Lecture 2：函数的概念及常见函数

定义： #函数#

描述：如果对于每个数 $x\in D$ ，变量 $x$ 按照一定的法则总有一个确定的 $y$ 和它对应，则称 $x$ 是 $y$ 的函数，记为 $y=f(x)$；常称 x 为自变量，$y$ 为因变量，$D$ 为定义域.

解释

• 基本概念
  • 定义域：$D_f=D.$
  • 值域：$R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$
• 函数的两个基本要素：
  • 定义域
  • 对应规则
• 只要满足两个要素，则可称两个函数相同，不用管定义域用什么符号；
• 注意：
  • 一个 $x$ 只能对应一个 $y$
  • 例如 $y^2=x$ 就不是函数，因为一个 $x$ 对应两个 $y.$

定义： #复合函数#

描述：设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f，u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$ 、值域为 $R_{s}$ ；若 $D_f\cap R_g\neq\phi,\text{则称函数}y=f[g(x)]$ 为函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数. 它的定义域为 $\left\{x|x\in D_g,g(x)\in D_f\right\}$；

解释

• g：内层函数
• f：外层函数
• 核心：$D_f\cap R_g\neq\phi$

方法：判断两个函数是否复合

• 内层函数的值域和外层函数的定义域的相交，必须是一个非空集合；不然就不是复合函数；

易错点：注意复合函数中的值域与定义域

• 概念：
  • 内层函数的值域，是复合函数的定义域
• 易错点：
  • 把内层函数的定义域当成复合函数的定义域；

定义： #反函数#

描述：设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 ${D}$, 值域为 $\underline{R}_{\underline{\nu}}$.若对任意 $y\in R_y$ ,有唯一确定的 $x\in D$ ,使得 $y=f(x)$,则记为 $x=f^{-1}(y)$ 称其为函数 $y=f(x)$ 的反函数；

解释

• 普通函数：多个 x 可以对应成一个 y；
• 反函数：一个 x 只能对应成一个 y；
• 概念：
  • 1. $\text{有时也将}\quad y=f(x)\text{ 的反函数 }x=f^{-1}(y)\text{ 写成 }y=f^{-1}(x)$
  • 2. $\text{在同一直角坐标系中,}y=f(x)\text{ 和 }x=f^{-1}(y)\text{ 的图形重和}$；
  • 3. $y=f(x)\text{ 和 }y=f^{-1}(x)\text{ 的图形关于直线 }y=x\text{ 对称}$；

方法：是否有反函数

• 核心：
  • 1. 对任意 $y\in R_y$ 是否有唯一确定的 $x\in D$；
  • 2. 单调函数一定有反函数；
  • 3. 反函数不一定是单调函数；
• 比如：
  • $y=x^3$ 有反函数，而 $y=x^2$ 没有；
• 结论：
  • 对 $\forall x_{1}\neq x_{2}\in D\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$
  • 即 f 函数应该是一个一一对应的映射；

方法：求一个函数的反函数

• 例：$\text{求函数 }y=\mathbf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2\text{ 的反函数}.$
• 具体步骤：
  • 1. 求出反解；
  • 2. 将函数 y、x 对调；

定义： #基本初等函数#

描述：将幂函数、指数、对数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数；

解释

定义： #初等函数#

描述：由

1. 常数和五类基本初等函数构成；
2. 进行的加减乘除以及复合
3. 所得到的用一个解析式表达的函数 称之为初等函数；

PART 1：解题方法#

考法：如果是分段函数的复合

• 1. 依然是内层带入到外层；
• 2. 如果是分段时，需要根据内函数的分段（内函数的函数值，落到了外函数的哪个部分），分段的将内函数带入到对应的外函数中； 考法：如果是已知复核后的函数以及外层函数，要求内层函数
• 1. 将复合函数的结果=外层函数套进内层函数后得到的函数；

PART 2：典型例题#

例题：$\text{设 }g(x)=\begin{cases}2-x,&x\leq0,\\x+2,&x>0,\end{cases}f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0,\\-x,&x\geq0,&\end{cases}\text{则 }g[f(x)]=(\quad)$