha 1)几何表示: a⋅b=∣a∣∣b∣cosα 2)代数表示:a⋅b=axbx+ayby+azbz2\text{)代数表示:}\quad\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}_xb_x+\mathbf{a}_yb_y+\mathbf{a}_zb_z2)代数表示:a⋅b=axbx+ayby+azbz 3)运算规律:交换律：a⋅b=b⋅a分配律: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c3\text{)运算规律:}\quad 交换律：\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a} \quad \text{分配律: }\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}3)运算规律:交换律：a⋅b=b⋅a分配律: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c 4)几何应用:求模：∣a∣=a⋅a⋅a求夹角: cos⁡α=a⋅b∣a∣∣b∣判定两向量垂直:a⊥b⇔a⋅b=04\text{)几何应用:}\quad 求模：|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\cdot\mathbf{a} \quad \text{求夹角: }\cos\alpha=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\quad \text{判定两向量垂直:}\mathbf{a\perp b\Leftrightarrow a\cdot b=0}4)几何应用:求模：∣a∣=a⋅a⋅a求夹角: cosα=∣a∣∣b∣a⋅b判定两向量垂直:a⊥b⇔a⋅b=0

53.2 向量积#

定理： #向量代数的向量积#

描述： 1.几何表示:a×b 是一向量.模:∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡α1. \text{几何表示:}\quad\mathbf{a}\times\mathbf{b}\text{ 是一向量}.\quad\text{模}:\mid\mathbf{a}\times\mathbf{b}\mid=\mid\mathbf{a}\mid\mid\mathbf{b}\mid\sin\alpha1.几何表示:a×b 是一向量.模:∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinα 2.代数表示:a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣2. \text{代数表示:}\quad{\mathbf{a}\times\mathbf{b}}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}2.代数表示:a×b=iaxbxjaybykazbz 3.i)a×b=−(b×a)ii)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c3. i) a\times b= - ( b\times a) \quad ii)分配律：a\times(b+c)=a\times b+a\times c3.i)a×b=−(b×a)ii)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 4.运算规律：i)求同时垂直于a和b的向量:a×bii)求以a和b为邻边的平行四边形面积:S=∣a×b∣iii)判断两向量平行：a//b⇔a×b=04. 运算规律：i)求同时垂直于 a 和 b 的向量: a×b\quad ii)求以 a 和 b 为邻边的平行四边形面积:S=|a×b|\quad iii)判断两向量平行：\mathbf{a//b}\Leftrightarrow\mathbf{a\times b}=04.运算规律：i)求同时垂直于a和b的向量:a×bii)求以a和b为邻边的平行四边形面积:S=∣a×b∣iii)判断两向量平行：a//b⇔a×b=0

解释

几何表示 -> 右手法则 -> 垂直于 a,ba,ba,b 向量的一个直线；
注意：
- 数量积满足交换律，向量积不满足交换律；

53.3 混合积#

定理： #向量代数的混合积#

描述：基本表述：[abc]=(a×b)⋅c\left[ abc \right] = (a \times b) \cdot c[abc]=(a×b)⋅c 定义： a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzkc=cxi+cyj+czk\ a = a_xi + a_yj + a_zk \\ b = b_xi + b_yj + b_zk \\ c = c_xi + c_yj + c_zk a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzkc=cxi+cyj+czk 性质：（1）(a×b)⋅c=a⋅(b×c)=b⋅(c×a)(a\times b)\cdot c = a\cdot(b\times c) = b \cdot (c\times a)(a×b)⋅c=a⋅(b×c)=b⋅(c×a) 轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)交换变号：(abc)=−(acb)轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)\quad 交换变号：(\mathbf{abc})=-(\mathbf{acb})轮换对称性：(abc)=(bca)=(cab)交换变号：(abc)=−(acb) （2）(a×b)⋅c=−(b×a)⋅c(a×b)⋅c=−(c×b)⋅a(a×b)⋅c=−(a×c)⋅b\begin{aligned}(a\times b)\cdot c=-(b\times a)\cdot c\\(a\times b)\cdot c=-(c\times b)\cdot a\\(a\times b)\cdot c=-(a\times c)\cdot b\end{aligned}(a×b)⋅c=−(b×a)⋅c(a×b)⋅c=−(c×b)⋅a(a×b)⋅c=−(a×c)⋅b （3）a、b、c三向量共面⇔[abc]=0a\text{、}b\text{、}c\text{三向量共面}\Leftrightarrow[abc]=0a、b、c三向量共面⇔[abc]=0 几何意义：

向量的混合积 [abc]=(a×b)⋅c[abc]=(a\times b)\cdot c[abc]=(a×b)⋅c 的绝对值在数值上等于以向量 a、b、c 为棱的平行六面体的体积

V平行六面体=∣(abc)∣V_\text{平行六面体}=|\mathrm{(abc)}|V平行六面体=∣(abc)∣

Lecture 54：空间平面与直线

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

54.1 平面与直线方程#

54.1.1 平面方程#

定义： #平面方程#

描述： 1)一般式:Ax+By+Cz+D=0.n={A,B,C}1\text{)一般式:}\quad Ax+By+Cz+D=0.\quad\mathbf{n}=\{A,B,C\}1)一般式:Ax+By+Cz+D=0.n={A,B,C} 2)点法式:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=02\text{)点法式:}\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=02)点法式:A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0 3)截距式:xa+yb+zc=13\text{)截距式:}\quad\frac xa+\frac yb+\frac zc=13)截距式:ax+by+cz=1

54.1.2 直线方程#

定义： #直线方程#

描述： 1)一般式:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=01)\text{一般式:}\quad\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}1)一般式:{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 2)对称式:x−x0l=y−y0m=z−z0n2)\text{对称式:}\quad\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n2)对称式:lx−x0=my−y0=nz−z0 3)参数式：x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.3)参数式：x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt.3)参数式：x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt.

54.2 距离关系#

54.2.1 平面与直线的位置关系#

核心：平面 -> 看法线向量；直线 -> 看方向向量

54.2.2 点到面的距离#

概念：点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0)(x0,y0,z0) 到平面 Ax+By+Cy+D=0Ax+By+Cy+D=0Ax+By+Cy+D=0 的距离

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣

54.2.3 点到直线距离#

概念：点 (x0,y0,z0) 到直线 x−x1l=y−y1m=z−z1n\text{点 }({x_0,y_0,z_0})\text{ 到直线 }\frac{x-x_1}l=\frac{y-y_1}m=\frac{z-z_1}n点 (x0,y0,z0) 到直线 lx−x1=my−y1=nz−z1

d=∣{x1−x0,y1−y0,z1−z0}×{l,m,n}∣l2+m2+n2Jd=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\}\times\{l,m,n\}|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\quad J}d=l2+m2+n2J∣{x1−x0,y1−y0,z1−z0}×{l,m,n}∣

Lecture 55：曲面与空间曲线

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

55.1 曲面与空间曲线#

定义： #空间曲面#

描述： F(x,y,z)=0或 z=f(x,y)F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)F(x,y,z)=0或 z=f(x,y)

举例：x+y+z=1x+y+z=1x+y+z=1

图示：
- Pasted image 20240523230111.png

定义： #空间曲线#

描述： i)参数式:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)ii)一般式:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}i)参数式:⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)ii)一般式:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

补充：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个

核心：
- 一个方程减少一个自由度；
- 曲面有两个自由度，而曲线只有一个；
- 因此空间曲线的一般式是关于 xyz 的两个方程；

55.2 常见曲面#

曲面一：旋转面 -> 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转

设 LLL 是 yozyozyoz 平面上一条曲线，其方程是：{f(y,z)=0x=0\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}{f(y,z)=0x=0
（1）L 绕 (y)轴旋转所得旋转面方程为f(y,±x2+z2)=0.L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.L 绕 (y)轴旋转所得旋转面方程为f(y,±x2+z2)=0.
（2）L绕z轴旋转所得旋转面方程为：L绕 z 轴旋转所得旋转面方程为：L绕z轴旋转所得旋转面方程为：

曲面二：柱面 -> 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹;

准线为Γ:{f(x,y)=0z=0，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0准线为Γ:{f(x,y)=0z=0，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0
准线为Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0准线为Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0
图示：锥面 z=x2+y2z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}z=x2+y2 在柱面 x2+y2≤2xx^{2}+y^{2}\le2xx2+y2≤2x 的区域上：
- 锥面：
  - Pasted image 20240523231234.png
- 柱面：
  - Pasted image 20240523231044.png
- 三维：
  - Pasted image 20240523231108.png

曲面三：二次曲面

椭圆锥面 x2a2+y2b2=z2;\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;椭圆锥面 a2x2+b2y2=z2;
椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1;\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;椭球面a2x2+b2y2+c2z2=1;
(3) 单叶双曲面 x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1a2x2+b2y2−c2z2=1
(4) 双叶双曲面 x2a2−y2b2−z2c2=1\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1a2x2−b2y2−c2z2=1
(5) 椭圆抛物面椭圆抛物面x2a2+y2b2=z;\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;椭圆抛物面a2x2+b2y2=z; 曲面四：空间曲面投影
q曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在xoy面上的投影曲线方程为：{H(x,y)=0z=0q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}q曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在xoy面上的投影曲线方程为：{H(x,y)=0z=0

55.3 常考题型#

题型： #建立柱面和旋转面方程#

PART 1：解题方法#

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#

Lecture 56：多元微分在几何上的应用

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

56.1 曲面的切平面与法线#

概念一：曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，法向量：n=(Fx,Fy,Fz)n=({F_x,F_y,F_z})n=(Fx,Fy,Fz)

概念二：曲面 z=F(x,y)z=F(x,y)z=F(x,y)，法向量：n=(Fx,Fy,−1)n=({F_x,F_y,-1})n=(Fx,Fy,−1)

56.2 曲线的切线与法平面#

概念

公式：1)曲线{x=x(t)y=y(t)z=z(t)切向量:τ={x′(t0),y′(t0),z′(t0)}1)\text{曲线}\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{切向量:}\quad\tau=\{x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\}1)曲线⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)切向量:τ={x′(t0),y′(t0),z′(t0)}
公式：2)曲线 {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0切向量:τ=n1×n22)\text{曲线 }\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}\text{切向量:}\quad\mathbf{\tau}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_22)曲线 {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0切向量:τ=n1×n2

Lecture 61：场论初步

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

61.1 方向导数#

61.1.1 方向导数基本概念#

定义： #方向导数#

描述： ∂f∂l∣(x0,y0)=lim⁡t→0+f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t∂l∂f(x0,y0)=limt→0+tf(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)

解释

作用：
- 对 x 以及对 y 的偏导反映了函数沿着 x 或者 y 方向上的变化；
- 但如果需要描述函数沿着其他方向上的变化时，就需要使用方向导数；
概念：
- 1. cos⁡α\cos \alphacosα 和 cos⁡β\cos\betacosβ 表示了直线方向；
- 1. x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡βx_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\betax0+tcosα,y0+tcosβ 表示了直线方向上的一点；
- 1. f(x0+tcos⁡α,y0+tcos⁡β)−f(x0,y0)t\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}ttf(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0)：一点的方向值减去以函数值后除以 t，当 t->0 时，表示了这一点的方向导数值；
注意：
- t 只能趋向于 0 正；

61.1.2 方向导数的可微性判断#

定理： #方向导数的存在性判定#

描述：若 z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y) 可微，则这一点沿着任何方向上的方向导数都存在，且方向导数等于两个偏导数、乘以其方向余弦，如下式： ∂f∂l=∂f∂xcos⁡α+∂f∂ycos⁡β\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta ∂l∂f=∂x∂fcosα+∂y∂fcosβ

解释：可微 -> 任意方向可导；

61.2 梯度#

定义： #梯度#

描述：设 f(x,y) 在点 P(x0,y0) 有连续一阶偏导数\text{设 }f(x,y)\text{ 在点 }P(x_0,y_0)\text{ 有连续一阶偏导数}设 f(x,y) 在点 P(x0,y0) 有连续一阶偏导数，则：gradu=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j\mathrm{grad}u=f_x(x_0,y_0)\mathbf{i}+f_y(x_0,y_0)\mathbf{j}gradu=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j

解释：梯度的意义

每个点有无限个方向导数，但梯度方向上的方向导数最大；
方向导数的最大值，就是梯度的模；

61.3 散度与旋度#

定义： #散度#

描述：设有向量场 A(x,y,z)=(P,Q,R)A(x,y,z)=({P,Q,R})A(x,y,z)=(P,Q,R) ，则： divA=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\mathbf{divA}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}divA=∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R

解释

散度是一个数；

定义： #旋度#

描述：设有向量场 A(x,y,z)=(P,Q,R)A(x,y,z)=({P,Q,R})A(x,y,z)=(P,Q,R) ，则： rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\mathbf{rotA}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac\partial{\partial x}&\frac\partial{\partial y}&\frac\partial{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}rotA=i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R

解释

旋度是一个向量；

Lecture 37：可降阶方程与高阶线性微分方程

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

1.1 可降阶方程概念#

高阶方程降阶核心

核心：
- 大部分是不可以降阶的，在 1.2 小节当中的大部分只是理论上有解，但没有通用方法求解；
- 可以用通用方法降阶、求解的两种类型：y′′=f(x,y′)y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})y′′=f(x,y′) 和 y"=f(y,y′)y"=f(y,y^{\prime})y"=f(y,y′)
- 判断所属的可降阶类型，进行对应的代换，然后使用分离变量法；
注意：
- 求高阶微分方程定解时，每出来一个常数 C，就定一个常数；

常见可降阶形式

1. y′′=f(x)y^{\prime\prime}=f(x)y′′=f(x)；
- 举例：y′′=ex,y′=ex+e1y=ex+C1x+C2y^{\prime\prime}=e^{x},\quad y^{\prime}=e^{x}+e_{1}\quad y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}y′′=ex,y′=ex+e1y=ex+C1x+C2
1. y′′=f(x,y′)y^{\prime\prime}=f(x,y^{\prime})y′′=f(x,y′)
- 方法：
  - 令： y′=P,y′′=dPdx{y^{\prime}=P,y^{\prime\prime}=\frac{dP}{dx}}y′=P,y′′=dxdP
  - 得到： dpdx=f(x,p)\frac{dp}{dx}=f(x,p)dxdp=f(x,p) 关于 p、x 的一阶方程，然后进行分离变量；
- 举例：
  - 微分方程 xy′′+3y′=0 的通解为\text{微分方程 }xy^{\prime\prime}+3y^{\prime}=0\text{ 的通解为}微分方程 xy′′+3y′=0 的通解为
  - 没有直接出现 y，所以为第二种方法；
  - 得到：y′=p,y′′=dpdx,xdpdx+3p=0y^{\prime}=p,y^{\prime\prime}=\frac{dp}{dx},x\frac{dp}{dx}+3p=0y′=p,y′′=dxdp,xdxdp+3p=0 此方程为一阶可分离方程；
1. y"=f(y,y′)y"=f(y,y^{\prime})y"=f(y,y′)
- 方法：
  - 设： y′=Py^{\prime}=Py′=P、y′′=dpdyPy^{\prime\prime}=\frac{dp}{dy}Py′′=dydpP；
  - 变成只有 y、p，没有 x 的一阶方程，然后使用分离变量法；

1.2 高阶线性微分方程#

总结

高阶线性微分方程；
- 包括：
  - 高阶线性齐次微分方程；
  - 高阶线性非齐次微分方程；
- 特点：
  - 理论上有解，但是都没有通用的求解方法；
可以解的情况：
- 常系数齐次线性微分方程；

解的结构

二阶线性齐次微分方程：
- y′′+p(x)y′+q(x)y=0y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0y′′+p(x)y′+q(x)y=0
二阶线性非齐次微分方程：
- y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)

定理： #二阶线性齐次微分方程的解#

描述：如果以 y1(x)y_1(x)y1(x) 和 y2(x)y_2(x)y2(x) 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的的特解，那么：y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)y=C1y1(x)+C2y2(x) 是二阶线性齐次微分方程的通解；

解释

独立微分方程的个数和阶数一致；

判断线性无关

如果 y1(x)y2(x)\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}y2(x)y1(x) 不等于 C，则线性无关；

定理： #二阶线性非齐次微分方程的解#

描述：如果 y∗y^*y∗ 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，y1(x)y_1(x)y1(x) 和 y2(x)y_2(x)y2(x) 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则： y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x) 是非齐次微分方程的通解；

解释

齐次通解+非齐次特解=非齐次通解齐次通解+非齐次特解=非齐次通解齐次通解+非齐次特解=非齐次通解

定理： #非齐次微分方程与齐次微分方程的解#

描述：如果 y1∗(x)y^*_1(x)y1∗(x) 和 y2∗(x)y^*_2(x)y2∗(x) 是非齐次微分方程的两个特解，则 y(x)=y(x)=y(x)= y1∗(x)y^*_1(x)y1∗(x) + y2∗(x)y^*_2(x)y2∗(x) 是齐次微分方程的解；

定理： #非齐次微分方程的解关于非齐次项的叠加性#

描述：如果 y1∗(x)y^*_1(x)y1∗(x) 和 y2∗(x)y^*_2(x)y2∗(x) 分别是方程 y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x)y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{1}(x)\quad\quad y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{2}(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f2(x) 的特解，则： y1˙(x)+y2˙(x)\dot{y_1}(x)+\dot{y_2}(x)y1˙(x)+y2˙(x) 是方程 y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x)y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f1(x)+f2(x) 的一个特解；

Lecture 40：欧拉方程

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

40.1 欧拉方程#

40.1.1 基本概念#

定义： #欧拉方程#

描述：

形式：xny(n)+a1xn−1y(n−1)+⋯+an−1xy′+any=f(x)x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy^{\prime}+a_ny=f(x)xny(n)+a1xn−1y(n−1)+⋯+an−1xy′+any=f(x)

解释

概念：
- 欧拉方程，同时也是个线性方程，但是是变系数的；
- 但它是一种特殊的变系数：一种非常有规律的线性变系数方程；
思想：
- 把这种规律的变系数方程化成常系数方程；
方法：
- 设 x=etx=e^tx=et，得到 xky(k)=D(D−1)⋯(D−k+1)yx^{k}y^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)yxky(k)=D(D−1)⋯(D−k+1)y
- 其中 D=ddtD=\frac{d}{dt}D=dtd，Dy=dydtDy=\frac{dy}{dt}Dy=dtdy，D2=d2dt2D2y=d2ydt2D^{2}=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\quad\quad D^{2}y=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}D2=dt2d2D2y=dt2d2y

40.1.2 例题#

例题：求欧拉方程 x2d2ydx2+4xdydx+2y=0(x>0)x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4x\frac{dy}{dx}+2y=0\quad(x>0)x2dx2d2y+4xdxdy+2y=0(x>0) 的通解；

分析
解析
- x=etD(p−1)y+4Dy+2y=0x=e^{t}\quad D(p-1)y+4Dy+2y=0x=etD(p−1)y+4Dy+2y=0
- 得到：(y2−1)y+4y+2y=0(y^{2}-1)y+4y+2y=0(y2−1)y+4y+2y=0
- 得：d2ydt2+3dydt+2y=0\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+3\frac{dy}{dt}+2y=0dt2d2y+3dtdy+2y=0
题型：#

高数一_第一章_函数_极限_连续

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

考研数学复习资料：高等数学（一）#

章节：第一章函数、极限与连续
适用对象：考研数学一/二/三
版本：v1.0
最后更新：2026-03-15

目录#

考研数学复习资料：高等数学（一）

第一节函数 (Functions)#

1.1 函数的概念与性质#

定义：设 xxx 和 yyy 是两个变量，DDD 是一个给定的实数集。如果对于 DDD 上的每一个 xxx 值，按照一定的法则 fff，都有唯一确定的 yyy 值与之对应，则称 yyy 为 xxx 的函数，记作 y=f(x)y=f(x)y=f(x)。其中 xxx 为自变量，yyy 为因变量，DDD 为定义域。

函数的四大基本性质：

有界性 (Boundedness)：
- 若存在正数 MMM，使得对于一切 x∈Dx \in Dx∈D，都有 ∣f(x)∣≤M|f(x)| \le M∣f(x)∣≤M，则称 f(x)f(x)f(x) 在 DDD 上有界。
- 几何意义：图像夹在直线 y=My=My=M 和 y=−My=-My=−M 之间。
单调性 (Monotonicity)：
- 单调递增：若对于区间 III 上任意两点 x1,x2x_1, x_2x1,x2，当 x1<x2x_1 < x_2x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2)f(x1)<f(x2)。
- 单调递减：若对于区间 III 上任意两点 x1,x2x_1, x_2x1,x2，当 x1<x2x_1 < x_2x1<x2 时，恒有 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)f(x1)>f(x2)。
奇偶性 (Parity)：
- 偶函数：f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)f(−x)=f(x)，图像关于 yyy 轴对称。（例：x2,cos⁡x,∣x∣x^2, \cos x, |x|x2,cosx,∣x∣）
- 奇函数：f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)f(−x)=−f(x)，图像关于原点对称。（例：x3,sin⁡x,tan⁡xx^3, \sin x, \tan xx3,sinx,tanx）
- 性质：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×\times×奇=偶，偶×\times×偶=偶，奇×\times×偶=奇。
周期性 (Periodicity)：
- 若存在非零常数 TTT，使得对于定义域内的任意 xxx，都有 f(x+T)=f(x)f(x+T) = f(x)f(x+T)=f(x)，则称 f(x)f(x)f(x) 为周期函数。
- 常见的周期函数：sin⁡x,cos⁡x\sin x, \cos xsinx,cosx (T=2πT=2\piT=2π), tan⁡x\tan xtanx (T=πT=\piT=π)。

1.2 反函数与复合函数#

反函数：若函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在某区间上单调，则存在反函数 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)。
- 性质：y=f(x)y=f(x)y=f(x) 与 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x) 的图像关于直线 y=xy=xy=x 对称。
复合函数：设 y=f(u)y=f(u)y=f(u)， u=g(x)u=g(x)u=g(x)，且 Rg∩Df≠∅R_g \cap D_f \neq \emptysetRg∩Df=∅，则 y=f[g(x)]y=f[g(x)]y=f[g(x)] 称为复合函数。

1.3 初等函数#

由常数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数。

第二节极限 (Limits)#

2.1 数列的极限#

定义：对于数列 {xn}\lbrace x_n \rbrace{xn}，若存在常数 AAA，对于任意给定的正数 ε\varepsilonε（无论它多么小），总存在正整数 NNN，使得当 n>Nn > Nn>N 时，一切 xnx_nxn 都满足 ∣xn−A∣<ε|x_n - A| < \varepsilon∣xn−A∣<ε，则称常数 AAA 是数列 {xn}\lbrace x_n \rbrace{xn} 的极限，记作 lim⁡n→∞xn=A\lim_{n \to \infty} x_n = Alimn→∞xn=A。

2.2 函数的极限#

自变量趋于无穷大 (x→∞x \to \inftyx→∞)：
- lim⁡x→∞f(x)=A ⟺ ∀ε>0,∃X>0,当 ∣x∣>X 时,∣f(x)−A∣<ε\lim_{x \to \infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, \text{当 } |x| > X \text{ 时}, |f(x) - A| < \varepsilonlimx→∞f(x)=A⟺∀ε>0,∃X>0,当 ∣x∣>X 时,∣f(x)−A∣<ε。
自变量趋于有限值 (x→x0x \to x_0x→x0)：
- lim⁡x→x0f(x)=A ⟺ ∀ε>0,∃δ>0,当 0<∣x−x0∣<δ 时,∣f(x)−A∣<ε\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \text{ 时}, |f(x) - A| < \varepsilonlimx→x0f(x)=A⟺∀ε>0,∃δ>0,当 0<∣x−x0∣<δ 时,∣f(x)−A∣<ε。

左极限与右极限：

左极限：lim⁡x→x0−f(x)=A\lim_{x \to x_0^-} f(x) = Alimx→x0−f(x)=A
右极限：lim⁡x→x0+f(x)=A\lim_{x \to x_0^+} f(x) = Alimx→x0+f(x)=A
定理：lim⁡x→x0f(x)=A ⟺ lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = Alimx→x0f(x)=A⟺limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=A。

2.3 极限的性质与运算法则#

唯一性：若极限存在，则唯一。
有界性：若 lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0f(x) 存在，则 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 的某去心邻域内有界。
保号性：若 lim⁡x→x0f(x)=A>0\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0limx→x0f(x)=A>0，则在 x0x_0x0 的某去心邻域内 f(x)>0f(x) > 0f(x)>0。

四则运算法则：设 lim⁡f(x)=A,lim⁡g(x)=B\lim f(x) = A, \lim g(x) = Blimf(x)=A,limg(x)=B，则：

lim⁡[f(x)±g(x)]=A±B\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm Blim[f(x)±g(x)]=A±B
lim⁡[f(x)⋅g(x)]=A⋅B\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot Blim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B
lim⁡f(x)g(x)=AB(B≠0)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)limg(x)f(x)=BA(B=0)

2.4 两个重要极限#

第一重要极限（处理 00\frac{0}{0}00 型三角函数极限）： lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1limx→0xsinx=1 推广：lim⁡u→0sin⁡uu=1\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1limu→0usinu=1（uuu 代表趋于 0 的任意表达式）
第二重要极限（处理 1∞1^\infty1∞ 型幂指函数极限）： lim⁡x→∞(1+1x)x=e或lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = elimx→∞(1+x1)x=e或limx→0(1+x)x1=e

2.5 无穷小与无穷大#

无穷小：极限为 0 的变量。
无穷小的比较：设 α,β\alpha, \betaα,β 是同一过程中的无穷小 (lim⁡α=0,lim⁡β=0\lim \alpha = 0, \lim \beta = 0limα=0,limβ=0)，且 α≠0\alpha \neq 0α=0。
- 若 lim⁡βα=0\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0limαβ=0，称 β\betaβ 是比 α\alphaα 高阶的无穷小，记作 β=o(α)\beta = o(\alpha)β=o(α)。
- 若 lim⁡βα=C≠0\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0limαβ=C=0，称 β\betaβ 与 α\alphaα 是同阶无穷小。
- 若 lim⁡βα=1\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1limαβ=1，称 β\betaβ 与 α\alphaα 是等价无穷小，记作 α∼β\alpha \sim \betaα∼β。

常用等价无穷小 (x→0x \to 0x→0)：

sin⁡x∼x\sin x \sim xsinx∼x
tan⁡x∼x\tan x \sim xtanx∼x
arcsin⁡x∼x\arcsin x \sim xarcsinx∼x
arctan⁡x∼x\arctan x \sim xarctanx∼x
ex−1∼xe^x - 1 \sim xex−1∼x
ln⁡(1+x)∼x\ln(1+x) \sim xln(1+x)∼x
1−cos⁡x∼12x21 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^21−cosx∼21x2
(1+x)α−1∼αx(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x(1+x)α−1∼αx

第三节连续 (Continuity)#

3.1 函数的连续性#

定义：若 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0f(x)=f(x0)，则称 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0 处连续。

充要条件：lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=f(x0)。

3.2 函数的间断点#

若 f(x)f(x)f(x) 在 x0x_0x0 处不连续，则 x0x_0x0 为间断点。

第一类间断点（左右极限均存在）：
- 可去间断点：lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)≠f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)=f(x0) （极限存在但不等于函数值）。
- 跳跃间断点：lim⁡x→x0−f(x)≠lim⁡x→x0+f(x)\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)limx→x0−f(x)=limx→x0+f(x)。
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）：
- 无穷间断点：极限为无穷大。
- 振荡间断点：极限在某范围内振荡（如 y=sin⁡1xy=\sin \frac{1}{x}y=sinx1 在 x→0x \to 0x→0 时）。

3.3 闭区间上连续函数的性质#

若 f(x)∈C[a,b]f(x) \in C[a, b]f(x)∈C[a,b]（在闭区间上连续），则有：

有界性定理：f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上有界。
最值定理：f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上必有最大值和最小值。
介值定理：若 m≤μ≤Mm \le \mu \le Mm≤μ≤M，则 ∃ξ∈[a,b]\exists \xi \in [a, b]∃ξ∈[a,b]，使得 f(ξ)=μf(\xi) = \muf(ξ)=μ。
零点定理：若 f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，则 ∃ξ∈(a,b)\exists \xi \in (a, b)∃ξ∈(a,b)，使得 f(ξ)=0f(\xi) = 0f(ξ)=0。

第四节解题方法与技巧 (Methods & Techniques)#

4.1 求极限的常用方法#

极限计算思维导图：

graph TD Start["开始: 拿到极限题目"] --> CheckType{"判断类型"} CheckType -->|"x -> ∞"| Rule1["抓大头/提取最高次幂"] CheckType -->|"x -> x0"| IsContinuous{"是否连续?"} IsContinuous -->|"是"| Subst["直接代入"] IsContinuous -->|"否 (0/0, ∞/∞, 1^∞)"| Indeterminate["不定式处理"] Indeterminate -->|"0/0, ∞/∞"| LHopital["洛必达法则 / 泰勒公式"] Indeterminate -->|"1^∞"| ExpForm["改写为 e^(lim(u-1)v)"] Indeterminate -->|"等价代换"| Equiv["乘除因子使用等价无穷小"] Rule1 --> Solve["计算结果"] Subst --> Solve LHopital --> Solve ExpForm --> Solve Equiv --> Solve

代入法：对于连续函数，直接代入极限值。
抓大头：当 x→∞x \to \inftyx→∞ 时，分子分母同除以最高次幂（针对有理分式）。
- 例：lim⁡x→∞3x2+12x2−x=32\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{2x^2-x} = \frac{3}{2}limx→∞2x2−x3x2+1=23
等价无穷小代换：
- 适用场景：乘除因子可以换，加减项需谨慎（只有当 α∼α′,β∼β′\alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'α∼α′,β∼β′ 且 lim⁡α′β′≠1\lim \frac{\alpha'}{\beta'} \neq 1limβ′α′=1 时通常可换，但建议仅在乘除中使用）。
- 例：lim⁡x→0sin⁡3xtan⁡5x=lim⁡x→03x5x=35\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}limx→0tan5xsin3x=limx→05x3x=53。
洛必达法则 (L’Hopital’s Rule)：
- 适用条件：00\frac{0}{0}00 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞ 型；导数极限存在。
- lim⁡x→x0f(x)g(x)=lim⁡x→x0f′(x)g′(x)\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}limx→x0g(x)f(x)=limx→x0g′(x)f′(x)。
泰勒公式 (Taylor Series)：
- 处理复杂的 00\frac{0}{0}00 型极限，比洛必达更通用。
- 记住常用展开式（如 ex,sin⁡x,cos⁡x,ln⁡(1+x)e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x)ex,sinx,cosx,ln(1+x)）。
幂指函数处理：
- u(x)v(x)=ev(x)ln⁡u(x)u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)。
- 对于 1∞1^\infty1∞ 型：lim⁡u(x)v(x)=elim⁡[u(x)−1]v(x)\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim [u(x)-1]v(x)}limu(x)v(x)=elim[u(x)−1]v(x)。

4.2 判断间断点类型的步骤#

求出函数的定义域，找出无定义的点或分段函数的分界点作为可疑点。
计算该点处的左极限和右极限。
根据左右极限的存在情况判断：
- 都存在且相等 →\to→ 连续（若等于函数值）或可去间断点（若不等于函数值）。
- 都存在但不相等 →\to→ 跳跃间断点。
- 至少一个不存在 →\to→ 第二类间断点。

第五节易错点与注意事项 (Pitfalls)#

极限存在的条件：
- lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x)limx→x0f(x) 存在必须要求左右极限都存在且相等。做题时（特别是分段函数、绝对值函数、e1/xe^{1/x}e1/x 型）要自觉讨论左右极限。
洛必达法则的陷阱：
- 只能用于 00\frac{0}{0}00 或 ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞。
- 求导后极限必须存在。若 lim⁡f′g′\lim \frac{f'}{g'}limg′f′ 不存在，不代表原极限不存在，此时洛必达失效，需改用夹逼定理或定义法。
等价无穷小代换的误区：
- 切记：“代换只能在乘除中进行，加减中一般不能代换”。
- 错误示例：求 lim⁡x→0tan⁡x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}limx→0x3tanx−sinx。
  - 错解：tan⁡x∼x,sin⁡x∼x ⟹ lim⁡x−xx3=0\tan x \sim x, \sin x \sim x \implies \lim \frac{x-x}{x^3} = 0tanx∼x,sinx∼x⟹limx3x−x=0。
  - 正解：tan⁡x−sin⁡x=tan⁡x(1−cos⁡x)∼x⋅12x2=12x3\tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^3tanx−sinx=tanx(1−cosx)∼x⋅21x2=21x3，故极限为 12\frac{1}{2}21。
1∞1^\infty1∞ 型极限：
- 不要直接把底数极限算出来再乘指数极限，必须使用 elim⁡(u−1)ve^{\lim (u-1)v}elim(u−1)v 公式。

附录：典型例题#

例 1：求极限 lim⁡x→0ex−1−xarcsin⁡(x2)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\arcsin(x^2)}limx→0arcsin(x2)ex−1−x。

解析：此为 00\frac{0}{0}00 型。分母：arcsin⁡(x2)∼x2\arcsin(x^2) \sim x^2arcsin(x2)∼x2。分子：使用泰勒公式，ex=1+x+x22+o(x2)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)ex=1+x+2x2+o(x2)。 lim⁡x→0(1+x+x22+o(x2))−1−xx2=lim⁡x→012x2x2=12\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2}limx→0x2(1+x+2x2+o(x2))−1−x=limx→0x221x2=21

例 2：判断 f(x)=xsin⁡xf(x) = \frac{x}{\sin x}f(x)=sinxx 在 x=0x=0x=0 处的间断点类型。

解析： x=0x=0x=0 处函数无定义，为间断点。计算极限：lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1limx→0f(x)=limx→0sinxx=1。极限存在，但函数无定义，故 x=0x=0x=0 是第一类可去间断点。补充定义 f(0)=1f(0)=1f(0)=1 后，函数变为连续。

祝复习顺利！

Lecture 1：课程引言

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

1.1 大纲介绍#

引言

基础内容：
- 行列式
- 矩阵
主题：
- 向量组
- 方程组
应用：
- 特征值；
  - 至少五分；
- 二次型；
  - 有了特征值就可以分析二次型；
  - 为了研究空间里面的图形，需要使用二次型的技术 -> 图形里面的最大值和最小值 -> 最值的问题；

1.2 课程介绍#

1.2.1 方向、工具与手段#

概念：研究方向与工具

研究方向：
- 研究的内容是向量：Vector
- 向量的个数，就是其维度；
- 行列式：
  - ∣mnab∣=mb−an\begin{vmatrix}\mathrm{m}&&\mathrm{n}\\\mathrm{a}&&\mathrm{b}\end{vmatrix}=\mathrm{mb}-\mathrm{an}manb=mb−an
研究工具：
- 1. 线性运算 -> 数乘和加法；
- 1. 点积运算 -> 在线性代数里面，点积运算本质上还是一个线性运算；
  - (a1a2)(b1b2)=a1b1+a2b2(a_{1}a_{2})(\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix})=a_1b_1+a_2b_2(a1a2)(b1b2)=a1b1+a2b2
  - (a1a2)(b1c1b2c2)=(a1b1+a2b2,a1c1+a2c2)(a_1a_2)\begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2})(a1a2)(b1b2c1c2)=(a1b1+a2b2,a1c1+a2c2)
  - (a1a2b1b2)(c1c2)=(a1c1+a2c2b1c1+b2c2)\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}(c_1c_2)=\begin{pmatrix} a_1c_1+a_2c_2 \\ b_1c_1+b_2c_2 \end{pmatrix}(a1b1a2b2)(c1c2)=(a1c1+a2c2b1c1+b2c2)

概念：研究手段

概念：
- 核心 -> 线性变换；
- 矩阵 -> 表达系统信息
  - 矩阵中的数据不能随便乱动，不然系统信息就被破坏了；
线性变换：
- 分析：
  - (100−1)(11)=(1−1)(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})(\begin{matrix}1\\1\end{matrix})=(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix})(100−1)(11)=(1−1)
  - 其中 (100−1)(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})(100−1) 是矩阵，对应了高等数学里面的函数 f
  - 其中 (11)(\begin{matrix}1\\1\end{matrix})(11) 代表变量，对应高等数学里面的 x；
  - 其中 (1−1)(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix})(1−1) 对应结，对应高等数学里面的 y；
  - 其中输入的内容是一个向量；
- 举例：
  - 举例：对称变换
    - 矩阵：(100−1)(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})(100−1)
  - 举例：伸缩变换
    - 矩阵：向右伸缩 (2001)(\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix})(2001)
    - 矩阵：向上伸缩 (1002)(\begin{matrix}1&0\\0&2\end{matrix})(1002)
  - 举例：剪切变换
    - 矩阵：(1−101)(\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix})(10−11)
    - 矩阵：(−1101)(\begin{matrix}-1&1\\0&1\end{matrix})(−1011)

1.2.2 分析：方程组与线性变换#

分析：方程组与线性变换

举例：{x1+2x2=34x1+7x2=10\begin{cases}x_{1}+2x_{2}=3\\4x_{1}+7x_{2}=10\end{cases}{x1+2x2=34x1+7x2=10
传统方法：消元法
线性变换：
- 因为 x1+2x2x_{1}+2x_{2}x1+2x2 以及 4x1+7x2=104x_{1}+7x_{2}=104x1+7x2=10 -> 这是点积的结果；
- 所以可以把其变成线性变换的形式：(1247)(x1x2)=(310)\left.\left(\begin{matrix}1&2\\4&7\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)(1427)(x1x2)=(310)
- 所以就是基于此线性变换，求其中的 x1x2x_1x_2x1x2
- 求解法：对等式两边乘以矩阵的逆矩阵，假设 A=(1247)A=(\begin{matrix}1&2\\4&7\end{matrix})A=(1427) ，则同时在两边乘以 A−1A^{-1}A−1
- 所以得到 Ax=BAx=BAx=B -> AA−1x=BA−1AA^{-1}x=BA^{-1}AA−1x=BA−1 -> x=BA−1x=BA^{-1}x=BA−1
- 即可以得到 x 的求解；

1.3 补充：点积#

概念：什么是点积

线性变换角度：
- 公式：
  - [1−2]⏞Transform[43]⏟Vector=4⋅1+3⋅−2\overbrace{\begin{bmatrix}1&-2\end{bmatrix}}^{\text{Transform}}\underbrace{\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}}_{\begin{array}{c}\text{Vector}\\\text{}\end{array}}=4\cdot1+3\cdot-2[1−2]TransformVector[43]=4⋅1+3⋅−2
- 图示：
  - Pasted image 20240629190435.png

Lecture 2：行列式的定义与性质

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

2.1 行列式基础概念#

2.1.1 行列式的由来#

行列式的由来

概念：
- 矩阵：
  - (a1a2b1b2)=A\left(\begin{matrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{matrix}\right)=A(a1b1a2b2)=A
- 行列式：
  - ∣abcd∣=∣A∣\begin{vmatrix}\mathrm{a}&\mathrm{b}\\\mathrm{c}&\mathrm{d}\end{vmatrix}=|A|acbd=∣A∣
关系：
- 行列式的概念由矩阵而来，矩阵是变换的一种性质；
- 矩阵是在表达信息，只有作用在一个向量上时，才会产生对另一个向量的作用；
- 行列式是把矩阵 A 放进来后，计算其某种性质、特点的测度；

补充：行列式的意义 - 二维时

概念：
- 行列式用于描述：一个矩阵在进行线性变换之后，这个线性变换对图像的面积改变的比例，称之为这个变换的行列式；
举例：
- 假设有一个二维的矩阵 A，如果矩阵 A 的行列式为 0，则表示将整个平面压缩到一条线、甚至是一个点上；
- 此时如果有一个图形在接受矩阵 A 的线性变换，此图形在进行线性变换后、其面积变为 0；
意义：
- 这也就意味着：只需要检验一个矩阵的行列式是否为 0，我们就能了解这个矩阵所代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上 -> 当前矩阵中有线性相关的列向量；
补充：定向
- 当行列式的值为负数时，则其表示定向发生改变；
补充：三维
- 如果是在三维时，此时行列式的值、就代表了线性变换后体积的改变比例；
- 因此：如果三维矩阵的行列式等于 0，则此时矩阵的列必然线性相关；

概念：二阶行列式的计算

公式：
- ∣A∣=∣abcd∣=ad−bc|A|=|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}|=ad-bc∣A∣=∣acbd∣=ad−bc
主对角线：
- 从 a->d 是主对角线；
副对角线：
- 从 d->c 是副对角线；
行列式的值：
- 就是主对角线减去副对角线；
- 其值的意义 -> 行列式的值，实际上就是对行列式对应的面积的改变的度量；

2.1.2 行列式的知识结构#

知识结构

行列式的基础概念：
- 本质定义
- 性质
- 逆序数法定义
- 展开定理
几个重要的行列式：12+1
- 主对角线行列式
- 副对角线行列式
- 拉普拉斯展开式
- 范德蒙德行列式
行列式的计算
- 具体型
  - 化成基本型
  - 递推法
  - 行列式表示的函数和方程
- 抽象型
  - 用性质
  - 用公式 ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣
    - 补充：AB不等于BA
    - 但 |AB| 面积的结果，等于 A 和 B 的行列式的面积值得相乘
    - 所以：|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|
余子式与代数余子式的计算
克拉默法则
- 不重要

2.2 行列式的第一种定义#

2.2.1 二阶行列式#

概念：二阶行列式的概念

概念：
- 2阶行列式D2=∣a11a12a21a22∣2 阶行列式D_2=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}2阶行列式D2=a11a21a12a22
解释：
- 其中 aija_{ij}aij 的第一个下标 iii 表示此元素所在的行数，第二个下标 jjj 表示此元素所在的列数 -> 定位置；
  - i=1,2,j=1,2i=1,2,j=1,2i=1,2,j=1,2；
- 于是此行列式中有四个元素；
计算：
- ∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}a11a21a12a22=a11a22−a12a21
几何意义：
- 计算：
  - SD=l∗m∗sin⁡(β−α)=a11a22−a12a21S_D=l*m*\sin(\beta-\alpha)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}SD=l∗m∗sin(β−α)=a11a22−a12a21
- 意义：
  - 二阶行列式是一个平行四边形的面积值 -> 体现测度；
  - 2 阶行列式是由两个 2 维向量组成的，其 (运算规则的) 结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积, 这不仅得出了 2 阶行列式的计算规则，也能够清楚地看到其几何意义；

2.2.2 三阶行列式#

概念：三阶行列式

概念：
- 3阶行列式D3=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\text{3阶行列式}D_{3}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}3阶行列式D3=a11a21a31a12a22a32a13a23a33
解释：
- 3 阶行列式是由三个 3 维向量 a1=[a11,a12,a13]a_1=[a_{11}, a_{12}, a_{13}]a1=[a11,a12,a13], a2=[a21,a22,a23]a_2=[a_{21}, a_{22}, a_{23}]a2=[a21,a22,a23], a3=[a31,a32,a33]a_3=[a_{31}, a_{32}, a_{33}]a3=[a31,a32,a33] 组成；
- 其 (运算规则的) 结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积；
计算：
- 公式 ∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31)−(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32)\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31})-(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{23}a_{32})a11a21a31a12a22a32a13a23a33=(a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31)−(a13a22a31+a12a21a33+a11a23a32)
- 手算方法：
  - 画线法 -> 画两条线。第一条是从 a11->a22->a33，然后基于此线画两个叉子 a13->a21->a32 与 a12->a23->a31；同理是第二条线，以 a13->a22->a31 然后画两个叉子；

2.2.3 n 阶行列式的本质定义#

定义： #n阶行列式#

描述： n 阶行列式 Dn=∣a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann∣是由 n 个 n 维向量 a1=[a11a12⋯ ,a1n],⋯ ,an=[an1,an2,⋯ ,ann]组成的,其(运算规则的)结果是以这 n个向量为邻边的 n维图形的(有向)体积.\begin{aligned}&n\text{ 阶行列式 }D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\text{是由 }n\text{ 个 }n\text{ 维向量 }a_1=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots,a_{1n}\end{bmatrix},\cdots,a_{n}=[a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}]\text{组成的,其(运算规则的)结果是以这 }n\text{个向量为邻边的 }n\text{维图形的(有}\\&\text{向)体积.}\end{aligned}n 阶行列式 Dn=a11⋮an1⋯⋯a1n⋮ann是由 n 个 n 维向量 a1=[a11a12⋯,a1n],⋯,an=[an1,an2,⋯,ann]组成的,其(运算规则的)结果是以这 n个向量为邻边的 n维图形的(有向)体积.

解释

行列式为 0，向量组线性相关行列式不为 0，向量组线性无关；

2.3 行列式的第二种定义#

2.3.1 排列和逆序#

概念：排列

排列由 n 个数 1,2,…, n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列；
如 23145 是一个 5 级排列，41352 也是一个 5 级排列，n 级排列共有 n! 个；

概念：逆序

在一个n 级排列 i1i2⋯is⋯it⋯in中,若is>it,且is排在it前面,则称这两个数构成一个逆序 .\text{在一个}n\text{ 级排列 }i_1i_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n\text{中,若}i_s>i_t\text{,且}i_s\text{排在}i_t\text{前面,则称这两个数构成一个逆序 }.在一个n 级排列 i1i2⋯is⋯it⋯in中,若is>it,且is排在it前面,则称这两个数构成一个逆序 .

概念：逆序数

逆序数一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 τ(i1i2⋯in)\tau\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)τ(i1i2⋯in)，如 τ(231546)=3\tau(231546)=3τ(231546)=3
由小到大顺排的排列称为自然排序，如 12345，显然，自然排序的逆序数为 0；

概念：奇排列和偶排列

该排列排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；
排列的逆序数为偶数时，称为偶排列；

2.3.2 n 阶行列式的第二种定义#

定义： #n阶行列式：第二种定义#

描述： ∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=∑j1j2⋯jn(−1)r(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn.\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{r(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}.a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=∑j1j2⋯jn(−1)r(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn.

解释

解释：
- ∑h1,h2,...hn\sum_{h_1,h_2,...h_n}∑h1,h2,...hn：
  - 表示对所有 nnn 个列下标排列求和，故为 n!n!n! 项之和；
  - 注意 -> 行下标已经顺排，而列下标是任一个 nnn 级排列；
- (−1)τ(j1j2⋯jn).(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}.(−1)τ(j1j2⋯jn).：
  - 每项的正、负号取决于 (−1)τ(j1j2⋯jn).(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}.(−1)τ(j1j2⋯jn).
  - 即：正负取决于 τ(j1j2⋯jn)\tau(j_1j_2\cdots j_n)τ(j1j2⋯jn) 的结果，对列的下标的排列计算其逆序数；
  - 当列下标为奇排列时，应附加负号；当列下标为偶排列时，应附加正号；
- a1j1a2j2⋯anjna_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}a1j1a2j2⋯anjn：
  - 每项由取自不同行、不同列的 nnn 个元素的乘积组成
意义：
- 把 n 阶行列式，展开成 n 的阶乘个项 -> 即表示 n 阶排列式，通用的计算规则；
举例：
- 题目：
  - 请确定a12a31a54a43a25这一展开项前的正、负号请确定a_{12}a_{31}a_{54}a_{43}a_{25}这一展开项前的正、负号请确定a12a31a54a43a25这一展开项前的正、负号
- 分析：
  - 先把行排好 -> a12a25a31a43a54a_{12}a_{25}a_{31}a_{43}a_{54}a12a25a31a43a54
  - 然后再看 τ(25134)=4\tau(25134)=4τ(25134)=4

2.4 行列式的第三种定义#

核心思想：降阶

2.4.1 余子式#

定义： #余子式#

描述：在 nnn 阶行列式中，去掉元素 aija_{ij}aij 所在的第 iii 行、第 jjj 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序成的 n−1n-1n−1 阶行列式称为元素 aija_{ij}aij 的余子式，记作 MijM_{ij}Mij 即：Mij=∣a11⋯a1,j−1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1⋯ai−1,j−1ai−1,j+1⋯ai−1,nai+1,1⋯ai+1,j−1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1an,j+1⋯amn∣.M_{ij}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{mn}\end{vmatrix}.Mij=a11⋮ai−1,1ai+1,1⋮an1⋯⋯⋯⋯a1,j−1⋮ai−1,j−1ai+1,j−1⋮an,j−1a1,j+1⋮ai−1,j+1ai+1,j+1⋮an,j+1⋯⋯⋯⋯a1n⋮ai−1,nai+1,n⋮amn.

解释

补充：
- 子式：
  - 提到的所有子式，都是指的行列式；
  - 子式是原本的行列式的一部分；
- 子矩阵：
  - 子矩阵就是就是矩阵；
解释：
- 把 aija_{ij}aij 所在的第 iii 行、第 jjj 列元素的所有元素都去掉，得到的行列式就是 (n−1)∗(n−1)(n-1)*(n-1)(n−1)∗(n−1) ，将其剩下的部分称之为子式，即余子式；
举例：
- 矩阵为 ∣121257−649∣\begin{vmatrix}1&2&1\\2&5&7\\-6&4&9\end{vmatrix}12−6254179 ，其 A23A_{23}A23 的余子式 M23M_{23}M23 为 ∣12−64∣\left|\begin{matrix}1&2\\-6&4\end{matrix}\right|1−624

2.4.2 代数余子式#

定义： #代数余子式#

描述：余子式 Mij乘(−1)i+j后称为aij 的代数余子式,记作 Aij,即\text{余子式 }M_{ij}\text{乘(}-1\text{)}^{i+j}\text{后称为}a_{ij}\text{ 的代数余子式,记作 }A_{ij}\text{,即}余子式 Mij乘(−1)i+j后称为aij 的代数余子式,记作 Aij,即： Aij=(−1)i+jMij且显然还有Mij=(−1)i+jAijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\quad\quad 且显然还有 M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij} Aij=(−1)i+jMij且显然还有Mij=(−1)i+jAij

解释

概念：
- 在余子式的基础上，给它添上一个 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j 的正负号；
举例：
- A23=(−1)2+3M23A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}A23=(−1)2+3M23

2.4.3 行列式的展开公式#

定理： #行列式的展开定理#

描述：行列式的值等于行列式的某行 (列) 元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即：∣A∣={ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑j=1naijAij(i=1,2,⋯ ,n),a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑i=1naijAij(j=1,2,⋯ ,n).\left|A\right|=\begin{cases}a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\left(i=1,2,\cdots,n\right),\\\\a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\left(j=1,2,\cdots,n\right).\end{cases}∣A∣=⎩⎨⎧ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑j=1naijAij(i=1,2,⋯,n),a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑i=1naijAij(j=1,2,⋯,n).

解释

举例：
- 展开：
  - 对 ∣A∣3×3|A|_{3\times3}∣A∣3×3 按照第一行展开，得到 ∣A∣3×3=a11A11+a12A12+a13A13|A|_{3\times3}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}∣A∣3×3=a11A11+a12A12+a13A13
- 分析：
  - 在上述例子中，将一个三阶的式子展开成了二阶，但代价是式子变成了三个；
  - 如果四阶时就是 ∣A∣4×4=a21A21+a22A22+a23A3+a24A24|A|_{4\times4}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{3}+a_{24}A_{24}∣A∣4×4=a21A21+a22A22+a23A3+a24A24
目的：
- 核心思想 -> 降阶后求行列式的值；
- 将 n 阶降成 n 个 n-1 阶
展开原则：
- 某一行（列）的为 0 的元素越多越好；

2.5 行列式的性质#

2.5.1 性质一#

性质一：行列互换，其值不变，即 ∣A∣=∣AT∣|A|=|A^{\mathrm{T}}|∣A∣=∣AT∣

概念补充：
- 转置矩阵：
  - 若 ∣A∣=∣AT∣|A|=|A^{\mathrm{T}}|∣A∣=∣AT∣，则称 ATA^{\mathrm{T}}AT 是 A 的转置矩阵；
- 对称矩阵：
  - 在 ATA^{\mathrm{T}}AT 是 A 的转置矩阵的基础上，如果 A=ATA=A^{\mathrm{T}}A=AT ，则称其为对称矩阵；
性质解释：
- ∣A∣=∣AT∣|A|=|A^{\mathrm{T}}|∣A∣=∣AT∣ -> 即使如果当前 ATA^{\mathrm{T}}AT 和 A 不是对称矩阵时，它们的值（二阶行列式的几何上的面积）也是相同的；
结论：
- 对于行列式来讲，行和列地位等价 -> 能用在行上的性质，在列上都能用；

2.5.2 性质二#

性质二：行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

如果在行列式当中，有一行为 0 -> 意味着这个行列式已经被降了一维 -> 因为测不到，所以测度为 0；
同理，如果有某一列全为 0，则行列式为零；

2.5.3 性质三：倍乘#

性质三：行列式中某行（列）元素有公因子 k(k≠0)，则 k 可提到行列式外面，即：

公式：
- ∣a11a12…a1n⋮⋮⋮kai1kai2…kain⋮⋮⋮an1an2…ann∣=k∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋮an1an2…ann∣.\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\ldots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\ldots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\end{vmatrix}.a11⋮kai1⋮an1a12⋮kai2⋮an2………a1n⋮kain⋮ann=ka11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2………a1n⋮ain⋮ann.
解释：
- 如果从几何上理解：如果是一个二阶行列式，乘以 K 代表其在某一个方向上乘以 k，而不是所有（这里的所有，其实就是两个方向）方向，只能延长某一个边 -> 如果是对所有方向都乘以 K，则得到的结果将是平方；
- 上述乘以提取 K 的过程中，等式从右到左的运算都称之为“倍乘”的性质；
举例：
- 可以把数乘到（提取）到某一行上
- ∣a11a12a21a22∣=k∣a11a12a21ka22k∣\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\\frac{a_{21}}{k}&\frac{a_{22}}{k}\end{vmatrix}a11a21a12a22=ka11ka21a12ka22
作用：
- 将行列式中的分母去掉；

2.5.4 性质四#

性质四：行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即：

公式：
- ∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1+bi1ai2+bi2⋯ain+bin⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮ai1ai2⋯am⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣+∣a11a12⋯a1n⋮⋮⋮bi1bi2⋯bin⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&\cdots&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{m}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&\cdots&b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}a11⋮ai1+bi1⋮an1a12⋮ai2+bi2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain+bin⋮ann=a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮am⋮ann+a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮bin⋮ann
解释：
- 单行可拆 (加) 性；
- 等式从右到左是两个行列式的相加的运算。如果两个行列式的其他元素对应相等，只有一行（列）不同时，可以相加，相加时其他元素不变，不同元素的行（列）对应相加即可；
补充：
- 单行可加性 -> 行列式中对应的行不一样、其他的每一行都完全一样 -> 此时才可以加；
举例：二阶行列式时
- ∣a1a2b1b2∣+∣a1a2c1c2∣=∣a1a2c1+b1c2+b2∣\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1&a_2\\c_1&c_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\c_1+b_1&c_2+b_2\end{vmatrix}a1b1a2b2+a1c1a2c2=a1c1+b1a2c2+b2
注意：
- 显然，由此性质可知：∣A∣+∣B∣≠∣A+B∣|A|+|B|\neq|A+B|∣A∣+∣B∣=∣A+B∣

2.5.5 性质五：互换#

性质五：行列式中，两行（列）互换，行列式变号

几何意义：
- 比如在二阶行列式中，所画的平行四边形、两边顺序互换，得到的面积因此相反；
注意：
- 此性质被称之为“互换”性质；
- 互换时，如果互换偶数次 -> 值不变；换奇数次 -> 值变号；

2.5.6 性质六#

性质六：行列式中的两行 (列) 元素相等或对应成比例，则行列式为零

举例：
- ∣1224∣=0\vert\begin{matrix}1&2\\2&4\end{matrix}\vert=0∣1224∣=0
解释：
- 如果有两行元素完全相同或者成比例，则此行列式为零；
几何含义：
- 二阶行列式中，两向量平行；
注意：
- 负方向也可以平行；

2.5.7 性质七：倍加#

性质七：行列式中某行 (列)的 k 倍加到另一行 (列)，行列式不变

举例：
- 把 ∣1223∣\left|\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right|1223 中的 ∣12∣|1\quad 2|∣12∣ 的 -2 倍加到 ∣23∣|2\quad 3|∣23∣ 中
- 即：(1,2)*-2=(-2,-4) 加到 ∣23∣|2\quad 3|∣23∣ 中 -> |0，-1| -> 即得到 ∣120−1∣\left|\begin{matrix}1&2\\0&-1\end{matrix}\right|102−1
- 且 ∣120−1∣\left|\begin{matrix}1&2\\0&-1\end{matrix}\right|102−1 = ∣1223∣\left|\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right|1223
解释：
- 此性质称之为“倍加”性质 -> 讲某一行倍乘之后，加到另一行上；
作用：
- 把行列式中的 0 化出来 -> 即是为了化简；

2.6 几个重要的行列式#

2.6.1 主对角线行列式#

定义： #主对角线行列式#

描述： ∣a11a12⋯a1n0a22⋯a2n⋮⋮⋮00⋯ann∣=∣a110⋯0a21a22⋯0⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=∣a110⋯00a22⋯0⋮⋮⋮00⋯ann∣=∏i=1naii.\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&0&\cdots&0\\0&a_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\prod_{i=1}^na_{ii}.a110⋮0a12a22⋮0⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋯00⋮ann=a110⋮00a22⋮0⋯⋯⋯00⋮ann=∏i=1naii.

解释：上 (下)三角形行列式

结果等于主对角线元素连乘；

2.6.2 副对角线行列式#

定义： #副对角线行列式#

描述： ∣a11a12⋯a1,n−1a1na21a22⋯a2,n−10⋮⋮⋮⋮an10⋯00∣=∣0⋯0a1n0⋯a2,n−1a2n⋮⋮⋮an1⋯an,n−1ann∣=∣0⋯0a1n0⋯a2,n−10⋮⋮⋮an1⋯00∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an1.\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&0&\cdots&0&0\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2,n-1}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&\cdots&0&a_{1n}\\0&\cdots&a_{2,n-1}&0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&0&0\end{vmatrix}\\&=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}.\end{aligned}a11a21⋮an1a12a22⋮0⋯⋯⋯a1,n−1a2,n−1⋮0a1n0⋮0=00⋮an1⋯⋯⋯0a2,n−1⋮an,n−1a1na2n⋮ann=00⋮an1⋯⋯⋯0a2,n−1⋮0a1n0⋮0=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1.

解释

结果等于副对角线元素连乘再乘上逆序数；

2.6.3 拉普拉斯展开式#

定义： #拉普拉斯展开式#

描述：设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣,∣OABO∣=∣CABO∣=∣OABC∣=(−1)mn∣A∣∣B∣.\begin{gathered} 设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则 \\ \begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|, \\ \\ \begin{vmatrix}\boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{C}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{C}\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|. \end{gathered}设A为m阶矩阵,B为n阶矩阵,则AOOB=AOCB=ACOB=∣A∣∣B∣,OBAO=CBAO=OBAC=(−1)mn∣A∣∣B∣.

解释

分块阵的行列式：∣AOOB∣\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}AOOB
- 这里面的 A、B、0 都是矩阵；
- 用若干条横线和若干条竖线，把一个矩阵分成若干个子矩阵，分出来的子矩阵就是原矩阵的分块，我们称这样的矩阵表达的方法叫做分块儿矩阵；
- 比如：A 可以是一个三阶矩阵 A3∗3A_{3*3}A3∗3，B 可以是一个二阶矩阵 B2∗2B_{2*2}B2∗2 ，因此 ∣AOOB∣\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}AOOB 是一个五阶矩阵；
分块阵的含义：
- 把矩阵、从数的角度广义化；
分析：
- ∣AOOB∣=∣ACOB∣=∣AOCB∣=∣A∣∣B∣\begin{vmatrix}A&O\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&C\\O&B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A&O\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|AOOB=AOCB=ACOB=∣A∣∣B∣ <- 它的结论可以理解成主对角线的结论；
- ∣OABO∣=∣CABO∣=∣OABC∣=(−1)mn∣A∣∣B∣\begin{vmatrix}\boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{C}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{O}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\\boldsymbol{B}&\boldsymbol{C}\end{vmatrix}=(-1)^{mn}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|OBAO=CBAO=OBAC=(−1)mn∣A∣∣B∣ <- 它的结论可以理解成副对角线的形式的结论，mn 就是换了多少次；

2.6.4 范德蒙德行列式#

定义： #范德蒙德行列式#

描述： ∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi),n≥2.\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i),n\geq2.1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1=∏1≤i<j≤n(xj−xi),n≥2.

解释

分析：三阶范德蒙德行列式 -> V3=∣111x1x2x3x12x22x32∣V_{3}=\begin{vmatrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\end{vmatrix}V3=1x1x121x2x221x3x32
计算方法：三阶时
- 不管是几行，总是往当中第二行看；
- 计算：(x3−x2)(x3−x1).(x2−x1){(x_{3}-x_{2})(x_{3}-x_{1}).}{(x_{2}-x_{1})}(x3−x2)(x3−x1).(x2−x1) //“高年级欺负低年级”
注意：
- 最后一行的次数是阶数减一，因为次数是从 0 开始数的；
举例：
- ∣1aa21bb21cc2∣=∣111abc2a2b2c2∣=\begin{vmatrix}1&a&a^{2}\\1&b&b^{2}\\1&c&c^{2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c^{2}\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{vmatrix}=111abca2b2c2=1aa21bb21c2c2=

Lecture 3：行列式的计算

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

分类：按照考题的角度

1. 有规律的行列式：
- n 阶，n 可能很大，因为有规律、所以可以解决，都可以使用公式解决；
1. 无规律的行列式：
- 都是以三阶为主，偶尔有四阶；
- 使用性质、将其化成 12+1 种类型；

3.1 具体性行列式的计算#

方法：三种方法

几何：几乎不行
性质：性质 1-7
逆序数法：一般是用于研究某一项用的
展开公式：
- 准备工作：
  - -> 使用性质、将行列式尽可能多的展开多的 0；
  - -> 使用性质、使得行列式能够化成基本型，此时就可以直接写答案了
    - 找基本型的思路：1. 找差别不大的行来换 2. 找规律；
- 展开
归纳法/递推法；

3.1.1 化为基本型#

3.1.1.1 爪形与行和相等#

思路：把行列式化成基本型

方法：
- 如果符合形式，则直接使用方法（比如爪形行列式的形式）
- 如果不符合形式，则找差别不大的行来换；

概念：爪形行列式

化型 -> 类似于三角行列式；
思路：用斜的爪子，去消掉平的爪子；
解释：
- 适用性质七：倍加的性质，将主或者副对角线上的元素，通过倍加的方式，消掉竖（横）的爪子上的数，进而化成三角行列式；

定义： #行和相等的行列式#

描述： Dn=∣abb⋯bbab⋯bbba⋯b⋮⋮⋮⋮bbb⋯a∣Dn=(a+(n−1)b)∣1bb⋯b1ab⋯b⋮⋮⋮1bb⋯a∣=[a+(n−b)b](a−b)n−1D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\\b&a&b&\cdots&b\\b&b&a&\cdots&b\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}\quad\quad\quad\quad D_{n}=(a+(n-1)b)\begin{vmatrix}1&b&b\cdots b\\1&a&b\cdots b\\\vdots&\vdots&\vdots\\1&b&b\cdots a\end{vmatrix}=[a+(n-b)b](a-b)^{n-1}Dn=abb⋮bbab⋮bbba⋮b⋯⋯⋯⋯bbb⋮aDn=(a+(n−1)b)11⋮1ba⋮bb⋯bb⋯b⋮b⋯a=[a+(n−b)b](a−b)n−1

解释

证明过程：
- 第一步：因为行和相等，所以把所有列都加到第一列；
- 第二步：提出公因式部分 [a+(n-1)b]
- 第三步：将每列加 -1 倍至每列；
- 第四步：计算结果，得到 Dn=[a+(n−1)b](a−b)n−1D_n=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}Dn=[a+(n−1)b](a−b)n−1

补充一

行列式：
- 当a=0,b=1时,∣011⋯1101⋯1110⋯1⋮⋮⋮⋮111⋯0∣n×n=(n−1)(−1)n−1当a=0,b=1时,\begin{vmatrix}0&1&1&\cdots&1\\1&0&1&\cdots&1\\1&1&0&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&1&1&\cdots&0\end{vmatrix}_{n\times n}=(n-1)(-1)^{n-1}当a=0,b=1时,011⋮1101⋮1110⋮1⋯⋯⋯⋯111⋮0n×n=(n−1)(−1)n−1
解释：
- 主对角线都是 0，其他都是 1 <- 把 行和相等的行列式 中的 a 取为 0，b 取为 1 ，代入 [a+(n−b)b](a−b)n−1[a+(n-b)b](a-b)^{n-1}[a+(n−b)b](a−b)n−1 即可算出；

补充二

行列式：
- 当a=2,b=1时,∣211⋯1121⋯1112⋯1⋮⋮⋮⋮111⋯2∣=n+1.当a=2,b=1时,\begin{vmatrix}2&1&1&\cdots&1\\1&2&1&\cdots&1\\1&1&2&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&1&1&\cdots&2\end{vmatrix}=n+1.当a=2,b=1时,211⋮1121⋮1112⋮1⋯⋯⋯⋯111⋮2=n+1.

补充三：当 a 在副对角线时

行列式：
- Gn=∣bb⋯babb⋯ab⋮⋮⋮⋮ba⋯bbab⋯bb∣=(−1)n(n−1)2∣ab⋯bbba⋯bb⋮⋮⋮⋮bb⋯abbb⋯ba∣=(−1)n(n−1)2[a+(n−1)b](a−b)n−1G_n=\begin{vmatrix}b&b&\cdots&b&a\\b&b&\cdots&a&b\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\b&a&\cdots&b&b\\a&b&\cdots&b&b\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b&b\\b&a&\cdots&b&b\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\b&b&\cdots&a&b\\b&b&\cdots&b&a\end{vmatrix}=\left(-1\right)^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\left[a+\left(n-1\right)b\right]\left(a-b\right)^{n-1}Gn=bb⋮babb⋮ab⋯⋯⋯⋯ba⋮bbab⋮bb=(−1)2n(n−1)ab⋮bbba⋮bb⋯⋯⋯⋯bb⋮abbb⋮ba=(−1)2n(n−1)[a+(n−1)b](a−b)n−1

3.1.1.2 X 型#

举例

行列式：
- D4=∣a100b10a2b200b3a30b400a4∣=(a1a4−b1b4)(a2a3−b2b3).D_4=\begin{vmatrix}a_1&0&0&b_1\\0&a_2&b_2&0\\0&b_3&a_3&0\\b_4&0&0&a_4\end{vmatrix}=(a_{1}a_{4}-b_{1}b_{4})(a_{2}a_{3}-b_{2}b_{3}).D4=a100b40a2b300b2a30b100a4=(a1a4−b1b4)(a2a3−b2b3).
分析：
- 先换行、列，将所有的 0 凑在一起，然后使用拉普拉斯展开式

3.1.1.3 范德蒙德型#

举例

∣abca2b2c2b+ca+ca+b∣=(a+b+c)∣111abca2b2c2∣=(a+b+c)(c−a)(c−b)(b−a)\begin{vmatrix}a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&a+c&a+b\end{vmatrix}=\left(a+b+c\right)\left|\begin{matrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{matrix}\right|=\left(a+b+c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(b-a\right)aa2b+cbb2a+ccc2a+b=(a+b+c)1aa21bb21cc2=(a+b+c)(c−a)(c−b)(b−a)
使用性质，将其化成范德蒙德型

3.1.2 递推法#

概念：递推法和归纳法

关系：
- 递推法和归纳法是两种不同的方向；
- 递推法是从 n 阶开始往下推，推到 n-1、n-2
- 归纳法是从 1 阶开始找到规律、往上推，推到 n-1、n
基本思路：
- 1. 元素的分布规律相同；
- 1. Dn−1D_{n-1}Dn−1 比 DnD_nDn 少一阶；

举例：宽对角行列式

行列式：递推
- D4=∣1−aa00−11−aa00−11−aa00−11−a∣=(−1)4+1⋅(−a)⋅a3+D3=a4+(−a3)+D2=a4+(−a3)+a2+D1=a4−a3+a2−a+1D_4=\begin{vmatrix}1-a&a&0&0\\-1&1-a&a&0\\0&-1&1-a&a\\0&0&-1&1-a\end{vmatrix}=(-1)^{4+1}\cdot(-a)\cdot a^{3}+D_{3}=a^{4}+\left(-a^{3}\right)+D_{2}=a^{4}+(-a^{3})+a^{2}+D_{1}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a+1D4=1−a−100a1−a−100a1−a−100a1−a=(−1)4+1⋅(−a)⋅a3+D3=a4+(−a3)+D2=a4+(−a3)+a2+D1=a4−a3+a2−a+1
分析：
- 其中上述 D4D_4D4 是计算余子式；
- 上面也可以使用归纳法

3.1.3 行列式表示的函数和方程#

补充：这类问题的行列式元素 aija_{ij}aij 往往不是具体数值，而是含 xxx 或 λ\lambdaλ 等的函数，可能会在计算之外给考生带来新的困难和麻烦，自然也会给命题人带来新的角度，需要重视对此类问题的研究；

举例

题目：设f(x)=∣10x12x213x3∣,求f(x+1)−f(x)设f\left(x\right)=\begin{vmatrix}1&0&x\\1&2&x^{2}\\1&3&x^{3}\end{vmatrix},求f\left(x+1\right)-f\left(x\right)设f(x)=111023xx2x3,求f(x+1)−f(x)
分析：f(x+1)−f(x)=∣10x+112(x+1)213(x+1)3∣−∣10x12x413x3∣=∣101122x+1133x2+3x+1∣=∣100120133x2∣=6x2f(x+1)-f(x)=\left|\begin{matrix}1&0&x+1\\1&2&(x+1)^{2}\\1&3&(x+1)^{3}\end{matrix}\right|-\left|\begin{matrix}1&0&x\\1&2&x^{4}\\1&3&x^{3}\end{matrix}\right|=\left.\left|\begin{matrix}1&0&1\\1&2&2x+1\\1&3&3x^{2}+3x+1\end{matrix}\right.\right|=\left|\begin{matrix}1&0&0\\1&2&0\\1&3&3x^{2}\end{matrix}\right|=6x^2f(x+1)−f(x)=111023x+1(x+1)2(x+1)3−111023xx4x3=11102312x+13x2+3x+1=111023003x2=6x2

举例

题目：设方程∣λ−1−231λ−43−1aλ−5∣=0有二重根，求参数a的值设方程\begin{vmatrix}\lambda-1&-2&3\\1&\lambda-4&3\\-1&a&\lambda-5\end{vmatrix}=0有二重根，求参数a的值设方程λ−11−1−2λ−4a33λ−5=0有二重根，求参数a的值
分析：这是一个关于 f(λ)f(\lambda)f(λ) 的表达式，且因为主对角线上有 λ\lambdaλ，所以肯定有一个关于 λ\lambdaλ 的三次方
解析：
- 求行列式： f(λ)=∣λ−2−λ+201λ−43−1aλ−5∣=∣λ−2001λ−33−1a−1λ−5∣=(λ−2)∣λ−33a−1λ−5∣=(λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0f\left(\lambda\right)=\left|\begin{matrix}\lambda-2&-\lambda+2&0\\1&\lambda-4&3\\-1&a&\lambda-5\end{matrix}\right|=\begin{vmatrix}\lambda-2&0&0\\1&\lambda-3&3\\-1&a-1&\lambda-5\end{vmatrix}=\left(\lambda-2\right)\left|\begin{matrix}\lambda-3&3\\a-1&\lambda-5\end{matrix}\right|=(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)=0f(λ)=λ−21−1−λ+2λ−4a03λ−5=λ−21−10λ−3a−103λ−5=(λ−2)λ−3a−13λ−5=(λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0
- 讨论二重根：在 (λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)=0(λ−2)(λ2−8λ+18−3a)=0 种
  - 1. 如果 λ=2\lambda =2λ=2 是二重根：(λ2−8λ+18−3a)∣λ=2=0(\lambda^{2}-8\lambda+18-3a)|_{\lambda=2}=0(λ2−8λ+18−3a)∣λ=2=0 -> 4−16+18−39=04-16+18-39=04−16+18−39=0，所以 a=2
  - 1. 如果 λ=2\lambda =2λ=2 不是二重根：讨论 Δ=0\Delta=0Δ=0 ，求出 a=23a=\frac{2}{3}a=32 所以 λ=4\lambda =4λ=4

3.2 抽象型行列式的计算#

核心：方法

1. 用性质；
1. 用公式 ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣
- 先用 B 对 C 做一个变换，然后再用 A 对 BC 做一个变换：ABC
- 其结果等于分别的两个测度变化的结果

3.2.1 抽象型：一般方法 - 利用性质凑#

例题：已知4阶行列式∣α1,α2,α3,β∣=a,∣β+γ,α2,α3,α1∣=b,则∣α2+α3,α1,α3,γ∣=\text{已知4阶行列式}|\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta|=a,|\beta+\gamma,\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{1}|=b,则|\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{1},\alpha_{3},\gamma|=已知4阶行列式∣α1,α2,α3,β∣=a,∣β+γ,α2,α3,α1∣=b,则∣α2+α3,α1,α3,γ∣=

分析：什么是抽象型：其中的元素是抽象的符号，不知道其具体的值；
解析：如何求
- 从抽象的行求抽象的行；
- 利用行列式计算的性质，凑出来目标；

3.2.2 抽象性：点积法#

核心：凑出来两个方的矩阵相乘，行列式就等于 ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣

例题：设α1,α2,α3均为3维列向量,已知设\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3均为3维列向量,已知设α1,α2,α3均为3维列向量,已知：A=[α1,α2,α3],B=[α1−α2+2α3,2α1+3α2−5α3,α1+2α2−α3],且∣A∣=2,则∣B−A∣=A=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}],B=[\alpha_{1}-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+3\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}],\text{且}|A|=2,\text{则}|B-A|=A=[α1,α2,α3],B=[α1−α2+2α3,2α1+3α2−5α3,α1+2α2−α3],且∣A∣=2,则∣B−A∣=

知识点
- 虽然其中的 α1\alpha_1α1 是一个三维向量，但是只要是用一个符号 α1\alpha_1α1 来表示它，此时它就作为一个整体而存在 -> 本质上它是一个分块阵，只要一个矩阵分成一个分块阵，此时这个分块阵就把其当成元素来看待；
- 结论：分块阵当作元素进行计算；
解析
- B−A=(−α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−2α3)B-A=(-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-2\alpha_{3})B−A=(−α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−2α3)
  - (α1,α2,α3)(021−12225−2)←(α1,α2,α3)(0−12)(22−5)(12−2)(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right) \leftarrow (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0\\-1\\2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\\-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\\-2\end{matrix}\right)(α1,α2,α3)0−1222512−2←(α1,α2,α3)0−1222−512−2
- 其中的 (α1,α2,α3)(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})(α1,α2,α3) 为基准，因此计算其基于基准的表示：
  - 0α1−α2+2α3=[α1,α2,α3][0−12],2α1+2α2−5α3=[α1,α2,α3][22−5],a1+2a2−2a3=[a1,a2,a3][12−2]0\alpha_{1}-\alpha_{2}+2\alpha_{3}=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}]\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3}=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}]\begin{bmatrix}2\\2\\-5\end{bmatrix},a_{1}+2a_{2}-2a_{3}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]\left[\begin{matrix}1\\2\\-2\end{matrix}\right]0α1−α2+2α3=[α1,α2,α3]0−12,2α1+2α2−5α3=[α1,α2,α3]22−5,a1+2a2−2a3=[a1,a2,a3]12−2
- 得到： B−A=(−α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−2α3)B-A=(-\alpha_{2}+2\alpha_{3},2\alpha_{1}+2\alpha_{2}-5\alpha_{3},\alpha_{1}+2\alpha_{2}-2\alpha_{3})B−A=(−α2+2α3,2α1+2α2−5α3,α1+2α2−2α3) d 的计算结果就是：(α1,α2,α3)(021−12225−2)(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})\left(\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right)(α1,α2,α3)0−1222512−2
  - 所以 ∣B−A∣=∣A∣∣021−12225−2∣|B-A|=|A|\left|\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right|∣B−A∣=∣A∣0−1222512−2
- 计算结果： ∣B−A∣=∣A∣∣021−12225−2∣=2∗5=10|B-A|=|A|\left|\begin{matrix}0&2&1\\-1&2&2\\2&5&-2\end{matrix}\right|=2*5=10∣B−A∣=∣A∣0−1222512−2=2∗5=10

3.2.3 余子式和代数余子式的线性组合计算#

定理： #余子式和代数余子式的线性组合计算#

描述：由 ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∣∗ai1ai2⋯ain∗∣a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\begin{vmatrix}*\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\*&\end{vmatrix}ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∗ai1∗ai2⋯ain 则 k1Ai1+k2Ai2+⋯+knAin=∣∗k1k2⋯kn∗∣k_{1}A_{i1}+k_{2}A_{i2}+\cdots+k_{n}A_{in}=\begin{vmatrix}&&*&&\\k_{1}&&k_{2}&\cdots&k_{n}\\&&*&&\end{vmatrix}k1Ai1+k2Ai2+⋯+knAin=k1∗k2∗⋯kn

解释

解释：
- 展开式法：
  - 本质上是一种降阶的运算；
  - 任何一个行列式的计算，可以为其某一行（列）的展开：∣ai1⋯ain∣=ai1Ai1+⋯+ainAin|a_{i_{1}}\cdots a_{i_{n}}|=a_{i_{1}}A_{i_{1}}+\cdots+a_{i_{n}}A_{i_{n}}∣ai1⋯ain∣=ai1Ai1+⋯+ainAin
- 代数余子式的线性组合：
  - 本质上就是展开式法的逆过程；
  - 举例：A11−2A12+A13=M11+2M12+M13A_{{11}}-2A_{{12}}+A_{{13}}=M_{11}+2M_{12}+M_{13}A11−2A12+A13=M11+2M12+M13
    - 因为 Mij=(−1)i+jAjM_{ij}=(-1)^{i+j}A_{j}Mij=(−1)i+jAj
方法：
- 核心：
  - 大 A 配小 a，逆用展开式；
  - 大 A 配小 k，k 把小 a 吃；
- 举例：已知 ∣A∣=∣1−21100010∣|A|=\begin{vmatrix}1&-2&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}∣A∣=110−201100，则求 A11−2A12+A13A_{11}-2A_{12}+A_{13}A11−2A12+A13
  - 由 A 知道：按第一行展开：∣A∣=1⋅A11+(−2)A12+1A13=1|A|=1\cdot A_{11}+(-2)A_{12}+1A_{13}=1∣A∣=1⋅A11+(−2)A12+1A13=1

3.3 克拉默法则#

定理： #克拉默法则#

描述：对个方程 n 个未知数 (这是前提)的非齐次线性方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n},\end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn, 若系数行列式 D=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣≠0D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0D=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=0 则方程组右唯一解，且解为：xi=DiD,i=1,2,⋯ ,nx_{i}=\frac{D_{i}}{D},i=1,2,\cdots,nxi=DDi,i=1,2,⋯,n，其中 Di是由常数项b1,b2,⋯ ,bn替换D 中第 i列元素得到的行列式D_i\text{是由常数项}b_1,b_2,\cdots,b_n\text{替换}D\text{ 中第 }i\text{列元素得到的行列式}Di是由常数项b1,b2,⋯,bn替换D 中第 i列元素得到的行列式

解释

要求：
- 必须得是方形的矩阵，而且对系数有要求，所以难用；
举例：
- {x1−2x2+x3=1x1+0x2+0x3=20x1+x2+0x3=5\begin{cases}x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=2\\0x_{1}+x_{2}+0x_{3}=5\end{cases}⎩⎨⎧x1−2x2+x3=1x1+0x2+0x3=20x1+x2+0x3=5
- 若行列式：∣A∣=∣1−2100010∣≠0|A|=|\begin{smallmatrix}1&-2&1\\0&0&0\\1&0\end{smallmatrix}|\neq0∣A∣=∣101−20010∣=0 不等于 0，则其解为 xi=DiD,i=1,2,⋯ ,nx_{i}=\frac{D_{i}}{D},i=1,2,\cdots,nxi=DDi,i=1,2,⋯,n
- 则 x1=D1D=∣1−21200510∣1x_{1}=\frac{D_{1}}{D}=\frac{\left|\begin{matrix}1&-2&1\\2&0&0\\5&1&0\end{matrix}\right|}{1}x1=DD1=1125−201100 （第一列换成自由项，第二列第三列不变）
- 算 x2x_2x2 也类似，把第二列换成自由项；同理第三列；
- 所以 x1x2x3x_1x_2x_3x1x2x3 分别为 2、5、9
作用：
- 克拉默法则提供了一个流程化的解法；

定理： #齐次时克拉默法则#

描述：齐次时：{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0,\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\\cdots\cdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=0,\end{cases}⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0, 若D≠0,则齐次方程组只有零解;若D=0,则齐次方程组有非零解若D\neq0,则齐次方程组只有零解;若D=0,则齐次方程组有非零解若D=0,则齐次方程组只有零解;若D=0,则齐次方程组有非零解

解释

Lecture 10：矩阵的秩

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

10.1 秩的定义#

定义： #矩阵的秩#

描述：设 A 是 m∗nm*nm∗n 的矩阵，若存在 k 阶子式不为零，且任意 k+1 阶子式（如果有的话）全为零，则 r(A)=k，且若 A 为 n*n 矩阵，则得到：r(An×n)=n⇔∣A∣≠0⇔A可逆r\left(A_{n\times n}\right)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\text{可逆}r(An×n)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆

解释

子式：
- 子式一定是行列式；
k 阶子式：
- 当矩阵为 (123456)\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\end{matrix}\right)(142536) 时，其 k=2 的二阶子式为 ∣1346∣\left|\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right|1436
- 其一共有三个二阶子式；
意义：若存在 k 阶子式不为零，且任意 k+1 阶子式（如果有的话）全为零
- 假设当前为 k=2 二阶情况下，此时其二阶子式因为表示行列式 -> 面积；
- 当其不为零时，向量之间互相都不能表示 -> k 个线性无关向量；
意义：r(A)=k
- 存在 k 个无关向量；
- 任意 k+1 个向量都相关；
- 此时 r(A)=k 就是组成矩阵线性无关的向量的个数；

补充：秩的几何含义

意义：
- 秩，代表经过 A 矩阵的变换后，变换后的空间的维数；
- 变换后的基向量张成的空间，就是所有可能的变换结果 -> 即：变换后的基向量，其所张成的空间的维数；
举例：
- 当出现 3*2 的矩阵 A3∗2A_{3*2}A3∗2 时，其表示将一个二维的图形映射到三维的空间中；因为 A 有两个基向量，并且这两个基向量现在是三维的 [x,y,z]；
- 当出现 2*3 的矩阵 A3∗2A_{3*2}A3∗2 时，其表示将一个三维的图形映射到二维的空间中；因为 A 有三个基向量，并且这三个基向量现在是二维的 [x,y] 基向量；

10.2 求矩阵的秩#

方法：求矩阵的秩

将 A 用初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行数便为 A 的秩；

方法：求矩阵的秩 - 举例

题目：若 [12−1120t00−45−2]\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&0&t&0\\0&-4&5&-2\end{bmatrix}12020−4−1t510−2 的秩为 2，则求 t
分析：
- A→(12−110−4t+2−20−45−2)→(12−10−4t+2−2003−t0)A\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1&1\\0&-4&t+2&-2\\0&-4&5&-2\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-4&t+2&-2\\0&0&3-t&0\end{matrix}\right)A→1002−4−4−1t+251−2−2→1002−40−1t+23−t−20
- 此时已经是一个行阶梯形矩阵了；
- 并且因为矩阵秩是 2，所以下面的都是 0 行，所以 3-t=0
- 所以 t=3

10.3 有关秩的几个重要式子#

概念：设 A 是 m*n 矩阵，B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则：

（1）10⩽r(A)⩽min⁡{m,n}({1}0\leqslant r(A)\leqslant\min\{m,n\}(10⩽r(A)⩽min{m,n}( 由定义 )
- 任何一个矩阵的秩最低为 0，并且 r(a)=0 则矩阵一定等于 0：A=0
- 并且 r(A)⩽min⁡{m,n}r(A)\leqslant\min\{m,n\}r(A)⩽min{m,n} <- 因为行列式是方的，而矩阵的子式是行列式，所以必须为 n*n
（2）2r(kA)=r(A)(k≠0)({2}r(kA)=r(A)(k\neq0)(2r(kA)=r(A)(k=0)( 由定义 )
（3）r(AB)⩽min⁡{r(A),r(B)}r\left(AB\right)\leqslant\min\left\{r\left(A\right),r\left(B\right)\right\}r(AB)⩽min{r(A),r(B)}
- 矩阵越乘，秩序=越多越的‘‘’’
（4）r(A+B)<=r(A)+r(B)r(A+B)<=r(A)+r(B)r(A+B)<=r(A)+r(B)
（5）r(A∗)={n,r(A)=n,1,r(A)=n−1,0,r(A)<n−1,r\left(A^{*}\right)=\begin{cases}n,&r\left(A\right)=n,\\1,&r\left(A\right)=n-1,\\0,&r\left(A\right)<n-1,\end{cases}r(A∗)=⎩⎨⎧n,1,0,r(A)=n,r(A)=n−1,r(A)<n−1,
（6）设 A= m*n 的矩阵，P、Q 分别为 m 阶、n 阶的可逆矩阵，则：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
- 在过程当中，所有中间矩阵都是等价的：r(Er000)r\left(\begin{matrix}E_{r}&0\\0&0\end{matrix}\right)r(Er000)
（7）若 Am×nBm×s=O,则r(A)+r(B)⩽nA_{m\times n}B_{m\times s}=O,则r\left(A\right)+r\left(B\right)\leqslant nAm×nBm×s=O,则r(A)+r(B)⩽n；
- n 为 A 的列数；
（8）格拉姆矩阵：r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)r\left(A\right)=r\left(A^{T}\right)=r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)
- r(ATA)=r(AAT)r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)r(ATA)=r(AAT) 一定有解，并且一定是最佳近似解；
- 对于任何一个矩阵，其转置的秩等于其 r(ATA)=r(AAT)r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)r(ATA)=r(AAT)；

Lecture 4：矩阵的定义及其基本运算

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

4.1 矩阵的本质#

4.1.1 矩阵概念#

引入：矩阵的作用 -> 表达系统信息；

核心：任何一个矩阵，最后都可以用基向量来表示，矩阵中的信息都是可以用基向量表达出来的；

概念：什么是矩阵

概念：
- 列：
  - 代表变换的基向量的个数；
- 行：
  - 代表变换后空间的维数；
意义：
- 从线性变换的角度，假设现在有一个三维方阵矩阵 A3∗3A_{3*3}A3∗3，此时 A 矩阵的三个列就代表了：在进行线性变换 Ax=b 当中，对三个基向量的变换；
举例：如果当前是 3*2 的矩阵，即当前矩阵有三行、两列；
- 两列：也就是有两个基向量，也就是一个二维的平面；
- 三行：代表这两个基向量有 [x,y,z] 这三个维度；
- 乘以三行两列，也就代表：
  - 将两个基向量映射到三维的空间中，因此变换构成了三维空间中的二维平面；
  - 当出现 3*2 的矩阵 A3∗2A_{3*2}A3∗2 时，其表示将一个二维的图形映射到三维的空间中；因为 A 有两个基向量，并且这两个基向量现在是三维的 [x,y,z]；
举例：如果当前是 2*3 的矩阵，即当前矩阵有两行、三列
- 当出现 2*3 的矩阵 A3∗2A_{3*2}A3∗2 时，其表示将一个三维的图形映射到二维的空间中；因为 A 有三个基向量，并且这三个基向量现在是二维的 [x,y] 基向量；

概念：矩阵和行列式分别的乘积

矩阵：表示系统信息的乘积，作用在每一个系统信息上
- k⋅A=(ka11ka12ka21ka22)\left.k\cdot A=\left(\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\end{matrix}\right.\right)k⋅A=(ka11ka21ka12ka22)
行列式：表示对一个测度（比如一个平行四边形的某个维度）进行乘积
- k∣A∣=∣ka11ka12a21a22∣k|A|=\left|\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}\right|k∣A∣=ka11a21ka12a22
公式：
- ∣kA∣=kn⋅∣A∣|kA|=k^{n}\cdot|A|∣kA∣=kn⋅∣A∣

概念：矩阵信息表达中、数据和数据之间的关系

引入：
- 矩阵不一定是方形的，可能是 1000*2 或者 2*1000；
Gram 矩阵
- 对于 A=(ab)A=(\begin{matrix}a\\b\end{matrix})A=(ab) ，AT=(ab)A^T=(a\quad b)AT=(ab) ATA=(ab)(ab)=αT⋅α=∣∣α∣∣2=∣∣α∣∣2∗cos⁡0A^{T}A=(ab)(\begin{matrix}a\\b\end{matrix})=\alpha^{T}\cdot\alpha=||\alpha||^{2}=||\alpha||^{2}*\cos 0ATA=(ab)(ab)=αT⋅α=∣∣α∣∣2=∣∣α∣∣2∗cos0
作用：
- 如果只是给了你一个 A=(α1α2)A=(\alpha_1\quad \alpha_2)A=(α1α2) 的矩阵，其实并不知道其中 α1α2\alpha_1\quad \alpha_2α1α2 之间的关系；但是可以通过将 AAA 乘以其转置矩阵的方式，得到其中更多的信息：
- ATA=(α1Tα2T)(α1α2)=k⋅A=(∣∣α1∣∣∣∣α1∣∣∗cos⁡θ11∣∣α1∣∣∣∣α2∣∣∗cos⁡θ12∣∣α2∣∣∣∣α1∣∣∗cos⁡θ21∣∣α2∣∣∣∣α2∣∣∗cos⁡θ22)A^{T}A=\left(\begin{matrix}\alpha_{1}^{T}\\\alpha_{2}^{T}\end{matrix}\right)\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left.k\cdot A=\left(\begin{matrix}||\alpha_1||||\alpha_1||*\cos \theta_{11}&||\alpha_1||||\alpha_2||*\cos \theta_{12}\\||\alpha_2||||\alpha_1||*\cos \theta_{21}&||\alpha_2||||\alpha_2||*\cos \theta_{22}\end{matrix}\right.\right)ATA=(α1Tα2T)(α1α2)=k⋅A=(∣∣α1∣∣∣∣α1∣∣∗cosθ11∣∣α2∣∣∣∣α1∣∣∗cosθ21∣∣α1∣∣∣∣α2∣∣∗cosθ12∣∣α2∣∣∣∣α2∣∣∗cosθ22)
- 在这里面可以得到数据之间的相似度；
概念：
- 矩阵不能运算，但是其若干行 (列) 向量之间可能存在着某种关系

重要观点 1：矩阵也是由若干行 (列) 向量拼成的

上面那个矩阵可以看作由三个行向量：[1,2,3],[4,6,9],[2,4,6][1,2,3],[4,6,9],[2,4,6][1,2,3],[4,6,9],[2,4,6] 组成，也可以看作是三个列向量组成：[1,6,2]T,[2,7,4]T与[3,9,6]T[1,6,2]^{\mathrm{T}},[2,7,4]^{\mathrm{T}}与[3,9,6]^{\mathrm{T}}[1,6,2]T,[2,7,4]T与[3,9,6]T

定义： #矩阵的秩#

描述：设 AAA 是 m∗nm*nm∗n 矩阵，AAA 中最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记为 r(A)r(A)r(A) 也可以这样定义：若存在 kkk 阶子式不为零，而任意 k+1k+1k+1 阶子式 (如果有的话) 全为零，则 r(A)=kr(A)=kr(A)=k，且： r(An×n)=n⇔∣A∣≠0⇔A可逆r\left(A_{n\times n}\right)=n\Leftrightarrow\left|A\right|\neq0\Leftrightarrow A\text{可逆}r(An×n)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆即：矩阵秩的本质，就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数

概念

解释：
- 如果一个向量，可以找到其基准向量、其所有内容可以使用基准向量表示出来；
- 基准向量当中成员的个数，就是矩阵的秩；
意义：
- 比如秩为 1：
- 这个矩阵所形成的一个世界是一维的；
- 一维不仅是一个 x 轴；

4.1.2 矩阵和行列式区别#

1、行列式的本质是线性变换的放大率，而矩阵的本质就是个数表。 2、行列式行数=列数，矩阵不一定（行数列数都等于n的叫n阶方阵），二者的表示方式亦有区别。 3、行列式与矩阵的运算明显不同（1）相等：只有两个同型的矩阵才有可能相等，并且要求对应元素都相等；而两个行列式相等不要求其对应元素都相等，甚至阶数还可以不一样，只要两个行列式作为两个数的值是相等即可。（2）加（减）法：两个矩阵相加（减）是将其对应元素相加（减），因此只有同型的矩阵才可以相加（减）；而两行列式作为两个数总是可以相加（减）的。（3）数乘运算：一个数乘以矩阵是指该数乘以矩阵的每一个元素；而数乘行列式，只能用此数乘行列式的某一行或列，提取公因数也是如此。（4）乘法：矩阵的乘法不满足交换律，所以，一般地， AB≠BA。但是，如果 A与 B 都是 n 阶方阵，则有 |AB|=|A| |B|=|B| |A|=|BA|。

4.2 矩阵的定义#

定义： #矩阵#

描述：由m×n 个数aij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)排成的m行n列的矩形表格\text{由}m\times n\text{ 个数}a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)\text{排成的}m\text{行}n\text{列的矩形表格}由m×n 个数aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)排成的m行n列的矩形表格： [a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn 其称为一个 m×nm\times nm×n 矩阵，简记为 AAA 或 (aij)m×n(i=1,2,⋅⋅⋅,m; j=1,2,⋅⋅⋅,n).\left(a_{ij}\right)_{m\times n}\left(i=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,m;\: j=1,2,\cdotp\cdotp\cdotp,n\right).(aij)m×n(i=1,2,⋅⋅⋅,m;j=1,2,⋅⋅⋅,n). 当 m=nm=nm=n 时，称 AAA 为 nnn 阶方阵；两个矩阵 A=(aij)mxn,B=(bij)sxkA=\left(a_ij\right)_{mxn},\boldsymbol{B}=\left(b_{ij}\right)_{sxk}A=(aij)mxn,B=(bij)sxk，若 m=s,n=km=s,n=km=s,n=k,则称 AAA 与 B\boldsymbol BB 为同型矩阵.

解释

补充：为什么要研究方阵
- 实际情况中，使用矩阵时经常需要使用到非方阵，经常不是方形；
- 但如果要使用逆矩阵等性质时，又必须要基于方阵来求；
- 所以就需要经常使用 AATAA^TAAT 来得到非方阵矩阵的方阵形式；
同型矩阵：
- A 和 B 的行和列数量相等；

4.3 矩阵运算#

分析：如何计算矩阵

1. 先看其是不是 秩 1 矩阵
1. 如果不是 秩 1 矩阵 ，此时可以考虑试算一下其平方或三次方；
- 举例：(0−110)4=(1001)\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\right)^4=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)(01−10)4=(1001) 即单位阵 <- 经过四次运作，变成了单位阵；
1. 如果按照矩阵可以分成合的分解，可以将矩阵进行分解

4.3.1 矩阵基本运算#

运算：相等

A=(aij)m×n=B=(bi)s×k⇔m=S,n=kA=(a_ij)_{m\times n}=B=(b_i)_{s\times k}\Leftrightarrow m=_S,n=kA=(aij)m×n=B=(bi)s×k⇔m=S,n=k
且 aij=bj(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)a_{ij}=b_j(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)aij=bj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n),即 A,BA,BA,B 是同型矩阵，且对应元素相等.

运算：加法

两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即：
C=A+B=(aij)m×n+(bij)m×n=(cij)m×nC=A+B=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}+\left(b_{ij}\right)_{m\times n}=\left(c_{ij}\right)_{m\times n}C=A+B=(aij)m×n+(bij)m×n=(cij)m×n
其中,cij=aij+bij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n), 即对应元素相加\text{其中,}c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n),\text{ 即对应元素相加}其中,cij=aij+bij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n), 即对应元素相加

运算：数乘

每一个元素都需要乘；
kA=Ak=k[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]=[ka11ka12⋯ka1nka21ka22⋯ka2n⋮⋮⋮kam1kam2⋯kamn]=(kaij)m×n\begin{aligned}kA=Ak=&k\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{bmatrix}\\&=\left(ka_{ij}\right)_{m\times n}\end{aligned}kA=Ak=ka11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn=ka11ka21⋮kam1ka12ka22⋮kam2⋯⋯⋯ka1nka2n⋮kamn=(kaij)m×n

运算：运算律 - 数乘/加具有交换律、结合律、分配律

交换律：A+B=B+A;交换律：A+B=B+A;交换律：A+B=B+A;
结合律：(A+B)+C=A+(B+C);结合律：\left(A+B\right)+C=A+\left(B+C\right);结合律：(A+B)+C=A+(B+C);
分配律：k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA分配律：k\left(A+B\right)=kA+kB,\left(k+l\right)A=kA+lA分配律：k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA
数和矩阵相乘的结合律：k(lA)=(kl)A=l(kA).数和矩阵相乘的结合律：k\left(lA\right)=\left(kl\right)A=l\left(kA\right).数和矩阵相乘的结合律：k(lA)=(kl)A=l(kA). 其中，A，B，C 是同型矩阵，k, l 是任意常数

4.3.2 矩阵乘法运算#

定理： #矩阵乘法#

描述：矩阵的乘法设 AAA 是 m×sm\times sm×s 矩阵，BBB 是 s×ns\times ns×n 矩阵 (矩阵 AAA 的列数必须与矩阵 BBB 的行数相等 ), 则 AAA , BBB 可以相乘，乘积 ABABAB 是 m×nm\times nm×n 矩阵，记 C=AB=(cij)m×nC=AB=(c_ij)_{m\times n}C=AB=(cij)m×n CCC 的第 iii 行第 jjj 列元素 cijc_{ij}cij 是 AAA 的第 iii 行的 s 个元素与 BBB 的第 jjj 列的 sss 个对应元素两两乘积之和，即： cij=∑k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)cij=∑k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)

解释

本质：
- 两个矩阵相乘，实际上体现了一种运算：左边矩阵的每一行，乘以右边矩阵的每一列，而且每一行乘以每一列都是向量的内积（点积运算）
- 内积的结果，可以体现两个向量的大小，还可以体现两个向量的夹角的余弦；
计算：
- 核心：左边的决定行，右边的决定列；
- 是一种多行乘多列的类型，需要将 A 矩阵中的每一列乘以 B 中的每一行；
- 因为是以 A 的列中每个乘以 B 中行的每个，因此 A 的列数需要和 B 的行数相等；
即：矩阵的乘法得到的结果中的每个元素，都是内积的结果；
- (α1α2)T(α1α2)=(α1Tα2T)(α1α2)=((α1,α1)(α1,α2)(α2,α1)(α2,α2))\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)^{T}\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left(\begin{matrix}\alpha_{1}^{T}\\\alpha_{2}^{T}\end{matrix}\right)\left(\alpha_{1}\alpha_{2}\right)=\left.\left(\begin{matrix}(\alpha_{1},\alpha_{1})&(\alpha_{1},\alpha_{2})\\(\alpha_{2},\alpha_{1})&(\alpha_{2},\alpha_{2})\end{matrix}\right.\right)(α1α2)T(α1α2)=(α1Tα2T)(α1α2)=((α1,α1)(α2,α1)(α1,α2)(α2,α2))
举例：
- 1. 多行乘多列：(a1a2a3)(b1b2b3)=(a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3)\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}(b_{1}b_{2}b_{3})=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}a1a2a3(b1b2b3)=a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3

运算：乘法运算的运算律

运算律：
- 1. 结合律：满足
- 1. 分配律：满足
- 1. 数乘与矩阵乘积的结合律 -> (kAm×s)Bs×n=Am×s(kBs×n)=k(Am×sBs×n)(kA_{m\times s})B_{s\times n}=A_{m\times s}(kB_{s\times n})=k(A_{m\times s}B_{s\times n})(kAm×s)Bs×n=Am×s(kBs×n)=k(Am×sBs×n)
不能用的：不满足交换律、不能使用消去律
- 1. 矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即 AB≠BA
  - 比如：AB*C 和 BA*C 是不一定相等的；
- 1. 存在A≠O,B≠O,而AB=O的情况,故AB=O⇏A=O或B=O存在A\neq O,B\neq O,而AB=O的情况,故AB=O\nRightarrow A=O或B=O存在A=O,B=O,而AB=O的情况,故AB=O⇏A=O或B=O
- 1. AB=AC⇒A(B−C)=O,此时即使有A≠O,一般也得不出B=CAB=AC\Rightarrow A(B-C)=O,此时即使有A\neq O,一般也得不出B=CAB=AC⇒A(B−C)=O,此时即使有A=O,一般也得不出B=C

运算：乘法运算的其他规律

（1）(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2,(A−B)2=A2−AB−BA+B2≠A2−2AB+B2,\begin{aligned}&(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2,\\&(A-B)^2=A^2-AB-BA+B^2\neq A^2-2AB+B^2,\end{aligned}(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2,(A−B)2=A2−AB−BA+B2=A2−2AB+B2,
（2）(A+B)(A−B)=A2+BA−AB−B2≠A2−B2,(AB)m=(AB)(AB)⋯(AB)⏞m↑≠AmBm.\begin{aligned}&(A+B)(A-B)=A^{2}+BA-AB-B^{2}\neq A^{2}-B^{2},\\&(AB)^{m}=\overbrace{(AB)(AB)\cdots(AB)}^{m\uparrow}\neq A^{m}B^{m}.\end{aligned}(A+B)(A−B)=A2+BA−AB−B2=A2−B2,(AB)m=(AB)(AB)⋯(AB)m↑=AmBm.
（3）重要：A 的多项式
- 若f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+amxm,则：f(A)=a0E+a1A+⋯+amAm若f\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+\cdotp\cdotp\cdotp+a_{m}x^{m},\text{则}：f(A)=a_0E+a_1A+\cdots+a_mA^m若f(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+amxm,则：f(A)=a0E+a1A+⋯+amAm

4.3.3 转置矩阵#

定义： #转置矩阵#

描述：将 m×n 矩阵 A=(aij)m×n的行与列互换得到的n×m矩阵,称为矩阵 A 的转置矩阵，记为AT，即：\text{将 }m\times n\text{ 矩阵 }A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}\text{的行与列互换得到的}n\times m\text{矩阵,称为矩阵 }A\text{ 的转置矩阵}，记为A^T，即：将 m×n 矩阵 A=(aij)m×n的行与列互换得到的n×m矩阵,称为矩阵 A 的转置矩阵，记为AT，即： AT=[a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋮⋮⋮a1na2n⋯amn]A^{T}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{m1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{m2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}AT=a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯am1am2⋮amn

解释

第 n 行写到第 n 列；
ATAA^{T}AATA：
- ATA=(a11a21a12a22a13a23)3∗2(a11a12a13a22a12a23)2∗3\left.A^{T}A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\end{matrix}\right.\right)_{3*{2}}\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{12}&a_{23}\end{matrix}\right)_{{2}*{3}}ATA=a11a12a13a21a22a233∗2(a11a22a12a12a13a23)2∗3
假设 α1=(a11,a21)\alpha_1=({a_{11},a_{21}})α1=(a11,a21) ，其他其次类推，则得到：
- ((α1,α1)(α1,α2)(α1,α3)(α2,α1)(α2,α2)(α2,α3)(α3,α1)(α3,α2)(α3,α3))\left.\left(\begin{matrix}(\alpha_{1},\alpha_{1})&(\alpha_{1},\alpha_{2})&(\alpha_{1},\alpha_{3})\\(\alpha_{2},\alpha_{1})&(\alpha_{2},\alpha_{2})&(\alpha_{2},\alpha_{3})\\(\alpha_{3},\alpha_{1})&(\alpha_{3},\alpha_{2})&(\alpha_{3},\alpha_{3})\end{matrix}\right.\right)(α1,α1)(α2,α1)(α3,α1)(α1,α2)(α2,α2)(α3,α2)(α1,α3)(α2,α3)(α3,α3)
这是一个格拉姆矩阵 -> ATAA^{T}AATA

运算：转置矩阵的运算律

(1)(AT)T=A;(2)(kA)T=kAT;(3)(A+B)T=AT+BT;(4)(AB)T=BTAT{(1)}\left(A^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=A;\quad{(2)}\left(kA\right)^{\mathrm{T}}=kA^{\mathrm{T}};\quad{(3)}\left(A+B\right)^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}};\quad{(4)}\left(AB\right)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}(1)(AT)T=A;(2)(kA)T=kAT;(3)(A+B)T=AT+BT;(4)(AB)T=BTAT
重要：穿脱原则
- (AB)T=BTAT(AB)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}A^{\mathrm{T}}(AB)T=BTAT
- 从左到右乘，等于从右到左写：(ABC)T=CTBTAT\left(ABC\right)^{T}=C^{T}B^{T}A^{T}(ABC)T=CTBTAT

4.3.4 方阵的行列式#

定义： #方阵的行列式#

描述：当用n 阶方阵A 计算行列式时,记成∣A∣\text{当用}n\text{ 阶方阵}A\text{ 计算行列式时,记成}|A|当用n 阶方阵A 计算行列式时,记成∣A∣；

∣kA∣=kn∣A∣≠k∣A∣(n⩾2,k≠0,1)|kA|=k^{n}|A|\neq k|A|(n\geqslant2,k\neq0,1)∣kA∣=kn∣A∣=k∣A∣(n⩾2,k=0,1)

一般地,∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣\text{一般地,}\left|A+B\right|\neq\left|A\right|+\left|B\right|一般地,∣A+B∣=∣A∣+∣B∣

注意：A≠0⇒∣A∣≠0A\neq0\Rightarrow|A|\neq0A=0⇒∣A∣=0

A≠B⇒∣A∣≠∣B∣A\neq B\Rightarrow\left|A\right|\neq\left|B\right|A=B⇒∣A∣=∣B∣

∣AT∣=∣A∣\left|A^{\mathrm{T}}\right|=\left|A\right|AT=∣A∣

设A,B是同阶方阵,则∣AB∣=∣A∣∣B∣\text{设}A,B\text{是同阶方阵,则}|AB|=|A||B|设A,B是同阶方阵,则∣AB∣=∣A∣∣B∣

4.4 几种重要矩阵#

4.4.1 基本矩阵形式#

矩阵一：零矩阵

定义：每个元素均为零的矩阵，记为 OOO

矩阵二：单位矩阵

定义：
- 主对角线元素均为 1, 其余元素全为零的 n 阶方阵, 称为 n 阶单位矩阵，记成 EEE 或 III
注意：E 的写法
- 如果是 A3∗2A_{3*2}A3∗2 与 B2∗3B_{2*3}B2∗3
- 此时：若要计算 E-AB
- 则 EEE 要写成 E3E_{3}E3
- 此时：若要计算 E-BA
- 则 EEE 要写成 E2E_{2}E2

矩阵三：数量矩阵

定义：
- 数 k 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵
公式：
- k⋅En=(kkk)k\cdot E_{n}=\left.\left(\begin{matrix}k&\\&k&\\&&k\end{matrix}\right.\right)k⋅En=kkk
特征：
- 数量矩阵和任何的矩阵相乘都是可以交换的：k⋅E⋅A=A⋅kEk\cdot E\cdot A=A\cdot kEk⋅E⋅A=A⋅kE

矩阵四：(重点) 对角矩阵

定义：
- 非主对角线元素均为零的矩阵称为对角矩阵；
- 即：主对角线之外的元素皆为 0 的矩阵
- 这是矩阵的最简形式，大量的矩阵不能化成这个矩阵；
公式：
- A=(λ1λ2⋱λn)A=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{pmatrix}A=λ1λ2⋱λn

矩阵五：上(下)三角矩阵

定义：
- 当 i>ji>ji>j 或 i<ji<ji<j 是，aij=0a_{ij}=0aij=0 的矩阵称之为上三角矩阵或者下三角矩阵；

矩阵六：(重要) 对称矩阵

定义：
- 满足条件AT=A 的矩阵A称为对称矩阵,AT=A⇔aij=aji\text{满足条件}A^\mathrm{T}=A\text{ 的矩阵}A\text{称为对称矩阵,}A^\mathrm{T}=A\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}满足条件AT=A 的矩阵A称为对称矩阵,AT=A⇔aij=aji
概念：
- 如果一个矩阵转置之后还是它自己，则称其为对称矩阵；
- 对称阵天生性质很多，适合进行数学上的分析；
举例：
- (1−21−20313−1)\left(\begin{matrix}1&-2&1\\-2&0&3\\1&3&-1\end{matrix}\right)1−21−20313−1
结论：
- (ATA)T=AT(AT)T=ATA\left(A^{T}A\right)^{T}=A^{T}\left(A^{T}\right)^{T}=A^{T}A(ATA)T=AT(AT)T=ATA
- 所以：ATAA^{T}AATA 必定是一个对称矩阵。可以使用对称矩阵的形式；

矩阵七：反对称矩阵

定义：
- 满足 AT=−AA^T=-AAT=−A 的矩阵 AAA 称之为反对称矩阵；
公式：
- AT=−A⇔{aij=−aji,i≠j,aii=0.A^{\mathrm{T}}=-A\Leftrightarrow\begin{cases}a_{ij}=-a_{ji},i\neq j,\\a_{ii}=0.\end{cases}AT=−A⇔{aij=−aji,i=j,aii=0.
概念：
- 反对称阵的主对角线一定都是零；
举例：
- (0−21203−1−30)\begin{pmatrix}0&-2&1\\2&0&3\\-1&-3&0\end{pmatrix}02−1−20−3130

矩阵八：行矩阵

只有一行元素的矩阵，也称行向量；
实际上就是一行多列；

矩阵九：列矩阵

只有一列元素的矩阵，也称列向量；
实际上就是多行一列；
补充：
- 一般写向量，一般都是写成列向量；
- 需要把向量写成转置，才能使行向量；
补充：αTα\alpha^T\alphaαTα 和 ααT\alpha\alpha^TααT
- αTα\alpha^T\alphaαTα ：1*n 和 n*1 相乘 -> 得到 1*1
- ααT\alpha\alpha^TααT：n*1 和 1*n 相乘 -> 得到 n*n

补充：秩 1 方阵

举例：
- 已知 (−1−1222−411−2)\left(\begin{matrix}-1&-1&2\\2&2&-4\\1&1&-2\end{matrix}\right)−121−1212−4−2 要找回到 (−121)(11−2)\left(\begin{matrix}-1\\2\\1\end{matrix}\right)\left(1\quad 1\quad -2\right)−121(11−2)，此时必须要其数值成比例；
- 这种矩阵就是秩 1 矩阵；
- 这个矩阵当中，另外两个向量都可以由 (1.1,-2) 这个向量乘以 2 和 -1 表示出来 -> 即：其基准向量是一个；
- 所以其是三维向量当中的一个子空间；
注意：
- 并不是秩为 1 的矩阵就是秩 1 矩阵；
性质：
- 对于秩 1 方阵 A，其 An=[tr(A)]n−1A^n=[tr(A)]^{n-1}An=[tr(A)]n−1
- 比如： A3B=AAAB=[tr(A)]2ABA^3B=AAAB=[tr(A)]^2ABA3B=AAAB=[tr(A)]2AB

补充：矩阵的迹

概念：
- 矩阵的主对角线之和，称之为矩阵的迹；
符号：
- tr

4.4.2 分块矩阵#

概念：矩阵的分块

概念：
- 用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块；
- 把子块看作原矩阵的一个元素，就得到了分块矩阵；
- 分块可以体现矩阵里面的一些规律，此时就可以利用这些分块、简化计算；
  - 比如：C=(AOOB)C=\left(\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right)C=(AOOB)
按 A 进行按行分块：
- A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn]=[A1A2⋮Am]A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\hline a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\hline a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1\\A_2\\\vdots\\A_m\end{bmatrix}A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn=A1A2⋮Am
按 B 进行按列分块：
- B=[b11b12⋯b1nb21b22⋯b2n⋮⋮⋮bm1bm2⋯bmn]=[B1,B2,⋯ ,Bn]B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_1,B_2,\cdots,B_n\end{bmatrix}B=b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bmn=[B1,B2,⋯,Bn]

运算：分块矩阵的基本运算（以 2*2 举例）

加法：同型,且分法一致,则[A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\text{同型,且分法一致,则}\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1&B_2\\B_3&B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1&A_2+B_2\\A_3+B_3&A_4+B_4\end{bmatrix}同型,且分法一致,则[A1A3A2A4]+[B1B3B2B4]=[A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4]
- 注意：两个矩阵的切法必须一致，此时就等于每个元素对应相加；
数乘：k[ABCD]=[kAkBkCkD]k\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA&kB\\kC&kD\end{bmatrix}k[ACBD]=[kAkCkBkD]
乘法：[ABCD][XYZW]=[AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW],要可乘、可加\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X&Y\\Z&W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ&AY+BW\\CX+DZ&CY+DW\end{bmatrix},\text{要可乘、可加}[ACBD][XZYW]=[AX+BZCX+DZAY+BWCY+DW],要可乘、可加
- 概念：
  - 分块之后，将其当元素看，相当于两个 2*2 的矩阵相乘；
- 注意：
  - 因为是矩阵运算，没有交换律，因此得到的结果，比如 AX+BZAX+BZAX+BZ，其顺序不能变化，不能写成 XA+BZXA+BZXA+BZ
- 注意：
  - 对于乘法的运算要注意，分块相乘后，左边的矩阵仍在左边，右边的矩阵仍在右边；
  - 若 A, B 分别为 m, n 阶方阵，则分块对角矩阵的幂为；
- 补充：
  - [AOOB]n=[AnOOBn]\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}A^n&O\\O&B^n\end{bmatrix}[AOOB]n=[AnOOBn]

4.5 矩阵的复合变换#

举例：矩阵的复合变换

概念：
- 矩阵需要从右往左读，因为函数写在变量左侧：f(g(x))
举例：
- Pasted image 20240626192119.png

Lecture 5：矩阵的逆

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

5.1 逆矩阵的定义#

定义： #逆矩阵#

描述：A、B 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵；若 AB=BA=E，则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记为 A−1A^{-1}A−1

解释

矩阵和其逆矩阵相乘等于单位阵；

定义： #逆矩阵的充分必要条件#

描述：A 可逆的充分必要条件是 ∣A∣|A|∣A∣ 不等于 0；

解释

矩阵的测度不等于 0，那么就有逆矩阵；
因为 a−1=1aa^{-1}=\frac{1}{a}a−1=a1，而分母不能等于零，所以逆矩阵的充分必要条件为测度不为 0；

定义： #互逆#

描述：一阶： A−1A=EA^{-1}A=EA−1A=E

解释

5.2 逆矩阵的性质和重要公式#

性质：逆矩阵的性质

1. (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A
1. 若 k 不等于 0，则 (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(kA)−1=k1A−1
- 转置矩阵时：(kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT
- 转置矩阵时：∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|∣kA∣=kn∣A∣
1. AB 也可逆，且 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1
1. AT也可逆,且(AT)−1=(A−1)TA^{\mathrm{T}}\text{也可逆,且}(A^{\mathrm{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\mathrm{T}}AT也可逆,且(AT)−1=(A−1)T
1. ∣A−1∣=∣A∣−1\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}A−1=∣A∣−1
- 因为：∣A−1A∣=∣E∣→∣E∣=∣A−1∣∣A∣|A^{-1}A|=|E|\rightarrow|E|=|A^{-1}||A|∣A−1A∣=∣E∣→∣E∣=∣A−1∣∣A∣ 即：∣A−1∣|A^{-1}|∣A−1∣ 和 ∣A∣|A|∣A∣ 互为倒数；

注意：A+B不一定可逆,且(A+B)−1≠A−1+B−1A+B\text{不一定可逆,且}\left(A+B\right)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}A+B不一定可逆,且(A+B)−1=A−1+B−1

(A+B)T=AT+BT\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}(A+B)T=AT+BT
∣A+B∣\vert A+B\vert∣A+B∣ 不等于 ∣A∣+∣B∣\vert A\vert+\vert B\vert∣A∣+∣B∣

补充：逆矩阵与分块矩阵结论

(a00b)−1=(a−100b−1)(A00B)−1=(A−100B−1)(0ab0)−1=(0b−1a−10)(0AB0)−1=(0B−1A−10)\left.\left(\begin{matrix}a&0\\0&b\end{matrix}\right.\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}a&-1&0\\0&b^{-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A&0\\0&B\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}A&-1&0\\0&B^{-1}\end{matrix}\right)\\\left(\begin{matrix}0&a\\b&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&b^{-1}\\a^{-1}&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0&A\\B&0\end{matrix}\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0\end{matrix}\right)(a00b)−1=(a0−1b−10)(A00B)−1=(A0−1B−10)(0ba0)−1=(0a−1b−10)(0BA0)−1=(0A−1B−10)

5.3 用定义法求可逆矩阵的逆矩阵#

5.3.1 方法一：定义法#

方法：定义进行求解，即求一个矩阵 B，使 AB=E，则 A 可逆，且 A−1=BA^{-1}=BA−1=B

5.3.2 方法二：乘积法#

方法：将 A 分解成若干个可逆矩阵的乘积. 因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若 A=BC，其中，B、C 均可逆，则 A 可逆，且：

A−1=(BC)−1=C−1B−1A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A−1=(BC)−1=C−1B−1

Lecture 6：伴随矩阵

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

6.1 伴随矩阵的定义#

6.1.1 定义#

定义： #伴随矩阵的定义#

描述：将行列式 ∣A∣|A|∣A∣ 的 n2n^2n2 个元素的代数余子式按如下形式排成的矩阵，称为 AAA 的伴随矩阵, 记作 A∗A^*A∗：A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann]A^*=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}A∗=A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann 且有：AA∗=A∗A=∣A∣EAA^{*}=A^{*}A=\left|A\right|EAA∗=A∗A=∣A∣E

解释

概念：
- 伴随矩阵的产生，就是来自于点积当中的一行乘一列的积的；
- 从 A∗=(A11A21A12A22)→A=(a11a12a21a22)A^*=\left(\begin{matrix}A_{11}&A_{21}\\A_{12}&A_{22}\end{matrix}\right)\rightarrow A=\left(\begin{matrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{matrix}\right)A∗=(A11A12A21A22)→A=(a11a12a21a22)
- 所以：AA∗=(∣A∣00∣A∣)=(1001)∣A∣=E∣A∣AA^{*}=\left(\begin{matrix}|A|&0\\0&|A|\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)|A|=E|A|AA∗=(∣A∣00∣A∣)=(1001)∣A∣=E∣A∣
计算：二阶
- 从 A 矩阵求 A∗A^*A∗
  - 核心：主对调，副变号
  - 举例：A=[abcd]→A∗=[d−b−ca]A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\rightarrow A^*=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}A=[acbd]→A∗=[d−c−ba]
  - 结论：二阶时 (A∗)∗=A(A^*)^*=A(A∗)∗=A
- 从 A∗A^*A∗ 求 A−1A^{-1}A−1
  - 举例：1∣A∣A∗=1ad−bc(a−b−ca)=A−1\frac{1}{|A|}A^{*}=\frac{1}{ad-bc}(\begin{matrix}a&-b\\-c&a\end{matrix})=A^{-1}∣A∣1A∗=ad−bc1(a−c−ba)=A−1
计算：三阶
- 从 A 矩阵求 A∗A^*A∗：
  - 老老实实算每项代数余子式；
- 从 A∗A^*A∗ 求 A−1A^{-1}A−1
  - A−1=1AA∗A^{-1}=\frac{1}{A}A^{*}A−1=A1A∗

6.1.2 伴随矩阵与可逆矩阵#

总结：可交换矩阵

A⋅kE=kE⋅AAA−1=A−1A=EAA∗=A∗A=∣A∣E\begin{aligned}&A\cdot kE=kE\cdot A\\&AA^{-1}=A^{-1}A=E\\&AA^{*}=A^{*}A=|A|E\end{aligned}A⋅kE=kE⋅AAA−1=A−1A=EAA∗=A∗A=∣A∣E

推论：A∗=∣A∣A−1A^{*}=|A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1

意义：得到了伴随矩阵与可逆矩阵的关系；

推论：AA∗A−1=∣A∣EA−1→A∗=∣A∣A−1AA^{*}A^{-1}=|A|EA^{-1}\rightarrow A^{*}=|A|A^{-1}AA∗A−1=∣A∣EA−1→A∗=∣A∣A−1

结论：求可逆的一个方法：

方法：
- 当 A 可逆时，A∗和A−1A^{*}和A^{-1}A∗和A−1 只差了一个非零的倍数而已；
意义：
- 给了伴随，想到可逆矩阵 -> 即在向量的视角下，伴随矩阵和可逆矩阵只是伸缩的关系 -> 伴随矩阵和可逆矩阵的性质是一致的；

6.2 伴随矩阵的性质与公式#

概念：运算总结

运算就是四种：行列式、求逆、求转置、求伴随；
下面的性质就是这几种性质的互相使用、结合、交换；

性质一：对任意 nnn 阶方阵 AAA, 都有伴随矩阵 A ∗^{*}∗,且有公式: AA∗=A∗A=∣A∣E,∣A∗∣=∣A∣n−1AA^{*}=A^{*}A=\left|A\right|E,\left|A^{*}\right|=\left|A\right|^{n-1}AA∗=A∗A=∣A∣E,∣A∗∣=∣A∣n−1

性质二：当∣A∣≠0时A∗=∣A∣A−1,A−1=1∣A∣A∗,A=∣A∣(A∗)−1;当|A|\neq0时A^{*}=\left|A\right|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*},A=\left|A\right|\left(A^{*}\right)^{-1};当∣A∣=0时A∗=∣A∣A−1,A−1=∣A∣1A∗,A=∣A∣(A∗)−1;

前提：A 的测度为 0；
先求行列式，再求伴随矩阵，再求 1∣A∣A∗\frac{1}{{|A|}}A^*∣A∣1A∗

性质三：(kA)(kA)∗=∣kA∣E(kA)(kA)^{*}=\left|kA\right|E(kA)(kA)∗=∣kA∣E

性质四：(AT)∗=(A∗)T(A^T)^*=(A^*)^T(AT)∗=(A∗)T

性质五：A−1(A−1)∗=∣A−1∣EA^{-1}\left(A^{-1}\right)^{*}=\left|A^{-1}\right|EA−1(A−1)∗=A−1E

性质六：A∗(A∗)∗=∣A∗∣EA^*\left(A^*\right)^*=\left|A^*\right|EA∗(A∗)∗=∣A∗∣E

原因：(A∗)∗=∣A∣n−2A\left(A^*\right)^*=|A|^{n-2}A(A∗)∗=∣A∣n−2A

性质七：（穿脱原则）(AB)∗=B∗A∗\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}(AB)∗=B∗A∗

补充：关于数乘的交换

∣kA∣=kn∣A∣(kA)T=kAT(kA)−1=1kA−1(kA)∗=kn−1A∗\begin{aligned}&|kA|=k^{n}|A|\\&(kA)^{T}=kA^{T}\\&(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}\\&(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}\end{aligned}∣kA∣=kn∣A∣(kA)T=kAT(kA)−1=k1A−1(kA)∗=kn−1A∗

补充：总结 - 运算的自运算

∣A−1∣=∣A∣−1(A∗)−1=(A−1)∗(A−1)T=(AT)−1∣A∗∣=∣A∣n−1∣AT∣=∣A∣T(A∗)T=(AT)∗\begin{aligned}&|A^{-1}|=|A|^{-1}&&(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\\&(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}&&|A^{*}|=|A|^{n-1}\\&|A^{T}|=|A|^{T}\\&(A^{*})^{T}=(A^{T})^{*}\end{aligned}∣A−1∣=∣A∣−1(A−1)T=(AT)−1∣AT∣=∣A∣T(A∗)T=(AT)∗(A∗)−1=(A−1)∗∣A∗∣=∣A∣n−1

补充：总结 - 运算的叠加

∣∣A∣∣=∣A∣(AT)T=A(A−1)−1=A(A∗)∗=∣A∣n−2A\begin{aligned}&||A||=|A|\\&(A^{T})^{T}=A\\&(A^{-1})^{-1}=A\\&(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A\end{aligned}∣∣A∣∣=∣A∣(AT)T=A(A−1)−1=A(A∗)∗=∣A∣n−2A 补充：穿脱原则
∣AB∣=∣B∣∣A∣(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1(AB)∗=B∗A∗\begin{aligned}&|AB|=|B||A|\\&(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\\&(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\&(AB)^{*}=B^{*}A^{*}\end{aligned}∣AB∣=∣B∣∣A∣(AB)T=BTAT(AB)−1=B−1A−1(AB)∗=B∗A∗
注意：(A+B)∗≠A∗+B∗\left(A+B\right)^{*}\neq A^{*}+B^{*}(A+B)∗=A∗+B∗
其他：∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣(A+B)−1≠A−1+B−1(A+B)T=AT+BT\begin{aligned}&|A+B|\neq|A|+|B|\\&(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}\\&(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\end{aligned}∣A+B∣=∣A∣+∣B∣(A+B)−1=A−1+B−1(A+B)T=AT+BT

6.3 用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵#

定理： #伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵#

描述： A−1=1∣A∣A∗=1∣A∣[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann]A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}A^{*}=\frac{1}{\left|A\right|}\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{bmatrix}A−1=∣A∣1A∗=∣A∣1A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann

解释

步骤：
- 第一步：先求当前矩阵的行列式的值，看起是否等于 0，如果等于零就无法继续往下计算了；
- 第二步：求 A 的伴随；
- 第三步：求 A−1=1∣A∣A∗A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}A−1=∣A∣1A∗
注意：
- 注意Aij的位置及正、负号注意A_{ij}的位置及正、负号注意Aij的位置及正、负号

6.4 求伴随矩阵的方法#

方法一：定义法。先求 AijA_{ij}Aij ，再拼成 A∗A^*A∗

方法二：用公式；若 A 可逆，则 A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1

遇到和伴随矩阵相关的计算时，先考虑一下有没有公式、化简一下，对公式进行一些运算，然后再开始计算；

Lecture 7：初等变换与初等矩阵

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

7.1 初等变换#

7.1.1 定义#

定义： #初等变换#

描述： (1)倍乘：一个非零常数乘矩阵的某一行 (列); (2)互换：互换矩阵中某两行 (列)的位置; (3)倍加：将矩阵的某一行 (列)的 k 倍加到另一行 (列). 以上三种变换称为矩阵的初等行 (列)变换，且分别称为倍乘、互换、倍加初等行 (列) 变换；

解释

这三种变换都被称之为 同解变换 <- 无论怎么变换，必须要保证是同解的；

本质：矩阵的秩不变，但行列式发生变化；

7.1.2 补充：线性变换的本质#

概念：什么是变换

解释：
- 变换本质上是“函数”的一种花哨说法，接受一个向量，并输出一个向量变换的结果；
变换：
- 使用变换一词，是在暗示你基于“运动”的视角去思考；

概念：什么是线性的变换

线性的变换需要具有以下两个性质：
- 1. 直线再变换后依然维持为直线，不能有弯曲；
- 1. 原点必须保持固定；
什么是线性变换：
- 线性变换是操作空间的一种手段，它它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动，并且可以通过矩阵来描述清楚；

概念：如何描述变换后的向量空间

只需要对基变量进行变换即可；
因为：假设当前向量被两个基向量表示：
- v⃗=−1i^+2j^\vec{\mathbf{v}}=-1\hat{i}+2\hat{j}v=−1i^+2j^
- 此时即使对基向量进行变换，以上的线性关系依然不会发生变换；
- 因此可以只根据变换后的 i 帽和 j 帽就推断出变换后的 v；
- 其中 i 是两个坐标的数值构成的二维向量，j 是另一个两个坐标的数值构成的二维向量；
引入矩阵：
- 把基向量 i 和基向量 j 合在一起，就构成了一个 2*2 矩阵：

概念：矩阵的意义

意义：
- 给定了一个任意的初始向量，可以通过两个基，进行线性变换、得到其线性变换后的结果；
- [32−21][57]⏟Any ol’ vector任意初始向量\begin{aligned}\begin{bmatrix}3&2\\-2&1\end{bmatrix}&\underbrace{{\left[\begin{array}{c}5\\7\end{array}\right]}}\\&\text{Any ol' vector}\\&\text{任意初始向量}\end{aligned}[3−221][57]Any ol’ vector任意初始向量
举例：
- [32−21][57]=5[3−2]+7[21]←等同于缩放基向量再相加\begin{aligned}\begin{bmatrix}3&2\\-2&1\end{bmatrix}{{\left[\begin{array}{c}5\\7\end{array}\right]}}\end{aligned}=5\bigg[\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\bigg]+7\bigg[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\bigg]\leftarrow等同于缩放基向量再相加[3−221][57]=5[3−2]+7[21]←等同于缩放基向量再相加
公式：二维
- [abcd][xy]=x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]\left.\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right.\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\cx+dy\end{array}\right][acbd][xy]=x[ac]+y[bd]=[ax+bycx+dy]

7.2 初等矩阵#

7.2.1 初等矩阵的定义#

定义： #初等矩阵的定义#

描述：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 以 3 阶矩阵为例：E2(k)=[1000k0001]E_{2}\left(k\right)=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{matrix}\right]E2(k)=1000k0001 E 的第 2 行 (或第 2 列)乘 k 倍，称为倍乘初等矩阵；
定义：Ei(k)(k≠0)E_i(k)(k\neq 0)Ei(k)(k=0) 表示单位矩阵正的第 iii 行 (或者第 jjj 列)乘以非零常数 kkk 所得的初等矩阵

解释

补充：单位矩阵的作用
- 单位矩阵的特点，是作用在任何矩阵上时、其没有任何实质的作用；
- 即： EA=A
注意：
- 变换一定是行列都可以变换的；
概念：
- 左乘：在向量的左边进行变换 -> 左读行变换；
- 右乘：在向量的右边进行变换 -> 右读列变换；
  - 对研究对象相对在其右边；(x)g
作用：
- 用一个初等矩阵变化一个向量组时，

定理： #左行右列定理#

描述：对 n 阶矩阵 A 进行初等行变换，相当于在矩阵 A 的左边乘相应的初等矩阵；同样，对 A 进行初等变换，相当于在矩阵 A 的右边乘以相对应的初等矩阵；

解释

7.2.2 互换初等矩阵#

定义： #互换初等矩阵#

描述： E12=[010100001]E_{12}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}E12=010100001，E 的第 1、2 行（或 1、2 列）互换，称为互换初等矩阵；定义：Eij表示单位矩阵E交换第i 行与第j行(或交换第i列与第j列)所得的初等矩阵E_{ij}\text{表示单位矩阵}E\text{交换第}i\text{ 行与第}j\text{行}(\text{或交换第}i\text{列与第}j\text{列})\text{所得的初等矩阵}Eij表示单位矩阵E交换第i 行与第j行(或交换第i列与第j列)所得的初等矩阵

解释

概念：
- 做行变换：放到左边去
  - (0110)(1234)=(3412)\left.\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&4\\1&2\end{matrix}\right)(0110)(1324)=(3142)
- 做列变换：放到右边去
  - (1234)(0110)=(2143)\left.\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\4&3\end{matrix}\right)(1324)(0110)=(2413)
举例：
- (12−4232−1−20)(100001010)=(1−42233−10−2)\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&3&2\\-1&-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-4&2\\2&3&3\\-1&0&-2\end{pmatrix}12−123−2−420100001010=12−1−43023−2
- 因为初等矩阵在右边，所以是进行列变换；
- 因为初等矩阵的第二列和第三列互换，所以 (12−4232−1−20)\begin{pmatrix}1&2&-4\\2&3&2\\-1&-2&0\end{pmatrix}12−123−2−420 的第二列、第三列互换；

7.2.3 倍加初等矩阵#

定义： #倍加初等矩阵#

描述： E31(k)=[100010k01]E_{31}\left(k\right)=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\k&0&1\end{matrix}\right]E31(k)=10k010001，E 的第 1 行的 k 倍加到第 3 行 (或第 3 列的 k 倍加到第 1 列)，称为倍加初等矩阵；定义：Eij(k)E_{ij}(k)Eij(k) 表示单位矩阵 EEE 的第 jjj 行的 kkk 倍加到第 iii 行 (或第 iii 列的 kkk 倍加到第 jjj 列)所得的初等矩阵；

解释

7.3 初等矩阵的性质#

性质一：初等矩阵的转置依然是初等矩阵

EijT=EijE_{ij}^{T}=E_{ij}EijT=Eij
EiT(k)=Ei(k)E_{i}^{T}\left(k\right)=E_{i}\left(k\right)EiT(k)=Ei(k)
EijT(k)=Eji(k)E_{ij}^{T}\left(k\right)=E_{ji}\left(k\right)EijT(k)=Eji(k)

性质二：行列式、逆矩阵与初等矩阵

因为 ∣Ei(k)∣=k≠0,∣Eij∣=−1≠0,∣Eij(k)∣=1≠0\left|E_{i}\left(k\right)\right|=k\neq0,\left|E_{ij}\right|=-1\neq0,\left|E_{ij}\left(k\right)\right|=1\neq0∣Ei(k)∣=k=0,∣Eij∣=−1=0,∣Eij(k)∣=1=0
故初等矩阵都是可逆矩阵，且 [Ei(k)]−1=Ei(1k),Eij−1=Eij,[Eij(k)]−1=Eij(−k)\left[E_{i}\left(k\right)\right]^{-1}=E_{i}\left(\frac{1}{k}\right),E_{ij}^{-1}=E_{ij},\left[E_{ij}\left(k\right)\right]^{-1}=E_{ij}\left(-k\right)[Ei(k)]−1=Ei(k1),Eij−1=Eij,[Eij(k)]−1=Eij(−k) 其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵；

性质三：若 A 是可逆矩阵，则 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即 A=P1P2⋯Ps,其中P1,P2,⋯ ,A=P_{1}P_{2}\cdots P_{s},\text{其中}P_{1},P_{2},\cdots,A=P1P2⋯Ps,其中P1,P2,⋯, PsP_sPs 是初等矩阵；

若 A 是可逆矩阵，则 A 矩阵肯定可以分解成若干个初等矩阵的乘积；
所以说：初等矩阵其实就是多个矩阵的复合，比如 Aα=p1p2⋯psαA\alpha=p_{1}p_{2}\cdots p_{s}\alphaAα=p1p2⋯psα ；
若 A=P1P2⋯PsA=P_{1}P_{2}\cdots P_{s}A=P1P2⋯Ps ，两边都是乘以 P 的逆矩阵，则右边就是 E；
- 得到：PS−1⋯P2−1P1−1A=PS−1⋯P2−1P1−1P1P2⋯PSP_{S}^{-1}\cdots P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}A=P_{S}^{-1}\cdots P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}P_{1}P_{2}\cdots P_{S}PS−1⋯P2−1P1−1A=PS−1⋯P2−1P1−1P1P2⋯PS
- 得到：θ5⋯θ2θ1E=A−1\theta_{5}\cdots\theta_{2}\theta_{1}E=A^{-1}θ5⋯θ2θ1E=A−1
公式：
- Q5⋯Q2Q1⋅A=EQ5⋯Q2Q1E=A−1\begin{aligned}Q_{5}\cdots Q_{2}Q_{1}\cdot A=E\\Q_{5}\cdots Q_{2}Q_{1}E=A^{-1}\end{aligned}Q5⋯Q2Q1⋅A=EQ5⋯Q2Q1E=A−1
结论：
- (A∣E)→行(E∣A−1)(A|E)\xrightarrow{行}(E|A^{-1})(A∣E)行(E∣A−1)
- 给 A 拼上一个 E，进行行变换，得到的就是 A 逆矩阵；

性质四：对 n 阶矩阵 A 进行初等行变换，相当于在矩阵 A 的左边乘相应的初等矩阵；同样，对 A 进行初等列变换，相当于在矩阵 A 的右边乘相应的初等矩阵；

7.4 行阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵#

7.4.1 行阶梯形矩阵#

定义： #行阶梯形矩阵#

描述：具有如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵： ① 若有零行 (即元素全为零的行)，则零行全都位于非零行的下方； ② 各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的 -> 解；

解释

目标：
概念：
- 将方程组进行变换，但进行的都是同解变换；
- 因为下面一行比上面一行的零的数量肯定更多 -> 下面一行的自变量的数量更小；
举例：
- →[110−3−10−22210003−100000]=B\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&0&-3&-1\\0&-2&2&2&1\\0&0&0&3&-1\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}=B→10001−2000200−3230−11−10=B
台脚：
- 每个台阶的最左边的元素称之为台脚 -> 将其化成最简形式；

举例：求齐次线性方程组的通解：{x1+x2−3x4−x5=0,x1−x2+2x3−x4=0,4x1−2x2+6x3+3x4−4x5=0,2x1+4x2−2x3+4x4−7x5=0\begin{cases}x_{1}+x_{2}-3x_{4}-x_{5}=0,\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}-x_{4}=0,\\4x_{1}-2x_{2}+6x_{3}+3x_{4}-4x_{5}=0,\\2x_{1}+4x_{2}-2x_{3}+4x_{4}-7x_{5}=0\end{cases}⎩⎨⎧x1+x2−3x4−x5=0,x1−x2+2x3−x4=0,4x1−2x2+6x3+3x4−4x5=0,2x1+4x2−2x3+4x4−7x5=0

7.4.2 行最简阶梯型梯形矩阵#

定义： #行最简阶梯型梯形矩阵#

描述：一个行阶梯形矩阵称为行最简阶梯形矩阵，如果其非零行的第一个非零元素为 1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为 0；

解释

和行列式的区别：其非零行的第一个非零元素为1其非零行的第一个非零元素为1其非零行的第一个非零元素为1
特征：
- 1. 若有零行，全在下方；
- 1. 各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大的
- 1. 台脚处的元素必须是 1；
- 1. 台脚正上方的元素必须都是 0；
作用：
- 服务于解方程组；
- 一般化成行阶梯形矩阵就可以了；

补充：对于任何非零矩阵 A，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简阶梯形矩阵；

单位矩阵是最标准的行阶梯形矩阵；
线性方程组总是可以进行消元代入；
一般化为行阶梯形矩阵就可以了；

7 .5 用初等变换求逆矩阵#

定理： #用初等变换求逆矩阵#

描述： [A⋮E]→初等行变换[E⋮A−1],[AE]→初等列变换[EA−1].\begin{bmatrix}A\vdots E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}}\begin{bmatrix}E\vdots A^{-1}\end{bmatrix},\\\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等列变换}}\begin{bmatrix}E\\A^{-1}\end{bmatrix}.[A⋮E]初等行变换[E⋮A−1],[AE]初等列变换[EA−1].

例题：当 A=[02−1112−1−1−1]A=\begin{bmatrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{bmatrix}A=01−121−1−12−1，求 A−1A^{-1}A−1

分析
- (A∣E)=(02−1100112010−1−1−1−1001)\left.\left(A|E\right)=\left(\begin{matrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&-1&0&0&1\end{matrix}\right.\right)(A∣E)=01−121−1−12−110−10100001
- 然后 A、E 矩阵各自都第一行、第二行互换位置
- 然后第一行加到第三行：(1121002−11100001011)−>[110−3−101−1−1−120001−1300000]\left.\left(\begin{matrix}1&1&2&1&0\\0&2&-1&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\end{matrix}\right.\right)->\begin{bmatrix}1&1&0&-3&-1\\0&1&-1&-1&-\frac{1}{2}\\0&0&0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}1001202−11110011010−>100011000−100−3−110−1−21−310
- 最后拼成 (E∣A−1)(E|A^{-1})(E∣A−1) 的形式
解析

7.6 简单分块矩阵的逆#

定义： #简单分块矩阵的逆#

描述： [AOOB]−1=[A−1OOB−1],[OABO]−1=[OB−1A−1O]\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{bmatrix}[AOOB]−1=[A−1OOB−1],[OBAO]−1=[OA−1B−1O]

解释

注意：
- [OABO]−1\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}^{-1}[OBAO]−1 求逆矩阵后，要对调；
证明：
- (0AB0)(0B−1A−10.)=E\left.\left(\begin{matrix}0&A\\B&0\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0.\end{matrix}\right)=E(0BA0)(0A−1B−10.)=E

补充：求副对角线上分块矩阵的，可推广如下

主对角线时，不用反过来写，副对角线的需要反过来写：
A=[A1A2⋯As]→ Ai(i=1,2,⋯ ,s)可逆，则A可逆，且→A−1=[As−1⋱A2−1A1−1]A=\begin{bmatrix}&&&A_{1}\\&&A_{2}\\&&\cdots\\A_{s}\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{ }}A_{i}(i=1,2,\cdots,s)可逆，则A可逆，且\rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix}&&&&A_s^{-1}\\&&&\ddots\\&&A_2^{-1}&&\\A_1^{-1}&&&&\end{bmatrix}A=AsA2⋯A1 Ai(i=1,2,⋯,s)可逆，则A可逆，且→A−1=A1−1A2−1⋱As−1

补充：分块三角阵

举例：已知A=[BODC], 其中 B 是r×r 可逆矩阵, C是s×s 可逆矩阵,证明A 可逆,并求A−1\text{已知}A=\begin{bmatrix}B&O\\D&C\end{bmatrix},\text{ 其中 }B\text{ 是}r\times r\text{ 可逆矩阵, }C\text{是}s\times s\text{ 可逆矩阵,证明}A\text{ 可逆,并求}A^{-1}已知A=[BDOC], 其中 B 是r×r 可逆矩阵, C是s×s 可逆矩阵,证明A 可逆,并求A−1
- ∣A∣=∣B0DC∣=∣B∣∣C∣≠0|A|=|\begin{matrix}B&0\\D&C\end{matrix}|=|B||C|\neq0∣A∣=∣BD0C∣=∣B∣∣C∣=0
- 定义法：(B0DC)(XYZW)=(E00E)\begin{pmatrix}B&0\\D&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X&Y\\Z&W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&0\\0&E\end{pmatrix}(BD0C)(XZYW)=(E00E)
结论：
- 得到 A 的逆矩阵： (B0DC)\begin{pmatrix}B&0\\D&C\end{pmatrix}(BD0C) 的逆矩阵：(B−10−C−1DB−1C−1)\left(\begin{matrix}B^{-1}&0\\-C^{-1}DB^{-1}&C^{-1}\end{matrix}\right)(B−1−C−1DB−10C−1)
补充：
- 右上三角也类似，右上角是 B−1DC−1B^{-1}DC^{-1}B−1DC−1
- 右下三角也类似，其 B 和 C 要换位置后取逆，然后左上角是 C−1DB−1C^{-1}DB^{-1}C−1DB−1
- 左下三角也类似，其 B 和 C 要换位置后取逆，然后右下角是 B−1DC−1B^{-1}DC^{-1}B−1DC−1

Lecture 8：矩阵方程

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

8.1 矩阵方程基本概念#

定义： #矩阵方程#

描述：含有未知矩阵的方程称之为矩阵方程；

解释

含有未知导数的：导数方程；
你的未知对象是什么，就称之为其的方程；

概念：计算方法

方法：
- 解矩阵方程，应先根据题设条件和矩阵的运算规则，将方程进行恒等变形，使方程化成：
- AX=B
- XA=B
- AXB=C
- 若 A 可逆，或 A，B 均可逆，则分别可得解为：X=A−1B,X=BA−1,X=A−1CB−1X=A^{-1}B,X=BA^{-1},X=A^{-1}CB^{-1}X=A−1B,X=BA−1,X=A−1CB−1

Lecture 9：等价矩阵

Thu, 09 Jul 2026 00:00:00 GMT

9.1 等价矩阵和矩阵的等价标准型#

定义： #等价矩阵#

描述：设A,B 均是m×n矩阵,若存在可逆矩阵Pmon,Qmon, 使得 PAQ=B,则称 A,B 是等价矩阵,记作A≅B.\begin{aligned}&\text{设}A,B\text{ 均是}m\times n\text{矩阵,若存在可逆矩阵}P_{mon},Q_{mon},\text{ 使得 }PAQ=B\text{,则称 }A,B\text{ 是等价矩阵,记作}\\&A\cong B.\end{aligned}设A,B 均是m×n矩阵,若存在可逆矩阵Pmon,Qmon, 使得 PAQ=B,则称 A,B 是等价矩阵,记作A≅B.

解释

定义： #矩阵的等价标准型#

描述：

A 是一个 m×n 矩阵,则A 等价于形如[Er000]的矩阵(Er 中的 r 恰是r(A)),后者称为A 的等价标准型A\text{ 是一个 }m\times n\text{ 矩阵,则}A\text{ 等价于形如}\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}\text{的矩阵}(E_r\text{ 中的 }r\text{ 恰是}r(A))\text{,后者称为}A\text{ 的等价标准型}A 是一个 m×n 矩阵,则A 等价于形如[Er000]的矩阵(Er 中的 r 恰是r(A)),后者称为A 的等价标准型

等价标准形是唯一的,即若 r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q,使得:PAQ=[Er000]\text{等价标准形是唯一的,即若 }r(A)=r\text{,则存在可逆矩阵}P,Q\text{,使得:}PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}等价标准形是唯一的,即若 r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q,使得:PAQ=[Er000]

解释

意义：
- 虽然一个 m*n 型的矩阵不能变成标准的单位阵，但是可以通过行变换和列变换、将其变成一个分块的、某个块的单位阵，其他阵则是 0；
- 最简单的形式：PAQ=[Er000]PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}PAQ=[Er000]
解释：
- 其中的 r 是 A 矩阵的秩 -> 吧 ErE_rEr 扩展到了不同阶时的情况 -> PAQ=[Er000]PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}PAQ=[Er000] 是等价标准型；
- P：若干次初等行变换；
- Q：若干次初等列变换；
- PAQ=B：化成最简型之前的任意一个过程的状态，最终都会走向 PAQ=[Er000]PAQ=\begin{bmatrix}E_r&0\\0&0\end{bmatrix}PAQ=[Er000]；
概念：什么是 AB 等价
- 这两个矩阵、最终的归宿是一样的，它们最终都能化成最终的一样的最简标准型 <-> 等价标准型一样；

问渠

多项式因式分解技巧

多项式因式分解技巧讲义#

一、两大基础破题技巧#

技巧 1：分组分解法（首选，最直观）#

适用场景#

解题步骤#

技巧 2：试根法 / 有理根定理（通用性最强）#

适用场景#

解题步骤#

二、考场秒杀隐藏技巧（速判因式口诀）#

口诀 1：系数和判 (x−1)(x-1)(x−1) 因式#

口诀 2：奇偶项系数和判 (x+1)(x+1)(x+1) 因式#

三、学习总结与做题建议#

函数四大特性 系统笔记

一、有界性#

1. 核心定义#

2. 经典例题#

证法 1：基本不等式法（最快解法）#

证法 2：导数求全局最值法（通用通法）#

3. 选择题快速判断技巧#

4. 有界性证明通用框架#

二、单调性#

1. 核心定义#

严格单调递增#

严格单调递减#

2. 经典例题#

选项逐一解析#

3. 核心法则：复合函数单调性#

4. 单调性反转规律#

5. 选择题秒杀技巧#

三、奇偶性#

1. 核心定义#

必要前提#

奇函数#

偶函数#

2. 核心方法：赋值法#

3. 经典例题：柯西方程#

4. 拓展题型#

题型 1：带常数项的函数方程#

题型 2：偶函数型函数方程#

5. 奇偶性证明通用步骤#

四、周期性#

1. 核心定义#

2. 关键原理：抽象函数替换的合法性#

3. 经典例题#

证法 1：迭代代换法#

证法 2：差分累加法（思路更直观）#

4. 递推型周期证明通用技巧#

5. 易错提醒#

五、综合技巧汇总#

1. 选择题通用秒杀法#

2. 抽象函数证明通用思路#

3. 四大特性关联结论（拓展）#

函数四大特性习题

一、选择题（每题只有一个正确选项）#

二、证明题#

答案与详细解析#

一、选择题#

二、证明题#

「函数」模块全体系知识总结

一、函数的核心概念与三要素#

1. 函数的定义#

2. 三要素详解#

（1）定义域（自然定义域）#

（2）对应法则#

（3）值域#

二、函数的四大基本性质（考研核心考点）#

1. 有界性#

（1）定义#

（2）核心判定方法#

（3）考研必备结论#

2. 单调性#

（1）定义#

（2）核心判定方法#

（3）考研关联应用#

3. 奇偶性#

（1）定义#

（2）运算与复合性质#

（3）跨章节核心结论#

函数四大特性系统笔记