Lecture 37：常系数齐次线性微分方程

定义： #二阶常系数齐次微分方程#

描述：

1. 结构： $y^{\prime\prime}+q +py^{\prime}+qy=0$
2. 特征方程：$r^2+pr+q=0$

解释

• 常系数与变系数：
  • 概念：
    • 未知函数的系数，如果是常数的，就是常系数方程，否则就是变系数的（比如系数当中有 $p(x)$ 的）
  • 常系数：
    • 结构：
      • $y^n+py^{\prime}+qy=0$
  • 变系数：
    • 结构：
      • $y^n+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0$
    • 解释：
      • 通解 $y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$
      • $y_1$ 和 $y_2$ 是线性无关的；
      • $y_1/y_2$ 不等于常数；
• 特征方程：
  • 概念：
    • 特征方程的根和微分方程的解息息相关；
  • 若是三阶方程的单实根 $r_1$
    • 通解： $y=C_1e^{r_1x}$
  • 若是不等实根 $r_1\neq r_2$
    • 通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
  • 若是相等实根 $r_{1}=r_{2}=r$
    • 通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$
  • 若是共轭复根 $r_{1,2}=\alpha\pm i\beta$
    • 通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
  • 注意：
    • 以上通解都是针对二阶的情况；
• 三阶：
  • 方法：
    • 根据根的类型，对每个根使用二阶时的求不同实根的方法，然后将它们相加；
  • 举例：$r^{3}-2r^{2}+r-2=0$ 时
    • 求特征方程：$r_1=2,r_{1,2}=\pm i$
    • 解 = 单实根 + 共轭复根 = $y=C_{1}e^{2x}+ C_{2}\cos x+C_{3}\sin x$

方法

• 第一步：写特征方程
• 第二步：找出特征根
• 第三步，根据根的方程，写出对应式子
  • 若是不等实根
    • 通解： $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
  • 若是相等实根
    • 通解：$y=e^{rx}(C_1+C_2x)$
  • 若是共轭复根
    • 通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$