Lecture 33：定积分的应用

定义： #反常积分#

描述：积分区间无限或被积函数无界的积分，称为反常积分；又称之为广义积分；

解释

• 当趋于无限时，极限有值，则称积分收敛；

上下界都是无穷时

• 求 ：从负无穷到正无穷的所有值：
  • $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$
  • 必须这两个极限都存在、都收敛，此时当前上下界反常积分才收敛；

推论：广义牛顿-莱布尼茨公式

• $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{+\infty}$

定义： #无穷区间上的反常积分#

描述：

1. 定义一： $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\to+\infty}\int_{a}^{t}f(x)dx$ 若这个极限存在，则称这个反常积分是收敛的；反之则为发散的；
2. 定义二：$\int_{-\infty}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to-\infty}\int_{t}^{b}f(x)dx$ 与定义一同理；
3. 定义三：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{+\infty}f(x)dx$ 若这两个都收敛，则收敛；否则发散；

解释

• 无穷区间上的积分，使用有穷区间上积分的极限来定义的；
• 收敛时可以求值；

定理： #比较判别法#

描述：用于判断反常积分的敛散性； $\text{设 }f (x), g (x)\text{ 在 }[a,+\infty)\text{ 上连续, 且 }0\leq f (x)\leq g (x)\text{, 则}$ $1)\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\text{收敛}\Rightarrow\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\text{收敛}$ $2) \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\text{发散}\Rightarrow\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\text{发散}$

解释

• 大的收敛，小的一定收敛；大的发散，小的不一定发散；
• 小的发散，大的一定发散；小的收敛，大的不一定收敛；

补充：放大缩小的初步判断

• 观察函数中变量 x 的次数，如 $\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}$ 中分母 x 为 $3/2$，及收敛；

使用举例

• 例题： $\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}dx.$
• 将分母放大，使其符合常用结论的形式 -> $\frac{\sqrt{x}}{1+x^{2}}<\frac{\sqrt{x}}{x^{2}}=\frac{1}{x^{3/2}}$
• 因为 P>1 ，所以收敛 -> $\int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+x^2}dx.$ 收敛；

定理： #比较判别法的极限形式#

描述： 比较判别法： $\text{设 }f(x),g(x)\text{ 在 }[a,+\infty)\text{ 非负连续},\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda\text{,则}$ $1)当\lambda>0时,\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\text{与}\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\text{同敛散;}$ $2)当\quad\lambda=0\text{ 时,}\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\text{ 收敛 }\Rightarrow\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\text{ 收敛}$ $3)当\lambda=+\infty 时,\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\text{发散}\Rightarrow\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\text{发散}.$ 常用结论：$\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^{P}}dx\begin{cases}P>1&\text{收敛}\\P\leq1&\text{发散}\end{cases}(a>0)$

定义： #无界函数的反常积分#

描述：

1. 定于一：如果函数 $f(x)$ 在点 a 的任意邻域内都无界，则点 a 为函数 $f(x)$ 的瑕点：$\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^bf(x)dx$
2. 定义二：设点 b 为函数 $f(x)$ 的瑕点：$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\to b^{-}}\int_{a}^{t}f(x)dx.$
3. 定义三：设点 c 为函数 $f(x)$ 的瑕点 $(a<c<b)$：$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$

定理： #比较判别法#

描述： $\text{设 }f (x), g (x)\text{ 在 }(a,b]\text{ 上连续, 且 }0\leq f (x)\leq g (x)\text{, 则}$ $1)\int_{a}^{b}g(x)dx\text{收敛}\Rightarrow\int_{a}^{b}f(x)dx\text{收敛}$ $2) \int_{a}^{b}f(x)dx\text{发散}\Rightarrow\int_{a}^{b}g(x)dx\text{发散}$

定理： #比较判别法的极限形式#

描述： 比较判别法： $\text{设 }f (x), g (x)\text{ 在 }(a, b]\text{ 非负连续},\lim_{x\to a^1}\frac{f (x)}{g (x)}=\lambda\text{ ,则}$ $\text{1)当}{\lambda>0}_{a}\text{时,}\int_{a}^{b}f(x)dx\text{与}\int_{a}^{b}g(x)dx{\text{同敛散};}_{a}\\\text{2)当}\lambda=0\text{ 时,}\int_{a}^{b}g(x)dx\text{收敛}\Rightarrow\int_{a}^{b}f(x)dx^{1}\text{收敛};\\\text{3)当}\lambda=+\infty\text{时,}\int_{a}^{b}g(x)dx\text{发散}\Rightarrow\int_{a}^{b}f(x)dx\text{发散}.$ 常用结论：$\int_a^b\frac1{\left(x-a\right)^P}dx,\int_a^b\frac1{\left(b-x\right)^P}dx\quad\begin{cases}{P}<1&\text{收敛}\\P\geq1&\text{发散}\end{cases}$

概念引入

• 假设当前函数为 $y=1/x$，然后当前要求函数从 0 到 1 的积分；
  • 此时在 0 点因为极限无定义，此点又被称作瑕点；
• 这种无界函数的反常积分又被称之为瑕积分；

瑕积分的欺骗性

• 只看求定积分的上下限，无法判断当前积分是否是瑕积分；
• 需要看当前函数存在的条件，是否符合；

PART 1：解题方法#

判断敛散性方法

• 1. 定义法；
  • 根据当前被积分式，求出其原函数，求原函数在被积分区间上的极限，看起极限值是否收敛；
• 2. 比较判别法；
  • 比较法；
  • 比较法的极限形式；
• 3. P 积分；
  • 注意：
    • 无穷限反常积分 -> $P>1$ 时收敛，$P<1$ 时发散
    • 无界函数的反常积分 -> $P<1$ 时收敛，$P>1$ 时发散
• 哪个方便用哪个；

注意：涉及 $\mathrm{e}^{\infty}$ 要注意分左右；

PART 2：典型例题#

例题：$\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

• 分析
  • 方法一：用定义
  • 方法二：用 P 级数
• 解析
  • 方法一：
    • $\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$ 求原函数 -> 就是 2 根号 x，此时直接求其极限；
  • 方法二：
    • 因为根号 x 是 P 级数中的二分之一，所以发散；
• 题型： #反常积分的敛散性

例题：$\text{反常积分 }\int_{0}^{+\infty}\frac1{x^a(1+x)^b}dx{\text{收敛,则}}$

• 分析
  • $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^{a}(i+x)^{b}}dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{a}(i+x)^{b}}dx+\int_{1}^{ts}\frac{1}{x^{a}(i+x)^{b}}dx$
  • 这两个都需要收敛；
  • 对左边的分析：
    • 使用比较法：$\lim_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{x^{a}(x+x)^{b}}}{\frac{1}{x^{a}}}=1$
    • 所以和 P 积分同敛散性 -> $a<1$
  • 对右边的分析：
    • $\frac1{x^{a+b}(1+\frac1x)^b}$
    • 因为趋向于无穷，所以 1+1/x 就是 1，所以只用看 $a+b$
    • 使用比较法的极限形式：$\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1{x^{a}(x)^{b}}}{\frac1{x^{a+b}}}$ -> $a+b>1$
• 解析
• 题型：#

PART 3：知识点复盘#

PART 1：解题方法#

什么是反常积分的计算

• 定义：
  • 算个定积分 + 算个极限；
• 方法：
  • 方法一：换元法
  • 方法二：分部法

PART 2：典型例题#

例题：$\int_{2}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{(x+7)\sqrt{x-2}}=$

• 分析
  • 解法一：换元法
    • 令 $\sqrt{k-2}=t,\quad x-2=t^{2}$
    • 所以：$\int_{0}^{+\infty}\frac{2t}{t(t^{2}+9)}dt=2\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{9+t^{2}}$
    • $=\frac{2}{3}\arctan\frac{\pi}{3}|_{0}^{+\infty}=\frac{2}{3}\left[\frac{\pi}{2}-0\right]$
  • 解法二：凑微分
    • 原式 = $\int_{2}^{+\infty}\frac{2d\sqrt{x-2}}{9+(\sqrt{x-2})^{2}}$
• 解析
• 题型：#

PART 3：知识点复盘#