「函数」模块全体系知识总结

（1）定义域（自然定义域）#

使函数表达式有意义的全体实数，是所有函数问题的前提。考研高频限制条件：

• 分式：分母 $\neq 0$；

• 偶次根式：被开方数 $\geq 0$；

• 对数函数：真数 $> 0$，底数 $>0$ 且 $\neq 1$；

• 反三角函数：$\arcsin x, \arccos x$ 要求 $|x| \leq 1$；

• 正切函数 $\tan x$：$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$；

• 实际问题：需符合物理 / 几何实际意义。

（2）对应法则#

函数的核心，考研中主要有 3 种呈现形式：

• 解析法（公式法）：最主要形式，包括显函数、分段函数、隐函数、参数方程；

• 图像法：数形结合解题的核心载体；

• 表格法：离散型函数，数二极少考查。

（3）值域#

由定义域和对应法则共同决定，求解方法见第四部分。

（1）定义#

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若 $\exists M>0$，使得 $\forall x \in I$，恒有 $|f(x)| \leq M$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界；否则称无界。

• 等价定义：$f(x)$ 在 $I$ 上既有上界又有下界。

• 注意：有界性是区间依赖的，脱离区间谈有界无意义，即要谈论有界还是无界，得先指明区间。

• 如果函数在区间内的值的极限为无穷大，则不存在极限

（2）核心判定方法#

1. 定义法：通过不等式放缩找到 $M$；

2. 连续 + 区间法（最常用）：

   • 闭区间上的连续函数一定有界（有界性定理）；

   • 开区间 $(a,b)$ 内连续，且 $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to b^-}f(x)$ 都存在 $\implies f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界；

3. 导数法：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界（由拉格朗日中值定理可证）。

（3）考研必备结论#

• 常见有界函数：$\sin x, \cos x, \arcsin x, \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot},x$；

• 极限核心结论：有界函数 × 无穷小 = 无穷小；

• 易错辨析：无界函数 $\neq$ 无穷大量。例如 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$ 是无界函数，但不是无穷大。

（1）定义#

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，$\forall x_1 < x_2 \in I$：

• 若 $f(x_1) < f(x_2)$，称严格单调递增；若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，称单调不减；

• 若 $f(x_1) > f(x_2)$，称严格单调递减；若 $f(x_1) \geq f(x_2)$，称单调不增。

（2）核心判定方法#

1. 定义法：作差 $f(x_2)-f(x_1)$ 判号，或同号函数作商判号；

2. 导数法（最常用，充分非必要条件）：

   • 区间内 $f'(x) > 0 \implies f(x)$ 严格单调递增；

   • 区间内 $f'(x) \geq 0 \iff f(x)$ 单调不减；

   • 反例：$f(x)=x^3$ 严格递增，但 $f'(0)=0$，说明严格单调不要求导数恒正。

3. 复合函数单调性：同增异减—— 内外层单调性相同则复合后递增，相反则递减。

（3）考研关联应用#

• 单调有界准则：单调有界数列（函数）必有极限（单侧极限）；

• 方程根的个数判定：单调性 + 零点定理；

• 积分不等式证明；

• 反函数存在性：严格单调函数必有反函数，且单调性一致。

（1）定义#

前提：函数定义域必须关于原点对称。

• 偶函数：$\forall x \in D$，$f(-x) = f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称；

• 奇函数：$\forall x \in D$，$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称；若 $x=0$ 在定义域内，则必有 $f(0)=0$（高频解题技巧）。

（2）运算与复合性质#

• 加减运算：奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 偶 = 非奇非偶；

• 乘除运算：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇；

• 复合函数：内偶则偶，内奇同外—— 内层是偶函数，复合后必为偶函数；内层是奇函数，复合后奇偶性与外层一致。

（3）跨章节核心结论#

1. 导数层面：

   • 可导奇函数的导函数是偶函数；

   • 可导偶函数的导函数是奇函数。

2. 积分层面（数二积分计算高频技巧）：

   • 对称区间上，奇函数的定积分等于 $0$；

   • 对称区间上，偶函数的定积分等于半区间积分的 $2$ 倍；

   • 连续奇函数的变上限积分是偶函数；连续偶函数的变上限积分，仅当下限为 $0$ 时是奇函数。

（4）常见奇偶函数速记#

• 奇函数：$x^n$（$n$ 为奇数）、$\sin x$、$\tan x$、$\arcsin x$、$\arctan x$、$\ln(x+\sqrt{1+x^2})$；

• 偶函数：$x^n$（$n$ 为偶数）、$\cos x$、$|x|$、$e^{|x|}$。

（1）定义#

若 $\exists T \neq 0$，使得 $\forall x \in D$，$x+T \in D$ 且 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为周期，通常所说周期指最小正周期。

（2）运算性质#

• 若 $f(x)$ 周期为 $T$，则 $f(ax+b)$ 的周期为 $\frac{T}{|a|}$；

• 两个可公度周期函数的和、差、积，周期为两者周期的最小公倍数。

（3）跨章节核心结论#

1. 导数层面：可导周期函数的导函数仍是同周期的周期函数；

2. 积分层面：

   • 周期函数在任意一个长度为周期的区间上，定积分值相等： $\int_{a}^{a+T} f(x)dx = \int_{0}^{T} f(x)dx$

   • 若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的连续函数，则： $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(x)dx$ （函数在无穷区间上的平均值等于一个周期内的平均值）

（4）常见周期函数速记#

• $2\pi$ 周期：$\sin x, \cos x$；

• $\pi$ 周期：$\tan x, \cot x, |\sin x|, |\cos x|, \sin^2x, \cos^2x$。

（1）基本初等函数#

共 5 类，是所有函数的基础，必须熟记定义域、图像、性质：

• 幂函数：$y=x^\mu$（$\mu$ 为常数）；

• 指数函数：$y=a^x \ (a>0,a\neq1)$，特殊形式 $y=e^x$；

• 对数函数：$y=\log_a x \ (a>0,a\neq1)$，特殊形式 $y=\ln x$；

• 三角函数：$\sin x, \cos x, \tan x, \cot x, \sec x, \csc x$；

• 反三角函数：$\arcsin x, \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot},x$。

（2）初等函数定义#

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算构成，且能用一个解析式表示的函数。

• 核心结论：初等函数在其定义区间内处处连续（极限直接代入法的理论依据）。

• 易错点：是「定义区间」而非「定义域」，若定义域是离散点集，则无连续性可言。

（1）定义#

定义域的不同区间对应不同解析表达式的函数，一般不是初等函数，但每一段都是初等函数。

• 常见形式：绝对值函数 $y=|x|$、符号函数 $\mathrm{sgn},x$、取整函数 $y=[x]$。

（2）考研核心处理原则#

分段点单独讨论，区间内按初等函数处理。

• 分段点处的极限、连续性、可导性，必须分别计算左、右极限 / 左、右导数；

• 区间内可直接用初等函数的求导、积分公式。

（1）定义#

设 $y=f(u)$，$u=\varphi(x)$，若 $\varphi(x)$ 的值域与 $f(u)$ 的定义域交集非空，则构成复合函数 $y=f[\varphi(x)]$，$u$ 为中间变量。

• 注意：不是任意两个函数都能复合，必须满足值域与定义域有交集。

（2）考研核心应用#

• 拆解技巧：从外到内逐层拆分，是链式求导、换元积分的基础；

• 定义域求解：内层函数的值域必须落在外层函数的定义域内；

• 高频难点：分段函数的复合，需根据内层函数的值域匹配外层的分段区间。

（1）定义#

设 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R_f$，若对每个 $y \in R_f$，都有唯一确定的 $x \in D$ 满足 $f(x)=y$，则定义反函数 $x=f^{-1}(y)$，习惯上写为 $y=f^{-1}(x)$。

• 存在条件：函数一一对应，严格单调是充分条件。

（2）核心性质#

1. 图像性质：原函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称；

2. 恒等式：$f[f^{-1}(x)] = x$，$f^{-1}[f(x)] = x$；

3. 导数关系：$\displaystyle \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}$，即 $[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)}$；

4. 二阶导数关系（数二高频考点）： $[f^{-1}(y)]'' = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}$ （建议掌握推导过程：对一阶导数两边关于 $y$ 求导，结合链式法则）

（3）求解步骤#

1. 由 $y=f(x)$ 解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式；

2. 交换 $x$ 和 $y$，得到 $y=f^{-1}(x)$；

3. 注明反函数的定义域（即原函数的值域）。

（1）定义#

$\Phi(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$，称为变上限积分函数，是连接微分与积分的核心桥梁。

（2）核心定理（微积分基本定理）#

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续；

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\Phi'(x) = f(x)$。

（3）推广求导公式（莱布尼茨公式）#

$\frac{d}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t)dt = f[\varphi_2(x)] \cdot \varphi_2'(x) - f[\varphi_1(x)] \cdot \varphi_1'(x)$

（4）高频易错点#

被积函数中**不能含有上限变量 **$x$，若有 $x$ 必须先处理：

• $x$ 是常数可提出积分号：$\int_{0}^{x} x f(t)dt = x\int_{0}^{x} f(t)dt$，求导用乘积法则；

• $x$ 在被积函数复合项中：需换元分离，如 $\int_{0}^{x} f(x-t)dt$，令 $u=x-t$ 换元后再求导。

题型 1：已知 $f(x), g(x)$，求 $f[g(x)]$#

方法：代入法，将 $g(x)$ 整体替换 $f(x)$ 中的 $x$，注意定义域的匹配；分段函数复合需按内层值域匹配外层分段。

题型 2：已知 $f[g(x)]$，求 $f(x)$#

• 换元法（通用）：令 $u=g(x)$，解出 $x=\varphi(u)$，代入表达式得 $f(u)$，再换为 $x$；

• 配凑法（简单形式）：将表达式凑成关于 $g(x)$ 的多项式。

题型 3：函数方程求解#

如 $f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x$，方法：变量替换构造方程组。 将 $x$ 替换为 $\frac{1}{x}$，得到第二个方程，联立消元解出 $f(x)$。

渐近线求法#

• 水平渐近线：$\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = A$，则 $y=A$（$+\infty$ 和 $-\infty$ 需分别计算）；

• 垂直渐近线：找函数的无定义点 / 间断点 $x_0$，若 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$，则 $x=x_0$；

• 斜渐近线：$a = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \pm\infty} [f(x)-ax]$，若 $a \neq 0$ 且均存在，则 $y=ax+b$。