Lecture 30：分部积分法

1.1.1 基本概念#

1.1.2 例题#

例题：$\int xe^xdx$

• 分析
  • 由于 $ex$ 的积分比较好求，所以需要考虑如何把 ex 放到 vdu 的位置上；
  • 但也可以考虑把 x 放到 vdu 的位置上，但是要更难做一些；
• 解析
  • $\int xe^xdx=\int x\operatorname{de}^x=xe^x-\int e^x\operatorname{dx}$
  • $\int\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}=\times\mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{d}$
• 题型： #分部积分法

例题：$\int x sin xdx$

• 分析
• 解析
  • 原式的等于： $-\int xdcosx=-\left[x\cos x-\int\cos dx\right]$
• 题型： #分布积分法

例题：$\int sec^3 xdx$

• 分析 +
• 解析
  • 原式： $\int\sec^{3}xdx=\int\sec xd\tan x=\sec xdx-\int\tan^{2}x\sin xdx$ $=\sec x\tan x-\int\sec^3xdx+\int\sec xdx$
  • 此时，由于原式的右边也出现了一个 sec 3 xdx 的负，所以可以将其放到右边去
  • $\int sec^3x\mathrm{~d}x=\frac12\left[secxtanx+\ln|\sec x+\ln x|\right]+\mathrm{C}$
    • 其中的 1\2 是因为右边的 sec 移到左边去了；
• 题型： #分部积分法