0.1.1 三角函数#

secx 与 cscx

• 值域：$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
• 值：用 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的倒数来算就可以
• 图像：

  • 

  • 

反三角函数

• 概念：
  • 注意：
    • 反正弦函数并不是 $y=\sin x$ 在整个定义域上的反函数，注意 $y=\arctan x$ 的值域；
    • 它仅是 $y=\sin x$ 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上的反函数，其他区间的反函数求解需要通过恒等变形平移到 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 上才能表示，反余弦函数类似；
  • 关系：arcsinx 与 sinx
    • 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 时，由反函数 $f^{-1}[f(x)]=x$ 可知：$arc\sin(\sin x)=x$
    • 在 $\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$ 时，由反函数 $f[f^{-1}(x)]=x$ 可知：$\sin(\arcsin x)\equiv x$
  • 举例：利用恒等变换平移 x：
    • 求 $\arcsin (\sin x),x\in(\frac{3}{4}\pi,\pi)$
    • 构造 $\sin x = \sin(\pi-x)$，将区间移动至 $(\frac{1}{4}\pi,0)$，此时才可以使用复合函数
    • 得到 $\arcsin (\sin x)=\arcsin(\sin(\pi-x))=\pi-x, x\in (\frac{3}{4}\pi,\pi)$
• arcsinx：
  • 值域：$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

  • 

• arccosx：
  • 值域：$[0,\pi]$

  • 

补充：$\arctan$ 的定义

• $\tan(\arctan x)= x$
• 图示

  • 

• 表格

  • 

三角函数基础

• 和差公式：
  • 公式：
    • $\begin{aligned}&\sin\left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y\\&\cos\left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y\\&\tan\left(x\pm y\right)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}.\end{aligned}$
  • 常用结论：
    • $\sin x+\cos x=\sin(x+\frac{{\pi}}{4})$
    • $\sin(n\pi+\alpha)=(-1)^n\sin\alpha$
  • 诱导公式：

    • 

• 倒数关系：
  • $\tan\alpha\cot\alpha=1、\sin\alpha\csc\alpha=1、\cos\alpha\sec\alpha=1$
• 商数关系：
  • $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}、\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• 平方关系：
  • $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1、1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha、1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$
• 二倍角公式：
  • $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
  • $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
  • $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1}=\frac{2}{\cot\alpha-\tan\alpha}$
• 半角公式：
  • $$$$

&\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}} \ &\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \ &\tan{\frac{\alpha}{2}}={\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}}={\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\pm{\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}} \ &\cot{\frac{\alpha}{2}}={\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}}={\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}}=\pm{\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}} \end{aligned}$$

• 降次与升次
  • 降次公式：
    • $\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},tan^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{1+cos2\alpha}$
  • 升次公式：
    • $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha,1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha, 1\pm\sin2\alpha=\left(\sin\alpha\pm\cos\alpha\right)^2$
  • $\cos x$ 的消 $1$ 特性：
    • 举例：$1-\cos x=1-(\cos 2*\frac{x}{2})=1-(1-2\sin^2 \frac{x}{2})=2\sin^2 \frac{x}{2}$
• 反三角函数：
  • $x=a\sin t { 时}，t=\arcsin\frac xa.$
  • $\text{x=a sect}时,t=\mathrm{arc}\cos\frac{a}{x}$

三角函数求导合集

• 正弦、余弦：
  • $(\sin x)^{\prime}=\cos x、(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
• tan、cot、sec、csc：
  • $\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$
• 反三角函数：
  • $\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(arccot x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$

0.1.2 极坐标#

极坐标基础概念

• 转换：
  • $\left\{\begin{array}{c}x=r\mathrm{cos}\theta\\y=r\mathrm{sin}\theta\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}r=\sqrt{x^2+y^2}\\\theta=\arcsin\frac yr=\arcsin\frac y{x^2+y^2}\end{array}\right.$
  • 注意：上述转换方法仅限于二者圆点相同，且极坐标参考系与直角坐标的 𝑥 轴方向相同的情况；

极坐标常见函数形式

• 射线 y=kx ，其极坐标方程：$\theta=\theta_0$
• 圆心在原点，半径为 a 的圆：$r=a$
• 圆心在 (a,0) 点，半径为 a 的圆：$r=2a\cos\theta$
• 圆心在 (0,a) 点，半径为 a 的圆：$r=2a\sin\theta$

0.1.3 参数方程#

参数方程

• 直线：
  • 形式：
    • $y=k(x-x_{0})+y_{0}$
  • 参数方程：
    • $\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha\\y=y_0+t\sin\alpha\end{cases}$
  • 图示：

    • 

• 圆：
  • 形式：
    • $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
  • 参数方程：
    • $\begin{cases}x=a+r\cos t\\y=b+r\sin t\end{cases}$
  • 图示：

    • 

初等数学常见参数方程

常见参数方程及其图形

• 星形线
  • 一般式 $x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}$
  • 参数方程 $\begin{cases}x=a\cos^3\theta\\y=a\sin^3\theta\end{cases}$
  • 图像：

    • 

• 摆线
  • $\text{参数方程 }\begin{cases}x=a (\theta-\sin\theta)\\y=a (1-\cos\theta)\end{cases}.$

  • 

• 对数螺纹线：
  • $\rho=a\mathrm{e}^{\theta}$

  • 

• 双扭线

  • 

0.1.4 对数与指数#

对数运算法则

• $log_a(mn)=log_am+log_an$
  • 注意：$\log_2{(m+n)}不能拆开为(\log_2m)*(\log_2n)$，只能进行上面的运算，两者不要弄混了；
• $log_am^n=nlog_am$
• $log_a\left(\frac{m}{n}\right)=log_am-log_an$
• $log_a\sqrt[n]{m}=\frac{1}{n}log_am$
• $\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$
• $u^v=\mathrm{e}^{v\ln u}\left(u>0\right)$

指数运算法则

a^{0}=1\left(a\neq0\right) \quad\quad\quad\quad a^{r}\cdot a^{s}=a^{r+s} \ (a^{r})^{s}=a^{rs} \quad\quad\quad\quad \frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s}(a\neq0) \ \left(ab\right)^{r}=a^{r}b^{r} \quad\quad\quad\quad a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}(a\neq0) \end{gathered}$$

对数与指数运算

• 等式两边同时取对数：
  • 作用：同时取对数，消掉指数，得对数
  • $y=(x+1)^{3}(x-2)^{2}\rightarrow lny=3ln(x+1)+2ln(x-2)$
• 等式两边同时取指数：
  • 作用：同时取指数，消掉对数，得指数
  • $y=\ln\left(x+{\sqrt{x^{2}+1}}\right)\rightarrow e^y=x+\sqrt{x^2+1}$

0.1.5 初等函数#

平方、立方、多项公式

• 三项之和平方差：
  • $\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
• 完全立方和、差：
  • $\begin{aligned}\left(a+b\right)^3&=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\\left(a-b\right)^3&=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2\end{aligned}$
• 二项式定理：
  • $\begin{aligned}&\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=a^n+\mathrm{C}_n^1a^{n-1}b+\cdots+\mathrm{C}_n^{n-1}ab^{n-1}+b^n\end{aligned}$

分子、分母有理化

• 有理化 -> 去除掉分子或者分母中的根式
• 分子有理化：
  • 将分子分母同乘以其分子中根式的共轭根式；
  • 举例：$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})*(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}=\frac{2}{x\cdot(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}$
  • 其中 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ 是 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$ 的共轭根式；
• 分母有理化：
  • 方法同分子有理化，将分子分母同乘其分母的共轭根式；
• 分子分母有理化：
  • 分子、分母先同乘分子的根式的共轭根式，然后再同乘分母的共轭根式；

裂项

• 方法：
  • 第一步：设拆项后的分式以及 A、b
  • 第二步：将带有 A、B 的式子同分，分子中带 A、B 的式子变换成标准式
  • 第三步：将带 A、B 的标准式和原式子中分子对比，系数相等，解出 A、b
• 举例：
  • $求\quad\frac{x}{x^2-5x+6}$
  • $已知\frac{x}{x^2-5x+6}=\frac{x}{(x-2)(x-3)}，设\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$
  • 通分，得到：$\frac{\text{A}(x-3)+\text{B}(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{(\text{A+B})x-3\text{A}-2\text{B}}{(x-2)(x-3)}$
  • 对比系数 x，得到：$\left.\left\{\begin{array}{c}\left(1\right)\mathrm{A}+\mathrm{B}=1\\\left(2\right)\mathrm{3A}+2\mathrm{B}=0\end{array}\right.\right.$
  • 可得：B=3, 则 A=2，即：$\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-3}$
• 举例 2：

  • 

加项、减项、拆

• 目的：
  • 进行多项式分式的化简；
• 方法：
  • 从分子的最高项开始入手，去凑与分母相同的公因式进行相消，随后依次逐个从高到低进行化简，直至化到分子最高项小于分母；

一元二次方程

• 对 $ax^2+bx+c=0\left(a\neq0\right)$：
  • $\triangle = b^2- 4ac> 0\Leftrightarrow$ 方程有两个不同的实根；
  • $\triangle = b^2- 4ac= 0\Leftrightarrow$ 方程有两个相等实根；
  • $\bigtriangleup=b^2-4ac<0\Leftrightarrow$ 方程有一对共轭复根
• 求根公式：
  • $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

求解三次方程

• 第一步：将方程改写成 $x^3+bx^2+cx+d=0$ 的形式；
• 第二步：猜根，根据 d 猜测其可以分解成哪三个数的乘积；
• 第三步：整理，分解因式 -> 先将其整理成 $(x-x_0)\left(x^2+px+q\right)=0$ 的形式，求解 $x^2+px+q=0$ 得到另外两个根；

结论

• 反正切函数：
  • $\arctan x+\arctan\frac1x\equiv\frac\pi2(x>0).$
• 下面指数直接写值：
  • $(-1)^{2n}=1\quad\quad(-1)^{2n-1}=-1$
  • $n\to\infty时,\quad(-1)^{n-3}=(-1)^{n-1}$
  • $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)$

0.2.1 直线#

直线常用形式

• 点斜式：$y-y_0=k\left(x-x_0\right)$
• 两点式：$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right)\rightarrow \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}.$
• 标准式：$Ax+By+C=0$

点到直线距离公式

• 距离公式：
  • $d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

法线、切线

• 切线方程：$y-y_{0}=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})$
• 法线方程：$y-y_0=-\frac1{f^{\prime}(x_0)}(x-x_0)$

0.2.2 圆与椭圆#

圆及其标准形式

• 标准形式：$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
• 周长：$2\pi R$
• 面积：$\pi R^2$
• 圆的表面积：$S=4\pi R^2$
• 圆的体积公式：$\frac{4}{3}\pi R^3$

圆锥的体积

• S 为圆锥的底面积，H 为圆锥的高，则：
• $S_{圆锥}=\frac{1}{3}SH$
• 若圆锥底面的半径为 R，则：
• $S_{圆锥}=\frac{\pi}{3} R^2H$

椭圆及其面积

• 椭圆方程： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
• 偏心椭圆方程：
  • x 轴平移 m，沿 y 轴平移 n
  • $\frac{\left(x-m\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-n\right)^2}{b^2}=1$
• 椭圆面积：$S=\pi ab$

0.2.3 三角形面积#

概念：三角形的两个面积公式

• 设 x、y、z 是三角形的两个边，并且 y 为三角形的底边，h 为三角形的高，三角形的周长为 2p
• $S=\sqrt{p(p-x)(p-y)(p-z)}=\frac12yh$

0.2.4 体积#

概念

• 四面体体积：
  • $V_{四面体}=\frac{1}{3}S_{底面积}*高$

0.3.1 数列求和#

等差与等比数列

• 等差数列求和：$s_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$
• 等比数列求和：$s_n=\begin{cases}na_1,\quad(q=1),\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},\quad(q\neq1).\end{cases}$

常用求和结论

• $\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{4k^{2}-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2k+1})$
• $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
• $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

0.3.2 数学归纳法#

第一数学归纳法

• 第一数学归纳法适合于递推式只涉及到 $a_1$ 和 $a_n$ 两项的命题，其步骤为：
• （1）验证 n=1 时命题正确；
  • 将 n=1 代入等式左右两边，看是否成立；
• （2）假设 n=k 时命题正确；
  • 自己设一个任意数 k，并且假设现在这个 k 就是 n，代入到式子左右两边；
• （3）证明 n=k+1 时命题正确
  • 取 n=k+1，将其代入式子左边（求和式）与右边，将其整理为 n=k+1 的等式形式；

第二数学归纳法

• 举例：
  • 设 $D_n= 2aD_{n- 1}- a^{2}D_{n- 2}$ , $D_{1}= 2a$, $D_2=3a^2\left(a\neq0\right)$,利用数学归纳法证明：$D_n=\left(n+1\right)a^n.$
• 第二数学归纳法适合于递推式涉及到 $a_{n-1}$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 三项的命题，其步骤为：
• （1）验证 n=1 和 n=2 时命题正确;
  • 当 $n=1$ 时 $D_1=2a=\left(1+1\right)a^{1}$,
  • 当 $n=2$ 时，$D_2= ( 2+ 1) a^2$,命题成立，
• （2）假设 n<k 时命题正确；
  • $\text{设}n<k\text{时, 有}D_n=\left (n+1\right) a^n\text{成立}$
• （3）证明 n=k 时命题正确；
  • 则当 n=k 时，$\begin{aligned}&D_k=2aD_{k-1}-a^2D_{k-2}=2a\left(ka^{k-1}\right)-a^2\left[\left(k-1\right)a^{k-2}\right]\end{aligned}=\begin{pmatrix}k+1\end{pmatrix}a^k.$
  • 由数学归纳法可知其成立；

0.4.1 复数#

概念

• 复数：$\text{对任意两实数x,y,称 z=x+iy 或 z=x+yi 为复数}$
• 运算：$i^2=-1\quad i=\sqrt{-1}\quad\text{i 称为虚部}$
• 举例：$\sqrt{-4}=2\sqrt{-1}=2i$

0.4.2 物理应用#

0.4.3 常用不等式#

基本不等式

• 乘法、开方原则：
  • $(\text{乘方法则})a>b>0\Rightarrow a^{n}>b^{n}(n\in N,\text{且}n>1) ;$
  • $\\(\text{开方法则})a>b>0\Rightarrow\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n\in N,\text{且}n>1)$
• 基本不等式：
  • $a^2+b^2\geq2ab，当且仅当a=b时取等号$
  • $\frac{a+b+c}3\geq\sqrt[3]{abc} (a,b,c\in R^+)$

高数常用不等式

• 绝对值不等式：
  • $-|x|\leqslant x\leqslant|x|$
  • $|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$
  • $|\sin x|\leqslant1$
• 常用其他不等式：
  • $\begin{aligned}&(1) \left|\sin x\right|\leqslant\left|x\right|, \forall x\in R , \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(2) \left|x\right|\leqslant\left|\tan x\right|, \forall x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), \text{当}x=0 \text{时取等号};\\&(3) \frac{x}{1+x}\leqslant\ln\left(1+x\right)\leqslant x , \forall x\geqslant0 ;\end{aligned}$
  • $\ln n<\sqrt n$
• 积分不等式：
  • $f(x){\leqslant}g(x)\text{,则}\int_a^bf(x)dx{\leqslant}\int_a^bg(x)dx .$
  • $\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leqslant\int_a^b\left|f(x)\right|dx(a<b)$
  • $\text{ 设}M\text{ 及}m\text{ 分别是函数}f(x)\text{在区间}[a,b]\text{上的最大值和最小值,则:}$
    • $\\m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)dx\leqslant M(b-a)(a<b)\text{(积分估值定理)}$

1.3.1 利用基本极限求极限#

常用基本极限

• $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1;$

幂指数与根号

• $\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e;$
  • 是 $1^\infty$ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的；
  • $\lim_{x\to0}(1+\frac{1}{x})^{x}$ 不存在，因为 x 趋向于 0 时，还可以是趋向于 0 负；
  • 易错点：注意以下极限不等于 a； $\lim_{n\to \infty} a(\frac{n}{{n+1}})^n=\frac{a}{e}$
• $\lim_{x\to0^+}(1+\frac{1}{x})^{x}=1$
• $\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e;$
  • 是 $1^\infty$ 型，且括号内的幂底数是大于 0 的
  • $\lim_{x\to\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}$
• $\lim_{x\to+\infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=1$
• $\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}x=\ln a;$
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.$
  • 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,(a>0).$
  • 注意这里是 n ，所以是趋向于正无穷；

分段函数

• $\left.\lim_{{x\to\infty}}\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{{b}_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left|\begin{array}{ll}\frac{a_n}{b_m},&n=m,\\0,&n<m,\\\infty,&n>m.\end{array}\right.\right.$
  • 分子分母这么多项，结果主要取决于最大的数（最高次数）；
  • 注意 x 是趋向于无穷。
  • 当 x 趋向于 0 时，此时函数的值应该取决于最小的数（最低次数）；
• $\lim_{{n\to\infty}}x^n=\begin{cases}\begin{array}{c}\mathbf{0},&|x|<1,\\\infty,&{|x|>1}\\1,&{x=1}.\end{array}\\\text{不存在,}&x=-1.&\end{cases}$
• $\lim_{n\to\infty}e^{{nx}}=\begin{cases}0,&x<0,\\+\infty,&x>0\\1,&x=0.&\end{cases}$

1 的无穷大次方

• 对 $1^{\infty}$ 而言，其结果是不定式，不一定等于 1；
• $\text{若 }\lim\alpha(x)=0,\lim\beta(x)=\infty,\text{ 且 }\lim\alpha(x)\beta(x)=A。\text{则 }\lim(1+\alpha(x))^{\beta(x)}=e^A$
  • 即核心在 $\lim\alpha(x)\beta(x)=A$，看它是否成立；
• 方法三部曲
  • 1. 写成标准形式：$\text{原式 }=\mathbf{lim}[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}$；
  • 2. 求极限：$\lim\alpha(x)\beta(x)=A;$
  • 3. 写结果：$\text{原式}=e^A.$

1.3.2 等价无穷小代换#

等价代换的原则

• 1. 乘除关系可以换
  • $\text{若 }\alpha\sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1,\text{则}\lim\frac\alpha\beta=\lim\frac{\alpha_1}\beta=\mathbf{lim}\frac\alpha{\beta_1}=\mathbf{lim}\frac{\alpha_1}{\beta_1}$
• 2. 加减关系在一定条件下可以换
  • 减法
    • $\text{若 }\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{-}\beta_1$
    • 减法换的条件：两个减法项不等价，A 不等于 1；
    • 比如：$sin2x - tanx$ ~ $2x - x$
  • 加法
    • $\text{若}\alpha{\sim}\alpha_1,\beta{\sim}\beta_1,\text{且 }\lim\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq-1.\text{ 则 }\alpha{-}\beta{\sim}\alpha_1{+}\beta_1$
    • 减法换的条件：两个加法项不等价，A 不等于 -1；

常用等价无穷小

• 当 x 趋向于 0 时；
• ${(1+x)^\alpha-1}\sim{\alpha x}$
• $e^{x}-1\sim x$
  • 幂指函数的代换；
• $x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\thicksim e^x-1;$
  • 变式：$\ln q(x)\sim q(x)-1,q(x)\to1$
• $a^x-1\sim x\ln a,\quad{(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x},\quad1-\cos x\sim\frac12x^2$

高阶等价无穷小

• $x-\sin x\sim\frac16x^3$，$\tan x-x\sim\frac13x^3$
• $\arcsin x-x\sim\frac16x^3\quad x-\arctan x\sim\frac13x^3$
• $x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2$

两个等价无穷小的更通用形式

• $\log^{a}(1+2x)\sim(2x)^{a}=2^{a}x^{a}$
• $(1-ax)^{\frac{1}{\alpha}}\sim(\frac{1}{2}x^{2})^{\frac{1}{\alpha}}$

1.3.3 有理运算法则计算极限#

计算前提

• 极限的加减乘除运算可以拆开来计算，前提是：每个被拆开部分的极限需要存在；

运算规则

• 规则：
  • $$$$

lim(f(x)\cdot g(x))=\lim f(x)\cdot\lim g(x) \\quad\quad\quad\quad\quad\quad lim\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\quad(B\neq0)