Lecture 26：函数图形的绘制

1.1.1 渐近线的基本概念#

1.1.2 例题#

例题：求曲线 $y=\frac{(x-1)e^x}{e^x-1}$ 的渐近线；

• 分析
  • 先分析是否有水平渐近线；
  • 然后分析是否有垂直渐近线；
• 解析
  • 水平
    • 当 x-> -无穷，此时分子上的 ex 时趋向于零的，分母也是，本质上是无限乘以 0，难以判断；
    • $\operatorname*{lim}_{x\rightarrow\infty}xe^{x}=\operatorname*{lim}_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{e^{-x}}=\operatorname*{lim}_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{-e^{-x}}$
  • 垂直
    • 因为： $\lim_{x\to 0}y=\infty$
    • 所以 $x=0$ 为其垂直渐近线；
  • 斜
    • $\lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)e^{x}}{x(e^{x}-1)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1=a$
    • 斜渐近线为 $y=x-1$；
• 题型： #求渐近线

例题：$\text{设 }y=\frac{x^3+4}{x^2},\text{求}$ (1) 函数的增减区间及极值；(2) 函数图像的凹凸区间及拐点；(3) 渐近线；(4) 作出其图形。

• 分析
  • 按照绘制图形的顺序，依次求解；
• 解析
  • 1. 求定义域
    • $\text{定义域(-,0)}\cup(0,+\infty).\text{ 当 }x=-\sqrt[3]{4}\text{ 时, }y=0$
  • 2. 找为 0 以及不存在的点
    • $y^{\prime}=1-\frac8{x^3}\text{ ,故驻点为 }x=2$
    • $y^{\prime}(0)$ 不存在
    • 所以 $所以，$ (-\infty, 0)$及$(2,+\infty)$为增区间，(0,2) 为减区间，$x=2$为极小点，极小值为$y=3$$
  • 3. 求凹凸区间
    • $y^{\prime\prime}=\frac{24}{x^4}>0$
    • $(-\infty,0)\left(0,+\infty\right)$ 均为凹区间，无拐点；
  • 4. 求渐近线；
    • 其没有水平渐近线
    • 有垂直渐近线
      • $\lim_{x\to0}\frac{x^3+4}{x^2}=+\infty\quad\color{red}{x=0}$
    • 斜渐近线
      • $\lim_{x\to\infty}\frac yx=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^3}=1=a\quad\lim_{x\to\infty}(y-ax)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^3+4}{x^2}-x\right)=0=b$
  • 5. 画图
    • 1. 先画渐近线
    • 2. 从 $-\infty$ 开始，到达渐近线、增减更改的点，然后一直往 x-> $\infty$ 走；画出全部图像；

    • 

• 题型： #函数图形绘制

题型： #求渐近线#