Lecture 12：函数的连续性

定义： #连续性#

描述： 定义 1：$\text{若 }\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0，则称y=f(x)在x_0点连续$ 定义 2：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义，如果当 $x\to x_0$ 时，函数 $y=f(x)$ 的极限值存在，且等于 $x_{0}$ 处的函数值 $f(x_0)$ , 即 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, 则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续.

解释

• 等价形式：$\text{若 }\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\text{ 则称 }y=f(x)\text{ 在点 }x_0\text{ 处连续}.$
• 左右连续：
  • 1. 左连续： $\lim_{x\to x^-_0}f(x)=f(x_0)$
  • 2. 右连续： $\lim_{x\to x^+_0}f(x)=f(x_0)$
• $f(x)$ 连续的充分必要条件：$f(x)$ 左连续且右连续，左右连续相等；

内连续与外连续

• 内连续：在 $(a,b)$ 中每一点都连续；
• 外连续：在 $[a,b]$ 中每一点都连续，并且 a 点右连续，b 点左连续；

区间内连续

• 一个函数在区间内连续 = 区间上所有点都连续 = 所有的点的左右极限存在并相等，并且等于这一点的函数值；

题型： #讨论函数的连续性及间断点的类型#