函数四大特性 系统笔记

证法 1：基本不等式法（最快解法）#

利用均值不等式 $a^2+b^2 \ge 2|ab|$ 直接放缩：

1. 对任意实数$x$，令$a=1,\ b=x$，得 $1+x^2 \ge 2\cdot1\cdot|x| = 2|x|$

2. 两边取倒数（正数区间，不等号反向）：$\frac{1}{1+x^2} \le \frac{1}{2|x|}\quad (x\neq0)$

3. 对函数取绝对值放缩： $|f(x)| = \frac{|x|}{1+x^2} \le \frac{|x|}{2|x|} = \frac{1}{2}$

4. 验证特殊点：$x=0$时$f(0)=0$，满足$|f(0)|\le\frac{1}{2}$

5. 结论：取$M=\frac{1}{2}$，对全体实数$x$都有$|f(x)|\le M$，故函数在$\mathbb{R}$内有界。

证法 2：导数求全局最值法（通用通法）#

适用于所有可导函数的有界性证明：

1. 奇偶性简化：$f(-x)=-f(x)$，函数为奇函数，图像关于原点对称，只需分析$x\ge0$的情况

2. 求导找临界点： $f'(x)=\frac{(1+x^2) - x\cdot2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$ 令$f'(x)=0$，得正半轴临界点$x=1$

3. 单调性分析：

   • $0\le x<1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增

   • $x>1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减

4. 计算最值与边界极限：

   • 极大值（最大值）：$f(1)=\frac{1}{2}$

   • 边界值：$f(0)=0$；$x\to+\infty$时，$f(x)\sim\frac{1}{x}\to0$

5. 由奇函数对称性推得全局：$|f(x)|\le\frac{1}{2}$，函数有界。

严格单调递增#

对区间$I$内任意$x_1<x_2$，都有$f(x_1)<f(x_2)$。 等价定义（高频考点）：对任意$x_1\neq x_2$，都有 $(x_1-x_2)\cdot[f(x_1)-f(x_2)] > 0$

解读：自变量差与函数值差同号，自变量越大，函数值越大。

严格单调递减#

对应不等号全部反向，两因子乘积小于 0。

选项逐一解析#

• **A. **$|f(x)|$：错误。绝对值会将负的函数值翻折到正半轴，破坏单调性。 反例：取$f(x)=x$，则$|f(x)|=|x|$，在$(-\infty,0)$上递减，非全局递增。

• **B. **$f(|x|)$：错误。内层函数$|x|$在$x<0$时递减，与递增的外层复合后，负半轴单调性反转。 反例：取$f(x)=x$，则$f(|x|)=|x|$，同样不满足全局递增。

• **C. **$f(-x)$：错误。内层$u=-x$是严格递减函数，与递增外层复合，遵循 “异减” 法则，整体递减。

• **D. **$-f(-x)$：正确。 严谨证明：任取$x_1<x_2$，则$-x_1>-x_2$。 由$f(x)$严格递增得$f(-x_1) > f(-x_2)$，不等式两边同乘$-1$，不等号反向： $-f(-x_1) < -f(-x_2)$ 满足单调递增定义。 直观理解：两次单调性反转（自变量取负 + 整体取负），负负得正，回归递增。

必要前提#

函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的先决条件。

奇函数#

对定义域内任意$x$，都满足 $f(-x) = -f(x)$。

• 图像关于原点中心对称

• 若函数在$x=0$处有定义，则必有$f(0)=0$

偶函数#

对定义域内任意$x$，都满足 $f(-x) = f(x)$。

• 图像关于 y 轴对称

题型 1：带常数项的函数方程#

题目：设$f(x+y)=f(x)+f(y)+1$，证明$g(x)=f(x)+1$是奇函数。 核心思路：构造辅助函数，将原方程转化为标准柯西方程，再验证奇偶性。

题型 2：偶函数型函数方程#

题目：设$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，且$f(x)$不恒为 0，证明$f(x)$是偶函数。 核心思路：令$x=0$，先求解得$f(0)=1$，直接推导出$f(-y)=f(y)$。

证法 1：迭代代换法#

1. 第一次代换：将原式中所有$x$替换为$x+\pi$ f(x+\pi) = f(x) + \sin(x+\pi) = f(x) - \sin x \tag{1}

2. 第二次代换：将式 (1) 中所有$x$替换为$x+\pi$ $f(x+2\pi) = f(x+\pi) - \sin(x+\pi)$

3. 代入式 (1) 与诱导公式$\sin(x+\pi)=-\sin x$化简：

故$2\pi$是函数的周期。

证法 2：差分累加法（思路更直观）#

1. 将原式改写为差分形式：$f(x) - f(x-\pi) = \sin x$

2. 分别将$x$替换为$x+\pi$、$x+2\pi$，得到两个差分等式：

3. 将两式左右分别相加，中间项$f(x+\pi)$抵消： $f(x+2\pi) - f(x) = -\sin x + \sin x = 0$ 即$f(x+2\pi)=f(x)$，得证。