Lecture 13：间断点及其分类

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Lecture 13：间断点及其分类

2024-03-11

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13.1 间断点及其分类#

描述：若 f (x)在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0为f(x)$ 的间断点；

解释

间断点的分类

1. 第一类间断点：左, 右极限均存在；
- 可去间断点：且左极限=右极限；
- 跳跃间断点：左极限不等于右极限；
1. 第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在；
- 无穷间断点：比如 $1/x$ 中，当 x=0 时；
- 振荡间断点：比如在 x 趋向于 0 时， $sin1/x$ 为振荡间断点；
- 无穷和震荡是第二类当中常见的两种，但是不一定只有这两种，也可能既不是无穷、也不是震荡；

常见的需要分左右极限求极限的情况

例题： $\text{设函数 }f(x)=\frac{\ln|x|}{|x-1|}\sin x\text{,则 }f(x)$ 有？

分析
- 1. 先找没有定义的点；
  - x=1
  - x=0
- 1. 判断类型
  - 左右极限如果有区别，就分左右极限；
  - 左右极限如果没有区别，就不用分左右极限；
解析
- 当 x=0 时， $\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\ln|x|=\lim_{x\to0}\frac{\ln|x|}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x}}=0$ ，所以为可去间断点；
- 当 x=1 时， $\lim_{x\to1}f(x)=\sin|\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{|x-1|}$ ，因为 Inx ~ x-1，所以等价代换，所以得到极限当中的部分为 $\frac{x-1}{|x-1|}$ ，所以需要分为 x 趋向于 1 正和 1 负，所以为跳跃间断点；
题型： #间断点