Lecture 18：同解方程组

定义： #同解方程组#

描述：方程组 $A_{m*n}x=0$ 和 $B_{s*n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组； 于是：Ax=0,Bx=0 是同解方程组；

解释

• 意义：
  • 证明 r(A)<r(B) -> 用向量组；
  • 证明 r(A)=r(B) -> 用方程组来证明 -> 同解；
• 概念：
  • 解代入：
    • Ax=0 的解满足 Bx=0，且 Bx=0 的解满足 Ax=0 (互相把解代入求出结果即可)
  • 判别法：
    • r(A)=r(B)，且 Ax=0 的解满足 Bx=0 (或 Bx=0 的解满足 Ax=0)
  • 三秩相同：
    • $r\left(A\right)=r\left(B\right)=r\left(\left[\begin{matrix}A\\\\B\end{matrix}\right]\right)$
• 解释：
  • Ax=0 与 Bx=0 同解
  • <-> 两个解的向量组等价：$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s=\eta_{1},\eta_{2}\cdots\eta_{s}$
  • <-> $r(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s)=r(\eta_{1},\eta_{2}\cdots\eta_{s})$ 且第一个向量组可以被第二个向量组线性表示；
  • <-> r(A)=r(B)=r(A|B)
  • <-> r(A)=r(B) 且 Ax=0 的解为 Bx=0 的解；
  • <-> $r\left(A\right)=r\left(B\right)=r\left(\left[\begin{matrix}A\\\\B\end{matrix}\right]\right)$
• 结论：
  • $r(AA^{T})=r(A^{T})=r(A)=r(A^{T}A)$