Lecture 20：函数的微分

1.1.1 什么是微分#

为什么需要微分

• 微分的本质：微分本质是一个微小的线性变化量，是用一个线性函数作为原函数变化的逼近（或者叫近似）。
• 导数是研究在一点的变化率，是研究改变的快慢； 有时需要研究一点的改变量；
• 例子
  • 比如现在的例子： $\begin{aligned}&f (x)=x^2 \\&\Delta f (x)=f (x_0+\Delta x)-f (x_0)=2 x_0\Delta x+(\Delta x)^2\end{aligned}$
  • 当 $\Delta\mathrm{x}$ 很小时，此时 $\Delta f(x)\approx2\mathrm{x}_0\Delta\mathrm{x}$
  • 即变化率和平方的部分无关，可以被省略掉；
    • 图示：

      • 

      • 蓝色的部分为次要部分，可以省略掉；
      • 只需要保留绿色的部分；
  • 这对于误差的估计很有用；

微分和导数的关系

• 导数：是指函数在某一点处变化的快慢,是一种变化率。
• 微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量。
• 关于它们的符号
  • 将 $f^{\prime}(x)\Delta x$ 定义为 dy，因此 dy 不是一个符号，而是一个具体的值；
  • 而 $\Delta y$ 表示的是函数值的变化，显然 dy 的真正含义是对这种变化的逼近。
  • 也就是说我们定义微分，就是想借助微分这个工具来研究函数的变化趋势。
• 根据我们的定义，导数和微分的关系自然而然就出来了，由 $dy=f^{\prime}(x)\Delta x$ ,自然就得到 $\frac{dy}{dx}=f^{\prime}(x)$。
  • 是不是觉得导数和微分的关系其实也没有那么神秘，这一切都只源于那些数学大家的定义而已。所谓定义，肯定是人为的了，没什么道理可讲

1.1.2 微分的定义#

1.1.3 可微分与可导#

1.2.2 洛必达法则使用条件#

使用洛必达法则最多可用到

1. $f(x)\text{n阶可导，可以保证：}f^{(n-1)}(x)$ 极限存在；
2. $f(x)n\text{ 阶连续可导，则可以保证}f^{(n)}(x)$ 极限存在，可以使用洛必达；

1.3.1 古典微分学#

古典微分学的特点

1. dy 和 dx 表示的是自变量和因变量的具体的变化
2. 根据想象中的无穷小这个东西，定义了切线
3. 然后将切线的斜率定义为导数

   

   dx 到底是什么，一会为0，一会又不为0？？为什么一个量会有两种不同形态，而且还能完全没道理的自由转换。

1.3.2 极限微分学#

极限被发明了出来。相应的什么是无穷小，也有了确切的、具体的定义。无穷小终于不再是幽灵了，被光明正大的纳入数学体系中；

和古典微分学的区别

• 古典微分学
  • $\mathrm{dy}=\Delta y$
• 极限微分学
  • $\mathrm{dy}\approx\Delta y$
  • 极限微分学中，微分是变化的逼近，而不是变化本身 极限微分学的计算：