Lecture 10：矩阵的秩

10.1 秩的定义#

10.2 求矩阵的秩#

方法：求矩阵的秩

• 将 A 用初等行变换化为行阶梯形矩阵，其非零行数便为 A 的秩；

方法：求矩阵的秩 - 举例

• 题目：若 $\begin{bmatrix}1&2&-1&1\\2&0&t&0\\0&-4&5&-2\end{bmatrix}$ 的秩为 2，则求 t
• 分析：
  • $A\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1&1\\0&-4&t+2&-2\\0&-4&5&-2\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\begin{matrix}1&2&-1\\0&-4&t+2&-2\\0&0&3-t&0\end{matrix}\right)$
  • 此时已经是一个行阶梯形矩阵了；
  • 并且因为矩阵秩是 2，所以下面的都是 0 行，所以 3-t=0
  • 所以 t=3

10.3 有关秩的几个重要式子#

概念：设 A 是 m*n 矩阵，B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则：

• （1）${1}0\leqslant r(A)\leqslant\min\{m,n\}($ 由定义 )
  • 任何一个矩阵的秩最低为 0，并且 r(a)=0 则矩阵一定等于 0：A=0
  • 并且 $r(A)\leqslant\min\{m,n\}$ <- 因为行列式是方的，而矩阵的子式是行列式，所以必须为 n*n
• （2）${2}r(kA)=r(A)(k\neq0)($ 由定义 )
• （3）$r\left(AB\right)\leqslant\min\left\{r\left(A\right),r\left(B\right)\right\}$
  • 矩阵越乘，秩序=越多越的‘‘’’
• （4）$r(A+B)<=r(A)+r(B)$
• （5）$r\left(A^{*}\right)=\begin{cases}n,&r\left(A\right)=n,\\1,&r\left(A\right)=n-1,\\0,&r\left(A\right)<n-1,\end{cases}$
• （6）设 A= m*n 的矩阵，P、Q 分别为 m 阶、n 阶的可逆矩阵，则：r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
  • 在过程当中，所有中间矩阵都是等价的：$r\left(\begin{matrix}E_{r}&0\\0&0\end{matrix}\right)$
• （7）若 $A_{m\times n}B_{m\times s}=O,则r\left(A\right)+r\left(B\right)\leqslant n$；
  • n 为 A 的列数；
• （8）格拉姆矩阵：$r\left(A\right)=r\left(A^{T}\right)=r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$
  • $r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$ 一定有解，并且一定是最佳近似解；
  • 对于任何一个矩阵，其转置的秩等于其 $r\left(A^{T}A\right)=r\left(AA^{T}\right)$；