Lecture 9：极限的概念、性质与存在准则

9.1 极限的概念#

例题引入

• 对任意给定的 $\varepsilon\in(0,1)$,总存在正数 $N$，当 $n>N$ 时，恒有 $|x_n-\boldsymbol{a}|\leq 2\boldsymbol{\varepsilon}$ 是数列 ${x_n}$ 收敛域 a 的什么条件？
• 是充分必要条件；
  • 1. 当 $x_n$ 收敛于 a 时，要它们两的相差的值任意小，趋向于零；
  • 2. 而 $|x_n-\boldsymbol{a}|\leq 2\boldsymbol{\varepsilon}$ 中的 $\varepsilon$ 引文可以在 $(0,1)$ 上取任何值，包括一直趋向于 0，因此可以任意小，即使乘以 100、1000 都是任意小 -> 所以可以推出 $x_n$ 收敛于 a ；
  • 3. 同理 $x_n$ 收敛于 a 时，$|x_n-\boldsymbol{a}|$ 的值无穷小，而 $2{\varepsilon}$ 是趋向于无穷小的；