Lecture 49：对坐标的曲线积分

定义： #第二类曲线积分#

描述： $\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}[P(\xi_{i},\eta_{i})\Delta x_{i}+Q(\xi_{i},\eta_{i})\Delta y_{i}]$

解释

• 把曲线任意划分成 n 个小端，每一个有方向的小弧段在 x 轴上的投影乘以

性质：曲线有方向，改变方向、变符号

• $\int_{L(AB)}Pdx+Qdy=-\int_{L(BA)}Pdx+Qdy$

定理： #第二类曲线积分的计算#

描述：当前参数方程为 $\begin{cases}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，从起点 A 到终点 B 中，t 从 α 到 β：$\int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \int_{\alpha}^{\beta}[p(\psi(t),\psi(t))\psi(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi^{\prime}(t)]dt$

解释

• 概念：
  • 写出参数方程、带进去，化成定积分的计算；
• 注意：
  • 上下限是从起点的参数 -> 终点的参数，而不是按照大小而来的；

定义： #单连通区域#

描述：假设在 D 平面区域内，D 内任意一闭曲线围成的部分都居于 D；否则则称之为复连通区域；

解释

• 无洞无眼；

定理： #格林公式#

描述：闭区域 D 上由分段光滑的曲线 L 围成的，$P(x,y)、Q(x,y)$ 在 D 上有一阶连续偏导；则： $\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma =\oint_{L}Pdx+Qdy$

解释

• 注意：
  • 格林公式使用的范围 -> 必须是在闭区域上：即曲线是封闭的；
  • 正负方向是相对于当前区域而言的；
• 其中：
  • L 是区域 D 的正方向的边界曲线；

补充：补线用格林

• 因为格林公式只能使用在封闭区域，因此当需要在非封闭区域使用时，可以进行补线，将非封闭区域补线为封闭区域，然后对封闭区域使用格林公式后再减去补线的部分，得到结果；

定理： #利用线积分与路径无关#

描述： $\text{i)判定:}\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} (区域D单连通))$ $ii)计算:$ (a)改换路径：先改成更简单的（一般是沿着坐标轴的）的路径 (b)利用原函数：$\int_{(x_{1},y_{1})}^{(x_{2},y_{2})}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{1})$ 求原函数的方法：1. 偏积分；2. 凑微分；

定理： #第二类曲面积分的空间计算#

描述： $设L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),\quad t\in[\alpha,\beta]$ $\int_{L}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\=\int_{a}^{\beta}\{P[x(t),y(t),z(t)]x^{\prime}(t)+Q[x(t),y(t),z(t)]y^{\prime}(t)+\\R[x(t),y(t),z(t)]z^{\prime}(t)\}dt$

举例：$\text{设 }L\text{ 是柱面 }x^2+y^2=1\text{ 与平面 }y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分\int_{L}z\operatorname{d}x+y\operatorname{d}z$

• 设 $x=\cos t,y=\sin t,z=-\sin t$，代入得到定积分：$I=\int_{0}^{2x}(\sin^{2}t-\sin t\cos t)dt$

定理： #斯托克斯公式#

描述： $\int_{L}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)dz=$

解释

• 平面时：选第一种
• 其他时候：选第二种