Lecture 7：初等变换与初等矩阵

7.1.1 定义#

7.1.2 补充：线性变换的本质#

概念：什么是变换

• 解释：
  • 变换本质上是“函数”的一种花哨说法，接受一个向量，并输出一个向量变换的结果；
• 变换：
  • 使用变换一词，是在暗示你基于“运动”的视角去思考；

概念：什么是线性的变换

• 线性的变换需要具有以下两个性质：
  • 1. 直线再变换后依然维持为直线，不能有弯曲；
  • 2. 原点必须保持固定；
• 什么是线性变换：
  • 线性变换是操作空间的一种手段，它它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动，并且可以通过矩阵来描述清楚；

概念：如何描述变换后的向量空间

• 只需要对基变量进行变换即可；
• 因为：假设当前向量被两个基向量表示：
  • $\vec{\mathbf{v}}=-1\hat{i}+2\hat{j}$
  • 此时即使对基向量进行变换，以上的线性关系依然不会发生变换；
  • 因此可以只根据变换后的 i 帽和 j 帽就推断出变换后的 v；
  • 其中 i 是两个坐标的数值构成的二维向量，j 是另一个两个坐标的数值构成的二维向量；
• 引入矩阵：
  • 把基向量 i 和基向量 j 合在一起，就构成了一个 2*2 矩阵：

概念：矩阵的意义

• 意义：
  • 给定了一个任意的初始向量，可以通过两个基，进行线性变换、得到其线性变换后的结果；
  • $\begin{aligned}\begin{bmatrix}3&2\\-2&1\end{bmatrix}&\underbrace{{\left[\begin{array}{c}5\\7\end{array}\right]}}\\&\text{Any ol' vector}\\&\text{任意初始向量}\end{aligned}$
• 举例：
  • $\begin{aligned}\begin{bmatrix}3&2\\-2&1\end{bmatrix}{{\left[\begin{array}{c}5\\7\end{array}\right]}}\end{aligned}=5\bigg[\begin{array}{c}3\\-2\end{array}\bigg]+7\bigg[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\bigg]\leftarrow等同于缩放基向量再相加$
• 公式：二维
  • $\left.\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right.\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\cx+dy\end{array}\right]$

7.2.1 初等矩阵的定义#

7.2.2 互换初等矩阵#

7.2.3 倍加初等矩阵#

7.4.1 行阶梯形矩阵#

7.4.2 行最简阶梯型梯形矩阵#

定理： #用初等变换求逆矩阵#

描述： $\begin{bmatrix}A\vdots E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等行变换}}\begin{bmatrix}E\vdots A^{-1}\end{bmatrix},\\\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{初等列变换}}\begin{bmatrix}E\\A^{-1}\end{bmatrix}.$

例题：当 $A=\begin{bmatrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{bmatrix}$，求 $A^{-1}$

• 分析
  • $\left.\left(A|E\right)=\left(\begin{matrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&-1&0&0&1\end{matrix}\right.\right)$
  • 然后 A、E 矩阵各自都第一行、第二行互换位置
  • 然后第一行加到第三行：$\left.\left(\begin{matrix}1&1&2&1&0\\0&2&-1&1&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\end{matrix}\right.\right)->\begin{bmatrix}1&1&0&-3&-1\\0&1&-1&-1&-\frac{1}{2}\\0&0&0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$
  • 最后拼成 $(E|A^{-1})$ 的形式
• 解析

定义： #简单分块矩阵的逆#

描述： $\begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{bmatrix}$

解释

• 注意：
  • $\begin{bmatrix}O&A\\B&O\end{bmatrix}^{-1}$ 求逆矩阵后，要对调；
• 证明：
  • $\left.\left(\begin{matrix}0&A\\B&0\end{matrix}\right.\right)\left(\begin{matrix}0&B^{-1}\\A^{-1}&0.\end{matrix}\right)=E$

补充：求副对角线上分块矩阵的，可推广如下

• 主对角线时，不用反过来写，副对角线的需要反过来写：
• $A=\begin{bmatrix}&&&A_{1}\\&&A_{2}\\&&\cdots\\A_{s}\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{ }}A_{i}(i=1,2,\cdots,s)可逆，则A可逆，且\rightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix}&&&&A_s^{-1}\\&&&\ddots\\&&A_2^{-1}&&\\A_1^{-1}&&&&\end{bmatrix}$

补充：分块三角阵

• 举例：$\text{已知}A=\begin{bmatrix}B&O\\D&C\end{bmatrix},\text{ 其中 }B\text{ 是}r\times r\text{ 可逆矩阵, }C\text{是}s\times s\text{ 可逆矩阵,证明}A\text{ 可逆,并求}A^{-1}$
  • $|A|=|\begin{matrix}B&0\\D&C\end{matrix}|=|B||C|\neq0$
  • 定义法：$\begin{pmatrix}B&0\\D&C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X&Y\\Z&W\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&0\\0&E\end{pmatrix}$
• 结论：
  • 得到 A 的逆矩阵： $\begin{pmatrix}B&0\\D&C\end{pmatrix}$ 的逆矩阵：$\left(\begin{matrix}B^{-1}&0\\-C^{-1}DB^{-1}&C^{-1}\end{matrix}\right)$
• 补充：
  • 右上三角也类似，右上角是 $B^{-1}DC^{-1}$
  • 右下三角也类似，其 B 和 C 要换位置后取逆，然后左上角是 $C^{-1}DB^{-1}$
  • 左下三角也类似，其 B 和 C 要换位置后取逆，然后右下角是 $B^{-1}DC^{-1}$