Lecture 36：一阶线性微分方程

定理： #伯努利方程#

描述： 在线性微分方程的基础上，在 $Q(x)$ 的右边乘上 $y^{1-\alpha}=u)$： $y^{\prime}+p (x) y=Q (x) y^{\alpha} \quad\quad\quad\quad\quad\quad(\alpha\neq1)\quad(y^{1-\alpha}=u)$

解释

• 求解：
  • 将 $y$ 设为 $y^{1-\alpha}=u$，使得方程变成一阶微分线性方程；
• 方法：
  • 如果 $\alpha$ 等于 0，那就是线性方程；
  • 如果 $\alpha$ 等于 1，那就直接可以使用可分离变量；
  • 因此：当前的讨论，都是假设阿法及不等于 0，也不等于 1；
• 思路：
  • 思考如何才能化成线性方程；

处理方法

• 已知：$y^{\prime}+p (x) y=Q (x) y^\alpha$
• 第一步
  • 把 $y^\alpha$ 除到等式的左边来，和 y 相除，得到：
  • $y^{1-\alpha}$
• 第二步：设 z
  • 令 $y^{1-\alpha}=z$
• 第三步
  • 化成线性方程

定义： #全微分方程#

描述： $dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

解释

• 概念：
  • 如果 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 是某个函数 $F(x,y)$ 的微分，则成此方程为全微分方程；
• 判断：
  • 如果两个分别对 $P(y)$ 和 $Q(x)$ 求出来的偏导数相等：
    • $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$
  • 则当前方程为全微分方程；
• 解法：
  • 1. 偏积分；
  • 2. 凑微分；
  • 3. 线积分；

解释

• 多元函数的微分，就是全微分；
  • 一元函数中的微分，只是考虑了 x 一个自变量导致的变化：
    • $dy=A\Delta x$
  • 在二元函数中，则是要将 x、y 两个变量导致的变化都表示出来：
    • $dz=Adx+Bdy$
• 偏增量和全增量
  • 偏增量：$\begin{aligned}\Delta z_{x}=f\left(x_{0}+\Delta x,y_{0}\right)-f\left(x_{0},y_{0}\right)\\\Delta z_{y}=f\left(x_{0},y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_0,y_{0}\right)\end{aligned}$
  • 全增量：$\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})$

全微分的两个问题

• 二元函数有两个自变量：x、y
• 一元微分的定义，和二元微分的定义在概念上是十分类似的；
• 微分的两个问题
  • 1. 是否可微分
    • （一元微分）由于可微分就可导，因此可使用导数的性质进行判断；
    • 二元微分是否有这样的结论？
  • 2. 微分如何计算
    • （一元微分）由于 $dy=f^{\prime}(x)dx$，所以可以用导数来求出 $dz=Adx$ 中的 A 的部分；
    • 把微分的计算归结为导数的计算

定理： #多元函数可微的必要条件#

描述：如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处可微，则该函数在点 (x, y)的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且：$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$ 注意：其中

1. $\frac{\partial z}{\partial x}$ 就是 $dz=Adx+Bdy$ 中的 A；
2. $\frac{\partial z}{\partial y}$ 就是 $dz=Adx+Bdy$ 中的 B；