Lecture 52：傅里叶级数

三角函数的正交性#

概念：三角函数的正交性

• 概念：三角函数系集合
  • $(0,1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x...)$
• 正交性：
  • 两个函数的内积，积分为 0 时、表述两个函数正交
• 三角函数的正交性： 从三角函数系中，取两个不同的、范围在 $[-\pi,\pi]$ 上的函数进行内积，得到的积分为 0；
• 举例：
  • 不同时：
    • $\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx \mathrm{d}x =0\quad n\neq m$
    • $\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mxdx=0\quad n\neq m$
  • 相同时：
    • $\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx·\cos nx dx=\pi$

概念：周期为 $2\pi$ 的函数展开

• 用函数表达周期为 $2\pi$ 的函数
  • $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\cos nx + \sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\sin x$
  • 把 n=0 拿出来：$=a_{0}\cos 0x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\sin x+b_{0}\sin 0x+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin nx$
  • 即得到 $a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin nx$
  • 且 $a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$
• 求系数：

  • 

  • $a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\bar{n}}^{\pi}f(x)\cos nx dx$

52.1.1 基本概念#

52.1.2 收敛定理#

52.2.1 周期函数的展开：特殊情况#

概念介绍：周期为 $2\pi$ 的函数展开

• （1）在 $[-\pi,+\pi]$ 上展开：一般展开
  • $a_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac1\pi\int_{-\pi}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots$
• （2）在 $[-\pi,+\pi]$ 的展开：奇偶函数的展开
  • 1. $f(x)$ 为奇函数：
    • $a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots$
    • 解释：因为 $\cos x$ 是偶函数，并且在 $a_n$ 中，所以当 $f(x)$ 为奇函数时，奇函数*偶函数=奇函数，所以 $a_n$ 变为 0，$b_n$ 变为两倍。其他情况同理；
  • 2. $f(x)$ 为偶函数：
    • $a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots$
• （3）在 $[0,+\pi]$ 上展开：展开为正弦或余弦
  • 分析：
    • 这种是在半个周期上的展开，所以在分析时，需要做延拓；
    • 奇函数展开：只有正弦项。因为如果只给了 $[0,+\pi]$ ，则如果需要在 $[-\pi,+\pi]$ 上做奇函数展开、只有正弦项 -> 奇延拓；
    • 在展开为正弦时，理论上需要做奇延拓，但实际上直接使用奇函数的展开式即可；
    • 同理偶延拓；
  • 1. 展开为正弦：
    • $a_{n}=0\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\sin nx\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots$
  • 2. 展开为余弦：
    • $a_{n}=\frac2\pi\int_{0}^xf(x)\cos nx\mathrm{d}x\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad\\b_{n}=0\quad\quad n=1,2\cdots$

52.2.2 周期函数的展开：一般情况#

概念介绍：周期为 $2l$ 的函数展开

• （1）在 $[-l,+l]$ 上展开
  • $a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots$
• （2）在 $[-l,+l]$ 上展开：奇偶函数
  • $\text{i)}f(x)\text{ 为奇函数}.\quad\quad \\a_n=0,n=0,1,2\cdots\quad\quad \\b_n=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x\quad\quad n=1,2\cdots$
  • $\begin{aligned}&\text{ii)}f(x)\text{ 为偶函数}.\\&{a_n}=\frac2l\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&&n=1,2\cdots\end{aligned}$
• （3）在 $[0,l]$ 上展开：展开为正弦或余弦
  • $\begin{aligned}&\text{i)展为正弦}\\&a_{n}=0,&&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=\frac2l\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l\mathrm{d}x&&n=1,2\cdots\end{aligned}$
  • $\begin{aligned}&\text{ii)展为余弦.}\\&a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x&n=0,1,2\cdots\\&b_{n}=0&n=1,2\cdots\end{aligned}$

题型： #狄利克雷收敛定理#

题型： #将函数展开为傅里叶级数#