Lecture 29：换元积分法

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数学88 英语45 2026-712 学习笔记1

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4 分钟

Lecture 29：换元积分法

2024-01-17

数学

不定积分

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1.1 第一类换元法#

引入：从求导数开始

求导数的时候，最核心的方法是什么？
- 1. 有理运算法则（加减乘除）；
- 1. 复合函数求导法；
  - 隐函数求导法进而参数方程求导法都是前两者的结论；
逆过程
- 所以当考虑求导数的逆过程时，就可以考虑基于 1、2 两点的求其逆过程；
- 复合函数
  - 把复合函数求导法的过程倒过来 -> 换元积分法；
- 有理运算法则
  - 倒过来 -> 分项积分法；
  - 乘法 -> 分部积分法；

1.1.1 第一类换元法基本概念#

定理： #第一类换元法：凑微分法#

描述：若 $\int f(u)\mathrm{d}u=F(u)+C$ ， $\text{则}\int f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)\operatorname{d}x=\int f[\varphi(x)]\operatorname{d}\varphi(x)=F[\varphi(x)]+C$

解释

常用情况：
- $\frac{dx}{\sqrt{x}}=2d\sqrt{x}$

举例

比如： $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+c$
当前为 $\int xe^{x^2}dx=\frac12\int e^{x^2}(x^2)dx=\frac12\int e^{x^2}dx^2=\frac12e^{x^2}+c^2$ $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int e^{x^{2}} (x^{2}) d x = \frac{1}{2} \int e^{x^{2}} d x^{2} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + c^{2}$
- 为了想用上面 $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+c$ 的结论，所以把它写成 $\frac12\int e^{x^2}dx^2$ 的形式；
- 这个步骤就是凑微分；

1.1.2 例题#

例题： $\int(1+3x)^{100}dx$

分析
- 因为被积分对象是复合函数，因此可以先考虑如何将其转化为简单的、可以使用公式的形式：
- $\int u^{100}du=\frac1{101}u^{101}+c$
解析
- $\int(1+3x)^{100}dx=\frac13\int(1+3x)^{100}d(1+3x)=\frac1{303}(1+3x)^{101}+C$
- 凑了一个 $d$ 的 $1+3x$
题型： #凑微分法

例题： $\int\frac{dx}{a^2+x^2}$

分析
- 因为
解析
- $\int\frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\int\frac{d\frac{x}{a}}{1+(\frac{x}{a})^{2}}=\frac{1}{a}\operatorname{arcc}t,\frac{x}{a}+C^{1}$
题型： #凑微分法

例题： $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2-2x}}$

分析
- $17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\begin{cases}\arcsin x+C\\-\arccos x+C&\end{cases}$
解析
- $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2-2x}}=\int\frac{d(x+1)}{\sqrt{2-(x+1)^2}}$ = $\arcsin\frac{x+1}{\sqrt{2}}+c$
题型： #凑微分法

1.1.3 凑微分形式总结#

常见函数

1. $\int f( ax+ b) dx= \frac 1a\int f( ax+ b)d( ax+ b)$
1. $\int x^mf( ax^{m+ 1}+ b)dx=\frac 1{( m+ 1) a}\int f( ax^{m+ 1}+ b)d(ax^{m+1}+ b)\quad\quad\quad ( m\neq- 1)$
1. $\int f( \sqrt {x}) \frac {\mathrm{d} x}{\sqrt {x}}= 2\int f( \sqrt {x})d( \sqrt x)$
1. $\int f( e^x) \mathrm{e} ^xdx= \int f( \mathrm{e} ^x)d(\mathrm{e} ^x)$
1. $\int f(\ln x)\:\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}(\ln x)$

常见三角函数凑微分

1. $\int f(\sin x)\cos\:x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}(\sin x)$
1. ${\int}f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-{\int}f(\cos x)\mathrm{d}(\cos x)$
1. $\int f(\tan x)\:\frac{1}{\cos^{2}x}\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}(\tan x)$
1. ${\int}f(\arcsin x)\:\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\int f(\arcsin x)\mathrm{d}(\arcsin x)$
1. ${\int}f(\arctan x)\:\frac1{1+x^2}\mathrm{d}x=\int f(\arctan x)\mathrm{d}(\arctan x)$

1.2 第二类换元法#

1.2.1 第二类换元法基本概念#

定理： #第二类换元法#

描述： $\text{设 }x=\varphi(t)\text{ 是单调的、可导的函数,并且 }\varphi^{\prime}(t)\neq0$ ，则 $\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C,$ 公式： $\int f(x)\mathrm{d}x=\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)\mathrm{d}t=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C,$

解释

方法：
- 关键是变量代换的选取 -> 把 x 带换掉了，带换成其他函数 -> 做出结果后，还要用反函数带回去；
举例：
- 原函数： $\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$ -> 把 x 代换： $x=a\sin t$ -> 得到代换后函数： $\int\frac{a^2\sin^2t}{a\cos t}\cdot a\cos tdt$ -> 求不定积分： $\frac{a^2}2(t-\frac12\sin2t)+C$ -> 换回： $\frac{a^2}2\arcsin\frac xa-\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+C$

总结

常见形式：
- 以下三种形式： $\begin{aligned}&\sqrt{a^2-x^2} \\&\sqrt{a^2+x^2} \\&\sqrt{x^2-a^2}\end{aligned}$
- 分别可以使用以下三种形式的 x 来带入，进而消掉根号： $\begin{aligned}x&=a\sin t(a\cos t)\\\\x&=a\tan t\\\\x&=a\sec t\end{aligned}$
目的：把根号可以去掉；

1.2.2 例题#

例题： $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}\quad(a>0)$

分析
- 因为原式中有根号，因此当需要求其不定积分时，首先应该考虑如何消掉这个根号；
- 此时可以想到用第二类换元法来把 a 以及 x 从根号中弄出来；
解析
- 可以设 $x=a*tant$
- 此时先带入分母中，可知：分母变成 $a*sect$
- 然后求 $dx$ -> 求 $d(a*tant)$
- 然后：
  Pasted image 20240119002138.png
题型： #第二类换元法