Lecture 22：化二次型为标准型与规范型
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Lecture 22：化二次型为标准型与规范型
22.1 惯性定理
概念：惯性定理
- 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数
p，负项个数q都是不变的； - 其中
p称之为正惯性指数； - 其中
q称之为负惯性指数； - 且：
概念：两个二次型 (或实对称矩阵)合同的充要条件
- 概念：
- 两个二次型 (或实对称矩阵)合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数, 或有相同的秩及正 (或负)惯性指数，或有相同的正、负特征值个数
- 正交矩阵下：
- 两个矩阵有相同的正、负特征值的个数；
22.1 两种二次型方法区别
总结：两种方法的区别
- 对于函数 有两种变换：
- （1）配方法；
- 可逆线性变换：；
- 对 C 的唯一要求，就是 C 可逆；
- 通过 ，得到合同对角阵；
- （2）正交变换法
- 也是要求可逆；
- 这里面也是设置 ，但 Q 不仅仅可逆，而且 Q 的逆还等 Q 转置；
- 所以： 通过 得到的结果是
- 区别：相似和合同
- 当
A是对称阵时； - 配方和正交都是可逆的；
- 但配方法不一定满足逆等于转置；
- 所以 里面的
C不一定是特征向量； - 正交配方法下更特殊，
C里面都是特征向量， 里面都是特征值；
- 当
- 注意：相同点
- 它们的正负关系指数是相同的
->无论用哪种方法，得到的系数的正负的个数都是一样的；
- 它们的正负关系指数是相同的
概念：合同矩阵与正负关系指数
- 概念：
- 并且合同变换当中，不变量也是正负关系指数；
- 所以
A合同于B的充要条件，就是 且
- 对称：
- 并且对称的条件下，一定合同；
- 因为两个矩阵对称下，相似时特征值完全一样
->完全一样的正负关系指数； - 反过来，合同不一定相似；
- 结论：
-
- 相似一定合同；
-
- 合同不一定相似；
-
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Lecture 22：化二次型为标准型与规范型
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