Lecture 45：二重积分的计算

定理： #基于直角坐标系的二重积分计算#

描述： （1）先 Y 后 X：$\int\int_D{f(x,y)d\sigma = \int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx}$ 区域：$\begin{aligned}\varphi_1(x)&\leq y\leq\varphi_2(x)\cdot\\a&\leq x\leq b\end{aligned}$ 其中 $\varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x)$ 代表的是 x 的取值范围，是 x 关于 y 的函数，$\varphi_1(x)$ 就是实际的 y 等于的值； （2）先 X 后 Y：$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$ 区域：$\begin{aligned}\Psi(y)&\leq X\leq\Psi_2(y)\\c&\leq y\leq d\end{aligned}$

方法：确定积分限；

• 先 Y 后 X 时：
  • dy 的积分上限与下限 -> 从下往上画一条射线，射线的下端为 dy 积分下限，射线的上端为 dy 的积分上限；
  • dx 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 x 的取值范围；
• 先 X 后 Y 时：
  • dx 的积分上限与下限 -> 从左往右画一条射线，射线的左端为 dx 积分下限，射线的上端为 dx 的积分下限；
  • dy 的积分上限与下限 -> 观察图像，看 y 的取值范围；

解释

• 概念：
  • 这两种都可以使用，就看哪种计算起来更方便，就用哪个；
• 先 Y 后 X：
  • 概念：
    • $\int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx$ 或 $\int_a^b\mathbf{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\operatorname{d}y.$
  • 推理：
    • 1. 先求横截面面积：$S(x)=\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}f(x,y)\mathsf{d}y.$
    • 2. 再对曲边体型面积求解：$V=\int_a^bS(x)\operatorname{d}x$
    • 3. 两者合并：$\int_{a}^{b}[\int_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}f(x,y)dy]dx$
  • 图示：
    • 二维：

      • 

    • 三维：

      • 

• 先 X 后 Y：
  • 前提：$(\sigma)=\{(x,y)\mid x_1(y)\leq x\leq x_2(y),c\leq y\leq d\}$
  • 图示：

    • 

  • 化成先 x 后 y 的两次一重定积分；
  • 公式：$\begin{aligned}\iint_{(\sigma)}f(x,y)\operatorname{d}\sigma&=\int_c^d[\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx]\operatorname{d}y\\\\&=\int_c^d\operatorname{d}\left.y\right]_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)\operatorname{d}x.\end{aligned}$
• 非 X 非 Y 区域
  • 图示

    • 

  • 概念：
    • 一个复杂的、非 X 非 Y 的图形的二重积分；
  • 方法：
    • 可以通过分割的方式转化为：多个 X 型以及多个 Y 型的求和；

定理： #基于极坐标的二重积分计算#

描述：$\text{先 }\rho\text{ 后 }\theta\quad\iint_Df (x, y)\mathrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1 (\theta)}^{\varphi_2 (\theta)}f (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho$ 区域：$\begin{aligned}\varphi_1(0)&\leq p\leq\varphi_2(0)\\\alpha&\leq\theta\leq\beta.\end{aligned}$

解释

• 注意：
  • 对 $\rho$ 积分的时候，式子中的 $\theta$ 可以被看成是常数。同理对 $\theta$ 积分时；
• 补充：
  • 可以将函数中的内容，分到两个积分上进行计算；
  • $\iint_D\frac{x\sin (\pi\sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy=\int_0^{\frac\pi 2}\frac{\cos\theta}{\cos\theta+\sin\theta}d\theta\cdot\int_1^2\rho\sin (\pi\rho) d\rho$
  • $\Delta\sigma=\frac12[(\rho+\Delta\rho)^2\Delta\theta-\rho^2\Delta\theta]$ = $\rho\Delta\rho\Delta\theta+\frac12(\Lambda\rho)^2\Delta\theta.$

45.4.1 奇偶性#

概念：关于 Y 对称的时候看 X，关于 X 对称的时候看 Y；

性质一：若积分 D 关系 Y 轴对称，则函数关于 X 有奇偶性：

• 如果关于 X 的函数是偶函数，则加倍；如果关于 X 的函数是奇函数，则为 0；
• $\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{x\geq0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma;&f(-x,y)=f(x,y)\\0;&f(-x,y)=-f(x,y)\end{cases}$

性质二：若积分 D 关系 X 轴对称，则函数关于 Y 有奇偶性：

• $\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint\limits_{D_{y_{z_0}}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma&f(x,-y)=f(x,y)\\0&f(x,-y)=-f(x,y)\end{cases}$

45.4.2 对称性#

题型： #累次积分交换次序或计算#

题型： #二重积分的计算#