Lecture 53：常数项级数

定义： #常数项级数#

描述： $\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$

解释

• 概念：
  • 常数项级数表示有无穷项，每一项都是常数；
  • 因为是无穷项，所以常数项级数就是有无穷项个常数的常数项级数；
  • 用 $u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示，$u_{n}$ 表示一般项；
  • 无穷项和，是使用有限项和（部分和）取极限而得到的；
• 相加求和：
  • $\sum_{i=1}^{\infty}u_{i}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$；
• 部分和
  • 表示前 n 项的和；
  • $S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$；

定义： #常数项级数收敛#

描述： $u_{1}, u_{2},\cdots u_{n},\cdots$ 表示常数项，$S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$ 表示前 n 项的和； 若： $\lim_{n\to+\infty}S_{n}=\sum_{n=1}^\infty u_n$ 则当前常数项数列为收敛的，若是没有极限，则是为发散的；

解释

• 两个问题：
  • 敛散性 -> 极限是否存在 <- 这个问题更为核心；
  • 级数的值 -> 极限的值；

等比数列分析：$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots+aq^{n-1}...$ ，等比数列，a 不等于 0，求其收敛性质；

• 当 q 不等于 1 时，$S_{n}=\frac{a(1-q^{n})}{1-q}$
  • 当 q 小于 1 时，此时其极限即为 0 -> 收敛；
  • 当 q 大于 1 时，此时其极限不存在 -> 发散；
• 如果 q 等于 1
  • 若 q=1，则 $a+a+a+\cdots$，无穷个 a 相加为无限，因此发散；
  • 若 q=-1，则 $a-a+a-a+a-a+\cdots$
    • 奇数项 -> 极限为 a；
    • 偶数项 -> 极限为 0；
    • 所以极限不存在 -> 发散；

PART 1：解题方法#

解题步骤

• 第一步：判断级数类型
  • 正项、交错、任意项
• 第二步：根据级数，选择方法
  • 正项级数 -> 用敛散性的五类判别法，做判定；
  • 交错级数 -> 一个方法；
  • 任意项级数 -> 一个方法；
• 第三步：如果无法做出判定，此时可以使用定义和性质来进行判定
  • 定义和性质是适用于所有类型的级数的；

解题方法

• 考试的时候通常是考选择题，更建议使用直接法：找到对的选项，说明它对，而不是使用排除法、一个个找反例证明其他选项错；
• 如何找：对当前选项，如果是错的，直接进入下一个；如果不清楚对错的，也先进入下一个，可能正确的就在后背；

常用结论

• $\sum_{n=1}^{+\infty}|b_{n|}收敛\rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}(b_{n})^{2}收敛$

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#