Lecture 43：多元函数的极值与最值

定义： #多元函数的极值#

描述：在一个邻域中，多元函数的最大值或者最小值； 若在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域中恒成立不等式：$f(x,y)\leq f(x_0,y_0)\quad(f(x,y)\geq f(x_0,y_0))$ 则称 f 在点 $(x_0,y_0)$ 取得极大值 (极小值)，点 $(x_0,y_0)$ 称为 f 的极大值点 (极小值点)； 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；

解释

• 举例
• $z=3x^{2}+4y^{2}在(0.0)$ 处为极小值；
• $z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}在\quad(0.0)$ 处为最大值

定义： #多元函数的驻点#

描述：多元函数的偏导数等于 0 的点，称之为多元函数的驻点；

解释

• $f_{x}^{\prime}=0.f_{y}^{\prime}=0$ 同时存在的点，称之为驻点；

定理： #多元函数极值存在的必要条件#

描述：如果 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有偏导数，并且在 $(x_0,y_0)$ 处取得极值，则有：$f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0，f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0$

解释

• 必要条件：
  • 一点的两个一阶偏导数必须等于零，这是取得极值的必要条件，但不是充分条件；
  • 缩小范围；
• 驻点和极值点的关系：
  • 一般情况下：
    • 概念：
      • 驻点不一定都是极值点；极值点也都不一定是驻点 <- 比如 $|x|+|y|$；
    • 结论：
      • 两种情况：可能的极值点
      • （1）驻点 <- 主要是这种情况；
      • （2）$f_x$ 和 $f_y$ 都不存在
      • （3）$f_x$ 不存在，$f_y=0$
      • （4）$f_y$ 不存在，$f_x=0$
  • 可导的前提：
    • 概念：
      • 如果 $z=f(x,y)$ 可导的前提下，极值点一定是驻点；
    • 结论：
      • 极值点只需要找驻点；

定理： #极值的充分条件#

描述：多元函数的驻点极值性判断 当 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有二阶连续偏导数，又 $f_x^{\prime}(x_0,y_{0})=f_y^{\prime}(x_0,y_{0})=0$ 时，$A=f_{xx}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad B=f_{xy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})\quad\quad C=f_{yy}^{\prime\prime}(x_{0},y_{0})$；

1. 如果是 $AC-B^{2}>0$，则有极值
2. A<0，是极大值；
3. A>0，是极小值；
4. 如果是 $AC-B^{2}<0$，则无极值
5. 如果是 $AC-B^{2}=0$，则只能用定义判断

解释：总结

• 找到驻点后，只需要是不是极值，只需要使用这一个充分条件判断方法即可

定义： #条件极值#

描述：已知 $z=f(x,y)$，其极值在 $\varphi(x,y)=0$ 的条件之下，求其极值为条件极值；

解释

• 和无约束极值的区别：
  • 无约束极值：在定义域内上的极值，即在定义域内、局部的最高或者最低点；
  • 有约束极值：有约束的内容 $\varphi (x, y)=0$ 在几何上通常是一条线，即在一条曲线上、局部最低和局部最高；
• 举例：
  • 在 $z=f(x,y)$ 中： $z=f(x,\varphi(x))$
  • 其中用 z 对 x 求导：$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}$
  • 写出 $\frac{dz}{dx}\vert_{x=x_{0}}=f^{\prime}(x_{0},y)+f^{\prime}(x_{0},y)\frac{dy}{dx}\vert_{x=x_{0}}=0$

定理： #拉格朗日乘数法#

描述： （1）单个约束条件时：令 $F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ 则取到极值的必要条件为：$\begin{cases}F_x=f_x^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_x^{\prime}(x,y)=0,\\F_y=f_y^{\prime}(x,y)+\lambda\varphi_y^{\prime}(x,y)=0,\\F_\lambda=\varphi(x,y)=0,\end{cases}$ （2）多个约束条件时：$f(x,y,z)\text{ 在条件 }\varphi(x,y,z)=0,\psi(x,y,z)=0$ 条件下的条件极值 令 $F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$

解释

• 解释：
  • $\lambda$ 是一个参数
• 意义：
  • 将二元函数在约束前提下的取得条件极值的必要条件，转化为大 F 这样一个三元函数的无条件极值的必要条件问题 -> 对三个偏导数等于 0；
• 注意：
  • 这个约束条件解出来的点，得到的点是可能取得的极值点，而不是一定；

定理： #n元拉格朗日乘数法#

描述：以上方法可推广到对于 $n$ 元函数在 $m$ 个约束条件下的极值问题， 如求 $u=f(x,y,z)$ 在条件 $\varphi(x,y,z)=0,\psi(x,y,z)=0$ 下的极值，可构造拉格朗日函数：$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z).$ 对 $F$ 的 $x,y,z,\lambda,\mu$ 分别求偏导数，并构造方程组：$\begin{aligned}&f_{x}^{\prime}(x,y,z)+\lambda\varphi_{x}^{\prime}(x,y,z)+\mu\psi_{x}^{\prime}(x,y,z)=0,\\&f_{y}^{\prime}(x,y,z)+\lambda\varphi_{y}^{\prime}(x,y,z)+\mu\psi_{y}^{\prime}(x,y,z)=0,\\&f_{z}^{\prime}(x,y,z)+\lambda\varphi_{z}^{\prime}(x,y,z)+\mu\psi_{z}^{\prime}(x,y,z)=0,\\&\varphi(x,y,z)=0,\\&\psi(x,y,z)=0.\end{aligned}$解出 $x,y,z,\lambda$ 及 $\mu$,则其中 ($x,y,z)$ 就是可能的极值点.

PART 1：解题方法#

题型：知道函数的全微分，判断极值

• 求解指导：
  • 一般先使用方法三或方法一；
• 方法一：极值的充分条件
  • 利用极值的充分条件。先利用全微分，知道对 x 以及对 y 的偏导数，然后使用偏导数，分别求 A、B、C 的值，利用公式判断；
• 方法二：偏积分
  • 核心：知道全微分 -> 使用偏积分求函数；
  • 举例：当二元函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz = xdx + ydy$ 时，可以求其偏微分
    • $z_{x}=x\quad\quad z=\int xdx=\frac{1}{2}x^{2}+q(y)$
    • $z_{y}=y \quad\quad z_{y}=q^{\prime}(y)=y,q(y)=\frac{1}{2}y^{2}+c$
    • 所以 $z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})+c$
• 方法三：凑微分
  • 核心：知道全微分 -> 使用微分概念凑微分 -> 得到原函数；
  • 举例：$dz=xdx+ydy=d(\frac{1}{2}x^2)+d(\frac{1}{2}y^{2})=d(\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}))$
    • 因为微分相等，因此两者只能相差常数，所以 $z=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})+c$

题型：知道函数形式，求极值点

• （1.1）没给可能的极值点：
  • 对函数的 x、y 分别求偏导，令其偏导等于 0，找出可能的驻点（如果没给出可能的极值点）
• （1.2）给了可能的极值点：
  • 利用必要条件判断 -> 判断是否是驻点：
  • 极值点存在的必要条件 -> $f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0，f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0$
• （2）充分条件判断：利用 ABC 公式判断
• 注意：
  • 如果计算 ABC 很麻烦时，可以“先代后求” -> 对 Y 求时，先把 X 带入进去，同理对 X 时；

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#

PART 1：解题方法#

题型：条件最值问题

• 概念：
  • 使用拉格朗日乘数法，把函数所有可能取得的极值点先找来，然后不需要判定、把所有可能的极值点做一个比较，得到最值；
• 解题步骤：
  • （1）构造拉格朗日函数；
  • （2）求偏导；
  • （3）找驻点；
    • 得到几个等于 0 的等式，根据等式求解 x、y 可能的取值；
  • （4）对每个点比较，判断最大值和最小值；

题型：已知全微分，求最值

• 方法：
• （1）先根据全微分，求出原函数；
  • 两种方法 -> 偏积分、凑微分；
• （2）求出区域的最值点；
  • 1. 区域内部的可能极值点；
  • 2. 边界曲线上的最大最小值；
    • 方法一：
      • 利用条件，将条件极值化成无约束极值；
    • 方法二：
      • 一般方法，是拉格朗日乘数法；
    • 方法三：
      • 参数方程
  • 3. 把边界上的最大最小值，和区域内部可能的极值进行比较；

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#