Lecture 51：对面积的曲面积分

定理： #第一类曲面积分的计算#

描述： 有光滑曲面，其 $\Sigma:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}，f(x,y,z)\text{ 在 }\sum\text{上连续}$ 则曲面积分 $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS\text{存在},\text{且有}$： $\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+{z_x}^2(x,y)+{z_y}^2(x,y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

解释

• 本质：
  • 把难求的曲面面积，投影成一个对 x、y 上的平面二重积分来完成计算；
  • 即把曲面 $\sum$ 投影到 $D_{xy}$ 上，化成 D 上的一个二重积分；；
  • ${\text{若曲面由方程 }x}=x(y,z){\text{或 }\operatorname*{y}}=y(z,x)\text{ 给出,也可类似地把对面积的面积分化为相应}\text{的二重积分}$；
• 转化：
  • 将 z 用关于 xy 的式子带进去，得到二重积分；
• 注意：
  • 当出现类似 $x^2+y^2=1$ 这种中心轴为 z 轴的形式，则无法直接做；
  • 此时应该使用 $y=y(x,z)$ -> $\iint_{\Sigma}f(x,y,{z}){\mathrm{d}S}=\iint_{D_{xy}}f(x,y=y(x,z),z)\sqrt{1+{z_x}^2(x,z)+{z_z}^2(x,z)}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$
  • 同理对于 $x=x(y,z)$ 的形式；

定理： #第一类曲面积分的奇偶性#

描述：若曲面 $\sum$ 关于 $xoy$ 对称，则： $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\begin{cases}2\iint_{\sum_{z>0}} f(x,y,z)\mathrm{d}S,&f(x,y,-z)=f(x,y,z)\\0&f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\end{cases}$

知识点：对称性

• $x^2+y^2+z^2=1$ 具有很好的对称性；
• 所以可以利用对称性简化计算： $\iint_{\Sigma}(x^2+y^2)ds=(\frac{2}{3})\iint (x^2+y^2+z^2)ds=(\frac{2}{3})\iint 1ds=\frac{2}{3}4\pi$

PART 1：解题方法#

PART 2：典型例题#

例题：$\Sigma=\{(x,y,z)\mid x+y+z=1,x\geq0,y\geq0,z\geq0\}，则\iint_\Sigma y^2dS$

• 分析
  • 图示：

    • 

  • 可以将其化成再 Dxy 上的投影域上的二重积分；
  • 因为 $ds=\sqrt{1+{z_x}^2(x,y)+{z_y}^2(x,y)}dxdy$

PART 3：知识点复盘#