6.1 极限性质#
6.1.1 有界性#
数列
- 如果数列 {xn}收敛,那么数列 {xn}一定有界
- 收敛数列必有界；
- 有界数列未必收敛；
函数
- 若 limx→x0f(x) 存在,则 f(x) 在 x0 某去心邻域 有界（即局部有界）；
- 极限是函数的一个局部性态；
- 但局部有界时，不一定有极限；
- 例子： limx→0sinx1，其在趋向于 0 时一直局部震荡；
6.1.2 保号性#
数列
- 设 limn→∞xn=A：
-
- 如果 A>0(或 A<0),则存在 N>0, 当 n>N 时,xn>0(或 xn<0)；
- 即：当 N 大到一定程度时，一定会有数列的项和 A 保持一样的正负号 -> 保号性；
-
- 如果存在 N>0, 当 n>N 时,xn≥0(或 xn≤0 则 A≥0(或 A≤0)；
- 注意这里是大于等于符号；
- Xn⩾0⟶A⩾0
- 但只是大于时，不能推出 A 也是大于 0；
- Xn>0⟶×⟶A>0
函数
- 设 limx→x0f(x)=A
-
- 如果 A>0 (或 A<0),则存在 δ>0,当 x∈U(x0,δ) 时，f(x)>0 (或 f(x)<0).
-
- 如果存在 δ>0, 当 x∈U(x0,δ) 时, f(x)≥0，(或 f(x)≤0),那么 A≥0(或 A≤0)
6.1.3 补充：选择题之排除法的解题思路#
什么时候用排除法
- 解高等数学的题目时，出现一般函数时可以使用排除法；
如何用排除法
- 当出现抽象的 f(x) 函数时，可以考虑待一个具体函数进去，利用这个具体函数，判断每个选项是否正确；
6.2 极限与无穷小的关系#
关系：limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x)其中limα(x)=0；
- f(x) 以 A 为极限的充要条件 -> f(x) 等于 A 加上无穷小；
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