Lecture 40：多元复合函数的求导法则

定义： #多元函数的极限#

描述： $\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$

解释

• 1. 多元函数极限的趋向性：
  • 一元里面，自变量只有一个，因此趋向于目标点、趋向的方式比较简单，只能沿着 X 轴；
  • 但在二元里面，自变量有两个，但 $(x,y)$ -> $(x_0,y_0)$ 是以任意方式
  • 必须保证在任何方向下，函数值都等于极限值（类似于一元极限中左右极限相等），此时才可以认为此重极限存在；
• 2. 五大性质
  • （1）局部有界性；
  • （2）保号性；
  • （3）有理运算法则；
  • （4）极限与无穷小的关系；
  • （5）夹逼性；
  • 注意：没有洛必达；

定义： #偏导数#

描述：如果是对 $z=f(x,y)$ 函数，会有两个偏导数的定义：

1. 对 X 的偏导数：对 X 偏导时，Y 固定在 $y_0$ 处（对 x 没有任何影响），$x在x。处有\Delta x$ 的增量，此时只有 x 一个变量，此时称： $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$ 为对 X 的偏导数； 记作： $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0})},\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_{0},y_{0})},z_{_z}(x_{0},y_{0})或$ $f_{x}(x_{0},y_{0})$
2. 对 Y 的偏导数：和 X 同理， $lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$ 记为： $\left.\text{}\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})},\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_{0},y_{0})},z_{y}(x_{0},y_{0})\text{或}f_{y}(x_{0},y_{0}).$

解释

• X 的偏导数：
  • 解释：
    • 本质上就是对 x 的一元函数导数，表示沿着 X 轴方向上、函数的变化率；
  • 其他形式：$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$
• Y 的偏导数：
  • 解释：
    • 本质上就是对 y 的一元函数导数，表示沿着 Y 轴方向上、函数的变化率；
  • 其他形式：
    • $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
• 总结：本质上就是一元函数的导数；

方法：如何求对 x 或者 y 的偏导

• 当 $z=f(x,y)$ 时，把 y 或者 x 视为常数，直接对 x 或者 y 求导；
• 例：$z=x^{2}+3xy+y^{2}在(1.2)处$ 的偏导数；
  • 第一步：求出偏导后的函数
    • 对 x 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y$
    • 对 y 求偏导：$\frac{\partial z}{\partial y}=3x+2y$
  • 第二步：将 $(1.2)$ 点带入对 x 求偏导或者对 y 求偏导后的函数： 2 x+3 y 或者 3 x+2 y，即可得到结果

定义： #二元函数偏导数的几何意义#

描述： 曲面 $Z=f(x,y)$

1. $f_x(x_0,y_0)$ 代表的是在 $y=f(x)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $y=f(x)$ 的切线；
2. $f_y(x_0,y_0)$ 代表的是在 $x=f(y)$ 这一直线上，$x_0$ 点对 $x=f(y)$ 的切线；

定义： #高阶偏导数#

描述： $\frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=f_{xx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\biggl(\frac{\partial z}{\partial x}\biggr)=\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{xy}^{\prime\prime}$ $\frac{\partial}{\partial x}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y\partial x}=f_{yx}^{\prime\prime}\quad\frac{\partial}{\partial y}\Bigg(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigg)=\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}=f_{yy}^{\prime\prime}$

解释

• 混合偏导数：
  • $f_{xy}^{\prime\prime}$
  • $f_{yx}^{\prime\prime}$

定理： #高阶偏导数定理#

描述：如果函数 $z=f(x,y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则在该区域内： $\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}$

解释

• 先对 x 或者先对 y 时，极限值一样；

PART 1：解题方法#

判断方法

• 判断是否可微：
  • 1. 定义法：
    • 第一步：判断 $f_{x}(x_{0},y_{0})与 f_{y}(x_{0},y_{0})\text{ 是否都存在}$；
    • 第二步：使用以下定义，判断其重极限是否存在；
      • 公式： $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0,}y_{0})\Delta y]}{\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}}是否为零$
• 判断是否可导：
  • 1. 定义法：分别求对 x 的偏导、y 的偏导，使用偏导数定义、分析偏导数对应的一元函数导数是否存在；
    • 公式（X 偏导）：$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)}{\Delta x}$
  • 2. 先带后求：
• 判断是否连续：
  • 1. 定义法：
    • （1）证明连续：在某点的函数值是否等于其函数的极限值，如果等于、则连续；
    • （2）证明不连续：同；
  • 2. 特殊 y 值法：
    • 用某一固定的 y 的函数带入函数当中，经常用于证明不连续；
    • 常用形式：
      • $y=kx$
      • $y=0$
• 判断偏导数是否连续：
  • 注意：
    • 多元函数连续 ≠ 多元函数偏导数连续；
    • 偏导数是否连续，是指的 对 X 或对 Y 的偏导数 这个导函数是否连续；
  • 1. 定义法：利用对 X 或对 Y 的偏导数函数定义求解：
    • 如果以下公式不成立，则偏导数不连续；
    • 公式（对 X 的偏导数函数）：$\lim_{x\to0,y\to0}f_{x}(x,y)=f_{x}(0,0)$

PART 2：典型例题#

例题：二元函数 $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ 在点 $(0,0)$ 处连续、偏导数是否存在？

• 分析
  • 判断是否连续 -> 这一点的函数值是否等于函数的极限值；
• 解析
  • 判断连续：
    • 对 $\lim_{x\to0,y\to0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ 用 $y=kx$ 带进去，得到证明其极限不存在 -> 不连续；
  • 判断偏导数：
    • 求 x 的偏导：$f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}$ -> 偏导数为 0；
    • 求 y 的偏导：方法和对 x 求类似，得到的结果也是偏导数为 0；
    • 所以偏导数存在；

PART 3：知识点复盘#