Lecture 61：场论初步

定义： #方向导数#

描述： $\frac{\partial f}{\partial l}\Bigg|_{(x_0,y_0)}=\lim_{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t$

解释

• 作用：
  • 对 x 以及对 y 的偏导反映了函数沿着 x 或者 y 方向上的变化；
  • 但如果需要描述函数沿着其他方向上的变化时，就需要使用方向导数；
• 概念：
  • 1. $\cos \alpha$ 和 $\cos\beta$ 表示了直线方向；
  • 2. $x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta$ 表示了直线方向上的一点；
  • 3. $\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t$：一点的方向值减去以函数值后除以 t，当 t->0 时，表示了这一点的方向导数值；
• 注意：
  • t 只能趋向于 0 正；

定理： #方向导数的存在性判定#

描述：若 $z=f(x,y)$ 可微，则这一点沿着任何方向上的方向导数都存在，且方向导数等于两个偏导数、乘以其方向余弦，如下式： $\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta$

解释：可微 -> 任意方向可导；