1.1 函数的概念与性质#

定义：设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的实数集。如果对于 $D$ 上的每一个 $x$ 值，按照一定的法则 $f$，都有唯一确定的 $y$ 值与之对应，则称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$。其中 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为定义域。

函数的四大基本性质：

1. 有界性 (Boundedness)：

   • 若存在正数 $M$，使得对于一切 $x \in D$，都有 $|f(x)| \le M$，则称 $f(x)$ 在 $D$ 上有界。
   • 几何意义：图像夹在直线 $y=M$ 和 $y=-M$ 之间。

2. 单调性 (Monotonicity)：

   • 单调递增：若对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) < f(x_2)$。
   • 单调递减：若对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1, x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，恒有 $f(x_1) > f(x_2)$。

3. 奇偶性 (Parity)：

   • 偶函数：$f(-x) = f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称。（例：$x^2, \cos x, |x|$）
   • 奇函数：$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称。（例：$x^3, \sin x, \tan x$）
   • 性质：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇$\times$奇=偶，偶$\times$偶=偶，奇$\times$偶=奇。

4. 周期性 (Periodicity)：

   • 若存在非零常数 $T$，使得对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(x+T) = f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数。
   • 常见的周期函数：$\sin x, \cos x$ ($T=2\pi$), $\tan x$ ($T=\pi$)。

1.2 反函数与复合函数#

• 反函数：若函数 $y=f(x)$ 在某区间上单调，则存在反函数 $x=f^{-1}(y)$。
  • 性质：$y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
• 复合函数：设 $y=f(u)$， $u=g(x)$，且 $R_g \cap D_f \neq \emptyset$，则 $y=f[g(x)]$ 称为复合函数。

1.3 初等函数#

由常数和基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数。

2.1 数列的极限#

定义：对于数列 $\lbrace x_n \rbrace$，若存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\varepsilon$（无论它多么小），总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，一切 $x_n$ 都满足 $|x_n - A| < \varepsilon$，则称常数 $A$ 是数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 的极限，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。

2.2 函数的极限#

1. 自变量趋于无穷大 ($x \to \infty$)：
   • $\lim_{x \to \infty} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, \text{当 } |x| > X \text{ 时}, |f(x) - A| < \varepsilon$。
2. 自变量趋于有限值 ($x \to x_0$)：
   • $\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{当 } 0 < |x - x_0| < \delta \text{ 时}, |f(x) - A| < \varepsilon$。

左极限与右极限：

• 左极限：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A$
• 右极限：$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$
• 定理：$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$。

2.3 极限的性质与运算法则#

• 唯一性：若极限存在，则唯一。
• 有界性：若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界。
• 保号性：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) > 0$。

四则运算法则： 设 $\lim f(x) = A, \lim g(x) = B$，则：

1. $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
2. $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
3. $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \quad (B \neq 0)$

2.4 两个重要极限#

1. 第一重要极限（处理 $\frac{0}{0}$ 型三角函数极限）： $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 推广：$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$（$u$ 代表趋于 0 的任意表达式）

2. 第二重要极限（处理 $1^\infty$ 型幂指函数极限）： $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

2.5 无穷小与无穷大#

• 无穷小：极限为 0 的变量。
• 无穷小的比较：设 $\alpha, \beta$ 是同一过程中的无穷小 ($\lim \alpha = 0, \lim \beta = 0$)，且 $\alpha \neq 0$。
  • 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0$，称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta = o(\alpha)$。
  • 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = C \neq 0$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。
  • 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$，称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

常用等价无穷小 ($x \to 0$)：

• $\sin x \sim x$
• $\tan x \sim x$
• $\arcsin x \sim x$
• $\arctan x \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

3.1 函数的连续性#

定义：若 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

• 充要条件：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$。

3.2 函数的间断点#

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续，则 $x_0$ 为间断点。

1. 第一类间断点（左右极限均存在）：
   • 可去间断点：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq f(x_0)$ （极限存在但不等于函数值）。
   • 跳跃间断点：$\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$。
2. 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）：
   • 无穷间断点：极限为无穷大。
   • 振荡间断点：极限在某范围内振荡（如 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时）。

3.3 闭区间上连续函数的性质#

若 $f(x) \in C[a, b]$（在闭区间上连续），则有：

1. 有界性定理：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界。
2. 最值定理：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值和最小值。
3. 介值定理：若 $m \le \mu \le M$，则 $\exists \xi \in [a, b]$，使得 $f(\xi) = \mu$。
4. 零点定理：若 $f(a) \cdot f(b) < 0$，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = 0$。

4.1 求极限的常用方法#

极限计算思维导图：

1. 代入法：对于连续函数，直接代入极限值。
2. 抓大头：当 $x \to \infty$ 时，分子分母同除以最高次幂（针对有理分式）。
   • 例：$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+1}{2x^2-x} = \frac{3}{2}$
3. 等价无穷小代换：
   • 适用场景：乘除因子可以换，加减项需谨慎（只有当 $\alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$ 且 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'} \neq 1$ 时通常可换，但建议仅在乘除中使用）。
   • 例：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$。
4. 洛必达法则 (L’Hopital’s Rule)：
   • 适用条件：$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；导数极限存在。
   • $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$。
5. 泰勒公式 (Taylor Series)：
   • 处理复杂的 $\frac{0}{0}$ 型极限，比洛必达更通用。
   • 记住常用展开式（如 $e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x)$）。
6. 幂指函数处理：
   • $u(x)^{v(x)} = e^{v(x) \ln u(x)}$。
   • 对于 $1^\infty$ 型：$\lim u(x)^{v(x)} = e^{\lim [u(x)-1]v(x)}$。

4.2 判断间断点类型的步骤#

1. 求出函数的定义域，找出无定义的点或分段函数的分界点作为可疑点。
2. 计算该点处的左极限和右极限。
3. 根据左右极限的存在情况判断：
   • 都存在且相等 $\to$ 连续（若等于函数值）或 可去间断点（若不等于函数值）。
   • 都存在但不相等 $\to$ 跳跃间断点。
   • 至少一个不存在 $\to$ 第二类间断点。