多项式因式分解技巧

适用场景#

多项式项数较多（通常 4 项），前后分组后能提取公因式。

解题步骤#

1. 合理分组 将多项式拆分为两组： $(x^3+3x^2)-(x+3)$

2. 组内提取公因式 前一组提取 $x^2$，后一组提取 $-1$： $x^2(x+3)-1(x+3)$

3. 组间整体提公因式 把公共整体 $(x+3)$ 提取出来： $(x+3)(x^2-1)$

4. 分解至不能再拆 利用平方差公式继续分解 $x^2-1$： $\boldsymbol{(x+3)(x+1)(x-1)}$

适用场景#

看不出分组规律、高次多项式优先使用。

试根优先从小到大尝试：$\pm1、\pm2、\pm3\dots$

解题步骤#

1. 列出候选有理根 首项系数为 1 时，整数根为常数项的因数。 本题常数项 $-3$，候选根：$\pm1,\pm3$。

2. 代入验证根 将 $x=1$ 代入原式结果为 0，因此 $(x-1)$ 是原式因式。

3. 多项式除法降次 原式除以 $(x-1)$，得到二次商式：$x^2+4x+3$。

4. 二次式十字相乘分解 最终结果： $\boldsymbol{(x-1)(x+1)(x+3)}$