Lecture 21：微分中值定理

定义：极大值与极小值#

描述： $若 \exists\delta>0\text{,使得}$ 极小值： $\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\geq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{取极小值}$ 极大值：$\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\leq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 取极大值}$

解释 因为这一点为极大值或者极小值，因此在极值这一点的斜率肯定和 Y 轴垂直；

引理：费马引理

• $\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{处取得极值,且 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可导,则}$：极值点 $f^{\prime}(x_0)=0$
• 费马引理：是可导函数取到机制的必要条件；

定理：罗尔定理#

描述：若满足三个条件： 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续； 2）$f$ 在 $(a,b)$ 内可导； 3）f(a)=f(b) 则可知：$\text{则 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f^{\prime}(\xi)=0$ 推导结论：有一点的切线，和 ab 两点的连线平行 -> 拉格朗日定理；

解释

• 推导关系：【定义】极大值与极小值 -> 【定理】费马引理 -> 【定理】罗尔定理
• 图示

  • 

定理：拉格朗日中值定理#

描述：若满足以下几个条件： 1）$f$ 在 $[a,b]$ 上连续 2）$f$ 在 ($a,b)$ 内可导 则：$\text{可得 }\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$

解释

• 拉格朗日定理是罗尔定理的推广；
• 罗尔定理是拉格朗日定理的特例；

补充

• $a>b,a<b\quad\text{结论都成立}$
• 改写形式：$f(b)-b(a)=f^{\prime}[a+\theta(b-a)](b-a)\quad(0<\theta<1)$
• 重要-> 改写形式：$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime}[x_0+\theta\Delta x]\Delta x\quad(0<\theta<1)$
  • 这种形式是以下微分近似形式的精确描述：$\Delta y\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x$

解释

• 图示

  • 

• 没有了 f (a)=f (b)的限制条件，所以不一定有切线平行 X 轴；
• 但是会有一点的斜率和当前函数值连线相等：

  • 

推论 1：有限增量公式

• $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime}[x_0+\theta\Delta x]\Delta x\quad(0<\theta<1)$
• 近似描述：$\Delta y\approx f^{\prime}(x_0)\Delta x$

推论 2：\text{设 }f(x)\text{ 在区间 }I\text{ 上连续,在 }I\text{ 内可导,则在}$$I\text{ 上 }f(x)\equiv C\Leftrightarrow f^{\prime}(x)\equiv0

• 左推导右是很明显的；
• 关键在于右怎么推左；

证明：使用分析法证明拉格朗日中值定理

• 核心方法：构造特殊函数，使用罗尔定理
  • 目标是证明：$\exists\xi\in(a,b)\text{,使 }f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$
  • 所以等于证明：$f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$
  • 所以可以设置一个函数 $F^{\prime}(\xi)=0$
  • 因此可得：令 $F (x)=f (x)-\frac{f (b)-f (a)}{b-a}x$
  • 所以根据摩尔定理： $F^{\prime}(\xi)=0$

1.2.2.1 例题#

例题：$\text{试证}\quad|\sin x-\sin y|\leq|x-y|$

• 分析
  • 分析过程：
• 解析
• 结论：$\mathrm{~sinx<x<tanx,x\in(0,\frac\pi2)}$

例题：$\text{证明：当 }x\in(0,\frac\pi2)\text{ 时, }\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2.$

• 分析
  • 因为是要证明一个函数值在一个范围内等于一个常数，所以可以考虑使用{拉格朗日中值定理的推论 2}；
• 解析
  • $f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{-\frac{1}{x^{2}}}{1+(\frac{1}{x})^{2}}=0.$
  • 因此导数等于 0，根据推论 2 -> 当前函数值在范围内为一个常数；
  • 所以随便带入一个点，即可得到当前函数值恒定为 $\pi/2$

定理：柯西中值定理#

描述：若满足以下条件： 1）$f,F\text{ 在 }[a,b]\text{上连续};$ 2）$f,F\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,且 }\forall x\in(a,b),F^{\prime}(x)\neq0$ 则：$\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$

解释

• 从拉格朗日中值定理 -> 柯西中值定理；
  • 将拉格朗日中值定理中函数设为参数方程：$Y 为 f，x 为 F$；
  • 此时 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}$ 即表示 ab 线段的斜率；
  • 并且对 $\xi$ 一点 y、x 求导 -> $\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$ = $dy/dx$ -> 等于这一点斜率；
  • 所以 $\exists\xi\in(a,b)\text{ ,使 }\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$
• 几何含义

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• 举例：$\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{(x-\sin x)-(0-\sin^{}0)}{x^3-0^3}$
  • 由柯西中值定理 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$，可知因此可得：$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2}{3\xi^2}$
  • 所以当前 $\xi$ 位于 $x$ 和 $0$ 之间
  • 所以得到 $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{3x^{2}}.$
  • 最后结果为 1/6；

PART 3：知识点复盘#