Lecture 55：曲面与空间曲线

定义： #空间曲面#

描述： $F(x,y,z)=0\quad\text{或 }z=f(x,y)$

举例：$x+y+z=1$

• 图示：

  • 

定义： #空间曲线#

描述： $\text{i)参数式:}\quad\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad\text{ii)一般式:}\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$

补充：为什么空间曲面只要一个方程确定，而空间曲线要两个

• 核心：
  • 一个方程减少一个自由度；
  • 曲面有两个自由度，而曲线只有一个；
  • 因此空间曲线的一般式是关于 xyz 的两个方程；

55.2 常见曲面#

曲面一：旋转面 -> 一条平面曲线绕平面上一条直线旋转

• 设 $L$ 是 $yoz$ 平面上一条曲线，其方程是：$\begin{cases}f({y},z)=0\\x=0\end{cases}$
• （1）$L\text{ 绕 }(y)\text{轴旋转所得旋转面方程为}\quad f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0.$
• （2）$L绕 z 轴旋转所得旋转面方程为：$

曲面二：柱面 -> 平行于定直线并沿定曲线移动的直线 L 形成的轨迹;

• $准线为\Gamma:\begin{cases}f(x,y)=0\\z=0\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为f(x,y)=0$
• $准线为\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0&\end{cases}，母线平行于z轴的柱面方程为H(x,y)=0$
• 图示：锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在柱面 $x^{2}+y^{2}\le2x$ 的区域上：
  • 锥面：

    • 

  • 柱面：

    • 

  • 三维：

    • 

曲面三：二次曲面

• $\text{椭圆锥面 }\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2;$
• $\text{椭球面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1;$
• (3) 单叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
• (4) 双叶双曲面 $\frac {x^{2}}{a^{2}}- \frac {y^{2}}{b^{2}}- \frac {z^{2}}{c^{2}}= 1$
• (5) 椭圆抛物面 $\text{椭圆抛物面}\quad\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z;$ 曲面四：空间曲面投影
• $q曲线\Gamma:\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上的投影曲线方程为：\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$

55.3 常考题型#

题型： #建立柱面和旋转面方程#