函数四大特性习题

一、选择题#

1. 答案：B 【解析】

   • A：分母$1+x$在$x=-1$处为 0，$x\to-1$时函数趋向无穷，无界；且分子次数等于分母次数，$x\to\infty$时函数趋向无穷。

   • B：分母$1+x^2$恒正无零点，分母次数（2 次）> 分子次数（0 次），满足有界条件；事实上$0<\frac{1}{1+x^2}\le1$，有界。

   • C：取$x=2k\pi+\frac{\pi}{2}$，$k\to\infty$时$f(x)\to\infty$，无界。

   • D：$x\to+\infty$时$e^x\to+\infty$，无界。 【技巧】有理分式有界性可直接用 “分母无零点 + 分母次数> 分子次数” 秒判。

2. 答案：B 【解析】

   • A：$f(x+1)$是函数图像向左平移 1 个单位，单调性与原函数一致，仍严格递减。

   • B：函数整体加负号，单调性反转。严格递减函数取负后变为严格递增，正确。

   • C：内层$u=x^2$在$(-\infty,0)$递减，在$(0,+\infty)$递增，与递减的外层复合后，$f(x^2)$在$(-\infty,0)$递增，在$(0,+\infty)$递减，非全局单调。

   • D：绝对值会将负函数值翻折，破坏单调性。反例：取$f(x)=-x$，则$|f(x)|=|x|$，不全局递增。 【技巧】牢记：整体取负、自变量取负都会反转单调性；平移不改变单调性。

3. 答案：B 【解析】 奇偶运算核心规律：奇 × 偶 = 奇，奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶。

   • A：奇函数 + 偶函数，一般为非奇非偶函数（除非其中一个恒为 0）。

   • B：奇函数 × 偶函数 = 奇函数，正确。

   • C：复合函数$f(g(x))$，内层偶、外层奇，结果为偶函数：$f(g(-x))=f(g(x))$。

   • D：复合函数$g(f(x))$，内层奇、外层偶，结果为偶函数：$g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))$。

4. 答案：B 【解析】 迭代代换：已知$f(x+1)=-f(x)$，将$x$替换为$x+1$，得： $f(x+2) = -f(x+1) = -[-f(x)] = f(x)$ 因此周期为 2。 【高频结论】若$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$是函数的一个周期。

5. 答案：D 【解析】

   • A：错误。有界推不出连续，例如狄利克雷函数处处有界但处处不连续。

   • B：错误。只有当奇函数在$x=0$处有定义时，才有$f(0)=0$，若定义域不含 0 则不成立。

   • C：错误。只有当函数可导时，周期函数的导函数才是同周期的周期函数，选项未说明可导。

   • D：正确。严格单调函数是一一映射，必有反函数，且反函数与原函数单调性一致。

二、证明题#

6. 证明： 对任意实数$x$，由均值不等式 $a^2+b^2\ge2ab$，令$a=1,\ b=x^2$，得： $1+x^4 \ge 2\cdot1\cdot x^2 = 2x^2$ 由于$1+x^4>0$，两边取倒数得： $\frac{1}{1+x^4} \le \frac{1}{2x^2} \quad (x\neq0)$ 对函数取绝对值（函数恒非负）： $f(x) = \frac{x^2}{1+x^4} \le \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}$ 当$x=0$时，$f(0)=0$，显然满足$f(x)\le\frac{1}{2}$。 取$M=\frac{1}{2}$，对所有$x\in\mathbb{R}$都有$|f(x)|\le M$，故$f(x)$在$\mathbb{R}$内有界。 【考点】均值不等式放缩证明有界性

7. 证明： 任取$x_1,x_2\in\mathbb{R}$，且$x_1<x_2$，则$x_2-x_1>0$。 由题设条件，当$x>0$时$f(x)>0$，因此： $f(x_2 - x_1) > 0$ 利用函数方程$f(x+y)=f(x)+f(y)$，将$f(x_2)$变形拆分： $f(x_2) = f\left(x_1 + (x_2 - x_1)\right) = f(x_1) + f(x_2 - x_1)$ 作差得： $f(x_2) - f(x_1) = f(x_2 - x_1) > 0$ 即$f(x_2) > f(x_1)$，由严格单调递增定义，$f(x)$在$\mathbb{R}$上严格单调递增。 【考点】单调性定义 + 柯西方程变形，核心是作差后利用已知条件判断符号

8. 证明： 第一步：求特殊值$f(0)$ 令$x=y=0$，代入方程得： $f(0) = 0\cdot f(0) + 0\cdot f(0) = 0$

   第二步：求$f(-1)$的值 令$x=y=1$，得：$f(1) = 1\cdot f(1) + 1\cdot f(1) = 2f(1) \implies f(1)=0$ 令$x=-1,\ y=-1$，得：$f(1) = (-1)f(-1) + (-1)f(-1) = -2f(-1)$ 代入$f(1)=0$，解得$f(-1)=0$。

   第三步：验证奇函数定义 令$y=-1$，对任意实数$x$代入方程： $f(-x) = x\cdot f(-1) + (-1)\cdot f(x)$ 代入$f(-1)=0$，化简得： $f(-x) = -f(x)$ 函数定义域为$\mathbb{R}$，关于原点对称，故$f(x)$是奇函数。 【考点】赋值法证明奇偶性，通过特殊值搭建$f(-x)$与$f(x)$的关系

9. 证明： 已知对任意$x$，有 $f(x+a) = \frac{1}{f(x)}$。 将等式中所有$x$替换为$x+a$，得： $f(x+2a) = \frac{1}{f(x+a)}$ 将$f(x+a)=\frac{1}{f(x)}$代入上式： $f(x+2a) = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} = f(x)$ 因此$f(x)$是以$2a$为周期的周期函数。 【高频结论】若$f(x+a)=\pm\frac{1}{f(x)}$，则$T=2a$是函数的一个周期。

10. 证明（差分累加法）： 将原式改写为差分形式： $f(x) - f(x-1) = \sin\pi x$ 分别将$x$替换为$x+1$、$x+2$，得到两个等式： $f(x+1) - f(x) = \sin\left[\pi(x+1)\right] = \sin(\pi x + \pi) = -\sin\pi x$ $f(x+2) - f(x+1) = \sin\left[\pi(x+2)\right] = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin\pi x$ 将以上两式左右两边分别相加，左边中间项抵消： $f(x+2) - f(x) = -\sin\pi x + \sin\pi x = 0$ 即$f(x+2)=f(x)$，故$f(x)$是以$2$为周期的周期函数。 【考点】差分累加法证明周期性，利用三角函数周期性抵消附加项

（注：部分内容可能由 AI 生成）