Lecture 52：对坐标的曲面积分

定理： #第二类曲面积分的计算#

描述：

1. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:z=z(x,y),(x,y){\in}D_{xy}\text{ 取上侧}R(x,y,z)\text{是 }\Sigma\text{ 上的连续函数, 则}$： $\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\operatorname{d}x\operatorname{d}y=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\operatorname{d}x\operatorname{d}y$
2. $\text{设光滑曲面 }\Sigma:x=z(y,z),(y,z){\in}D_{yz}\text{ 取上侧}R(x,y,z)\text{是 }\Sigma\text{ 上的连续函数, 则}$： $\iint_{\Sigma}P(x,y,z){\mathrm{d}y\mathrm{d}z}=\pm\iint_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\mathrm{d}ydz$
3. $\text{设曲面: }\Sigma:y=y (z, x),\quad (z, x)\in D_{zx}$，则：$$$$

解释

• 解释：
  • 把 dxdy 的二型面积分，化成了 Dxy 投影域上的面积分；
• 正负号的选择：
  • 若是在 xy 上投影：
    • 上侧做积分 -> 正号；
    • 下侧做积分 -> 负号；
  • 若是在 yz 上投影：
    • yoz 的前侧 -> 正号；
    • yoz 的后侧 -> 负号；
  • 若是在 xz 上投影：
    • xoz 的右侧 -> 正号；
    • xoz 的左侧 -> 负号；
• 注意：
  • 若是在 z=f(x,y) 时：
  • 若 x 为常数 -> 投影域就是直线，此时积分就是等于 0；
  • 若 y 为常数 -> 投影域也是直线，此时积分也是等于 0；

定理： #高斯公式#

描述： $\oint\oint_{\Sigma_{\text{外}}}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}zdx+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V$

解释

• 概念：
  • 建立一个封闭曲面外侧的二型面积分，跟这个曲面所围成区域上空间体的三重积分的关系；
  • 实际上，它是跟曲线积分里边的格林公式是完全类似的结论；
  • 格林公式是建立一个平面封闭曲线的的线积分和这个封闭曲线所围成区域上二重积分的关系；

补充：补面用高斯公式

• 曲面不封闭时，补一个面，使用高斯公式；
• 然后用高斯公式计算的结果 - 补上的部分；