Lecture 12：极大线性无关组与向量组的秩

定义： #极大线性无关组#

描述： $\text{在向量组}a_1,a_2,\cdots,a_s\text{中,若存在部分组}a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}\text{满足}:$ $1.a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}线性无关$ $2. 向量组中任意向量 a_i 是原本向量组的极大线性无关组$ 则称：$a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}是原向量组的极大线性无关组$

解释

• 概念：
  • 向量组的极大线性无关组一般不唯一；
  • 只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身；
• $a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_r}$
  • 来自原来的向量组；
  • 从向量中挑出部分组：$i_r$ 个出来；
• 注意：
  • 极大线性无关组是不唯一的；
  • 零向量不研究；

定义： #等价向量组#

描述： $\text{设两个向量组:(I)}\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i.\text{若(I)中每个向量}\alpha_i(i=1,2,\cdots,s)\text{均可由}$ (Ⅱ)中向量线性表示,则称向量组 (1)可由向量组 (Ⅱ)线性表示; 若向量组 (I), (Ⅱ)可以相互线性表示,则称向量组 (I)与向量组 (I)是等价向量组，记作 (I)相似于(Ⅱ).

解释

• 概念：
  • 表示多个向量可以被多个向量表示；
  • 等价向量组不是极大线性无关组，其中可能会有“躺平”的向量组；
  • 所以不是“相等”，而是叫等价；
• 目的：
  • 本质上来说，其表示：等价向量组所装成的空间是一致的；
• 解释：
  • A 和 B 等价 <-> A 可以由 B 表示 + B 可以由 B 表示 <-> r(A)=r(B)=r(A|B)

补充：充要条件

• $r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i).$
• 证明：
  • 不妨设：$r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$
  • 则表示：$\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可以由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$ 表示；
  • 还表示：$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$ 也可以由 $\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 表示；
• 等价向量组的充分条件 <- 三秩相同：
  • $r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i)=r(\alpha_{1}\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$
  • 意义：将其转化为求其秩是否相同的问题；

注意：考生应注意等价矩阵和等价向量组概念的区别；

• 矩阵等价要同型：A,B 等价 -> r(A)=r(B).
  • 举例：$(\begin{matrix}1\\0\end{matrix})和(\begin{matrix}0\\1\end{matrix})$
• 等价向量组的充分条件：$r(A|B)=r(B)=r(A)$

定义： #向量组的秩#

描述： $r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s})=r$ 等价向量组具有相等的秩，反之未必成立

解释

• 极大无关组的空间的维数；

定理： #三秩相等#

描述： r(A)(矩阵的秩)=A的行秩(A的行向量组的秩)=A的列秩(A的列向量组的秩)

解释

• 竖着看和横着看的向量组它们的秩都是一样的；

定理： #A到B的初等行变换#

描述：若 A 到 B 进行初等行变换，则：

1. A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组；
2. A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性；

解释

• 1. A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组 <- $r(A|B)=r(B)=r(A)$
• 2. A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性；
  • 不仅是性质相同，最后得到的解也是相同的；

定理： #向量组的线性表示#

描述：若向量组 A 可以被 B 表示，则 $r(A)<=r(B)$