Lecture 44：二重积分

44.1.1 概念引入#

曲面顶柱体的体积

• 在一个曲面顶柱体当中，当 $\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}\Delta\sigma_{i}f\left(\xi_{i},y\right)$ 时，其为曲面柱体的二重积分；
• 其中：$\sigma_{i}$ 为底面积，$f\left(\xi_{i},y\right)$ 为高，$lambda$ 为每一个小区间上，几何图形的直径；

44.1.2 直角坐标系的面积元素#

二重积分的几何意义：面积元素

• 横着分和竖着分；
• $\sigma_{i}=\Delta x_{i}\cdot\Delta y_{j}$
• 公式：$\int\int_{D}f(x,y)dxdy$

44.2.1 不等式性质#

二重积分：性质一

• 如果在 D 上，$f(x,y)\leq g(x,y)$ ，则有不等式：
• $\int\int_Df(x,y)d\sigma\leq\int\int_Dg(x,y)d\sigma$

二重积分：性质二

• 若在 $D$ 上有 $m\leq f(x,y)\leq M$，则：
• $mS\leq\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq MS$
• 其中：S 是区域 D 的面积

二重积分：性质三

• 积分的绝对值，小于绝对值的而积分
• $\left|\iint_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leq\iint_D\left|f(x,y)\right|\mathrm{d}\sigma.$

44.2.2 中值定理#

44.2.3 其他性质#

1. 被积函数的常数因子可以提到二重积分的外面，即

2. 函数和 (或差)的二重积分等于各个函数二重积分的和 (或差), 即

3. 如果在 D 上，f (x, y)=A, A 是常数，则σ为 D 的面积，则

4. 如果闭区域 D 被有线条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上的二重积分等于在各部分区域上 的二重积分的和，例如 D 被分为两个闭区域 D 1 和 D2，则

• 几何含义：原本一个几何柱体可以一次二重积分求出来，现在将其一个柱体切分成两个柱体，然后分别对其求二重积分，求和即为完整的体积；

5. 如果 $f(x,y)$ 在区域 D 上的数值恒等于 1，则其二重积分就是