Lecture 7：极限存在准则

定理： #数列极限的夹逼准则#

描述： $\text{若存在 }N,\text{当 }n>N\text{ 时, }x_n\leq y_n\leq z_n$，$\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=a,\text{则}\lim_{n\to\infty}y_n=a$

使用情况：n 项和

• 举例：$\lim_{n\to\infty}\left[\frac n{n^2+1}+\frac n{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\right]$
• 放大：$\frac n{n^2+n}$
• 缩小：$\frac n{n^2+1}$
• 使用：$\frac{n^2}{n^2+n}\leq\left[\frac n{n^2+1}+\frac n{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\right]\leq\frac{n^2}{n^2+1}$

使用情况：取整函数

• 举例：$\lim_{x\to0^+}x[\frac1x]$
• 大小：$\frac1x-1<[\frac1x]\leq\frac1x$

定理： #数列的单调有界准则#

描述：单调有界数列必有极限；

1. 单调增、有上界的数列必有极限；
2. 单调减、有下界的数列必有极限；