Lecture 1：课程引言

1.2.1 方向、工具与手段#

概念：研究方向与工具

• 研究方向：
  • 研究的内容是向量：Vector
  • 向量的个数，就是其维度；
  • 行列式：
    • $\begin{vmatrix}\mathrm{m}&&\mathrm{n}\\\mathrm{a}&&\mathrm{b}\end{vmatrix}=\mathrm{mb}-\mathrm{an}$
• 研究工具：
  • 1. 线性运算 -> 数乘和加法；
  • 2. 点积运算 -> 在线性代数里面，点积运算本质上还是一个线性运算；
    • $(a_{1}a_{2})(\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix})=a_1b_1+a_2b_2$
    • $(a_1a_2)\begin{pmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{pmatrix}=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2})$
    • $\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}(c_1c_2)=\begin{pmatrix} a_1c_1+a_2c_2 \\ b_1c_1+b_2c_2 \end{pmatrix}$

概念：研究手段

• 概念：
  • 核心 -> 线性变换；
  • 矩阵 -> 表达系统信息
    • 矩阵中的数据不能随便乱动，不然系统信息就被破坏了；
• 线性变换：
  • 分析：
    • $(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})(\begin{matrix}1\\1\end{matrix})=(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix})$
    • 其中 $(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})$ 是矩阵，对应了高等数学里面的函数 f
    • 其中 $(\begin{matrix}1\\1\end{matrix})$ 代表变量，对应高等数学里面的 x；
    • 其中 $(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix})$ 对应结，对应高等数学里面的 y；
    • 其中输入的内容是一个向量；
  • 举例：
    • 举例：对称变换
      • 矩阵：$(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix})$
    • 举例：伸缩变换
      • 矩阵：向右伸缩 $(\begin{matrix}2&0\\0&1\end{matrix})$
      • 矩阵：向上伸缩 $(\begin{matrix}1&0\\0&2\end{matrix})$
    • 举例：剪切变换
      • 矩阵：$(\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix})$
      • 矩阵：$(\begin{matrix}-1&1\\0&1\end{matrix})$

1.2.2 分析：方程组与线性变换#

分析：方程组与线性变换

• 举例：$\begin{cases}x_{1}+2x_{2}=3\\4x_{1}+7x_{2}=10\end{cases}$
• 传统方法：消元法
• 线性变换：
  • 因为 $x_{1}+2x_{2}$ 以及 $4x_{1}+7x_{2}=10$ -> 这是点积的结果；
  • 所以可以把其变成线性变换的形式：$\left.\left(\begin{matrix}1&2\\4&7\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$
  • 所以就是基于此线性变换，求其中的 $x_1x_2$
  • 求解法：对等式两边乘以矩阵的逆矩阵，假设 $A=(\begin{matrix}1&2\\4&7\end{matrix})$ ，则同时在两边乘以 $A^{-1}$
  • 所以得到 $Ax=B$ -> $AA^{-1}x=BA^{-1}$ -> $x=BA^{-1}$
  • 即可以得到 x 的求解；