Lecture 37：可降阶方程与高阶线性微分方程

定理： #二阶线性齐次微分方程的解#

描述：如果以 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的的特解，那么：$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的通解；

解释

• 独立微分方程的个数和阶数一致；

判断线性无关

• 如果 $\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}$ 不等于 C，则线性无关；

定理： #二阶线性非齐次微分方程的解#

描述：如果 $y^*$ 是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则： $y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$ 是非齐次微分方程的通解；

解释

• $齐次通解+非齐次特解=非齐次通解$

定理： #非齐次微分方程与齐次微分方程的解#

描述：如果 $y^*_1(x)$ 和 $y^*_2(x)$ 是非齐次微分方程的两个特解，则 $y(x)=$ $y^*_1(x)$ + $y^*_2(x)$ 是齐次微分方程的解；

定理： #非齐次微分方程的解关于非齐次项的叠加性#

描述：如果 $y^*_1(x)$ 和 $y^*_2(x)$ 分别是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{1}(x)\quad\quad y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_{2}(x)$ 的特解，则： $\dot{y_1}(x)+\dot{y_2}(x)$ 是方程 $y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ 的一个特解；