Lecture 16：导数基本概念

定义： #什么是导数#

描述： $\begin{aligned}\text{若 }&\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}&\text{存在，则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 点可导}.\end{aligned}$ 另一种形式：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 形式一：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 形式二：$f^{\prime}(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

解释

• 等价形式：
  • 因为 $x_0+\Delta x=x\quad\Delta x=x-x_0.$
  • 所以 $f^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
  • 其他形式：$f^{\prime}(x_0)=y^{\prime}|_{x=x_0}=\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$
• 注意：
  • 1. 一点的导数和 $f(x_0)$ 有关；
  • 2. $f(x_0)$ 是一个定点，$f(x)$ 是一个动点；
  • 3. 若极限不存在，则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处不可导；
  • 4. 若极限为无穷大，则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处导数为无穷大（导数为无穷，为不可导）.

什么是可导

• $\frac{dy}{dx}=k$ 。也就是 $\Delta y$ 和 $\Delta x$ 的比值；
• 若能求出值，就是可导，若不能，就是不可导。

推导：假设当前距离函数为 $d(s)=t^3$，当前导数为 $v(t)$，设 $t=3$

• 对一点附近的变化率推导：$\begin{gathered}\text{Derivative}\\\frac{ds}{dt}(t)=\underbrace{\frac{s(t+dt)-s(t)}{dt}}_{dt\to0}\end{gathered}$
• 假设在 $t=2$ 的点，求这一点的切线：$\begin{aligned}\frac{ds}{dt}(2)=\frac{\left(2+dt\right)^3-\left(2\right)^3}{dt}\end{aligned}$
• 此时将 $(2+dt)^3$ 展开，得到：$\begin{aligned}\frac{2^3+3(2)^2dt+3(2)(dt)^2+(dt)^3-2^3}{dt}\end{aligned}$
• 将其除以 $dt$ 后，得到：$3(2)^2+3(2)(dt)+(dt)^2$
• 此时，当 $dt$ 趋向于无穷小时，得到： $\frac{ds}{dt}(2)=3(2)^2=12$
• 如果将当中的 $t=2$ 变为一般式 $t=t$，则可得到：$\frac{ds}{dt}(t)=3(t)^2$

定义： #左导数与右导数#

描述： $\begin{aligned}&\text{ 左导数: }f_0^{\prime}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\&\text{ 右导数: }{f_0^{\prime}(x_0)}=\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Lambda x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\end{aligned}$

解释

• 左导数的函数下面要加负号
• 右导数的函数下面要加正号

定理： #左右导数与导数的关系#

描述： $f^{\prime}(x_0)=a\Leftrightarrow f_-^{\prime}(x_0)=f_+^{\prime}(x_0)=a$

解释

• 左右导数的关系：可导 <--> 左右导数存在且相等；

定义： #区间上可导#

描述：区间上可导 = 区间上的每一点都具有导数；

1. $(a,b)$ ：区间上每一点可导；
2. $[a,b]$ ：区间上每一点可导，并且 a 点右可导，b 点左可导；

PART 1：解题方法#

特点：出现了类似于 $f^{\prime}(x_0)=-1$ 一点导数存在这种形式，经常考察的是一点的导数定义的题目；

核心思想：把当前导数凑成一下类似于导数定义的形式；

• 形式：$f^{\prime}(x_{0})=\lim_{方框\to0}\frac{f(x_{0}+方框)-f(x_{0})}{方框}$
• 除法当中的分子式是一个动、一个定，因此要凑成这种形式；
• 补充：条件解析
  • 当出现 $x=0\text{ 处可导,且 }f(0)=0$ 时，要用到导数在 0 点的定义式；

类似题型：导数零点判定性问题

• 举例：$\text{下列函数中,在 }x=\mathbf{0}\text{ 处不}\text{可导的是}$
• 常用结论：设 $f(x)=A(x)x-a$，其中 $A(x)$ 在 x=a 处连续，则 $f(x)$ 在 x=a 处可导的充要条件为：$A(x)=0$

类似题型：有类似于导数的定义 $\lim_{方框\to0}\frac{f(x_{0}+方框)-f(x_{0})}{方框}$，此时问某点是否可导；

• 解题：需要在方框趋向于 0 正以及 0 负, 并且方框不等于 0的情况下都可以存在，此时才可以推出这一点导数存在；

PART 2：典型例题#

例题：$\text{已知 }f^{\prime}(x_0)=-1,\text{则}\lim_{x\to0}\frac x{f(x_0-2x)-f(x_0-x)}=？$

• 分析
  • 凑成导数定义的形式；
  • 也可以使用具体函数来带入求值（因为是填空题）；
• 解析
  • $\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0}-2x)-f(x_{0}-x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0}-2x)-f(x_{0})}{-2x}\cdot\frac{-2x}{x}-\lim_{x\to0}\frac{f(x_{0}-x)-f(x_{0})}{-x}\cdot\frac{-x}{x}$
• 题型： #导数定义

例题：$\text{已知 }f(x)\text{ 在 }x=0\text{ 处可导,且 }f(0)=0,\text{则}\quad\lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3}$ =？

• 分析
• 解析
• 题型：#

PART 3：知识点复盘#

注意：导数存在 -> 导数定义的极限存在 和 导数定义存在 -> 导数存在 这两个不是一个问题；

• 导数存在 -> 导数定义的极限存在：证明这个极限存在几个；
• 导数定义存在 -> 导数存在：需要证明在方框趋向于 0 正以及 0 负, 并且方框不等于 0 这三个情况下都存在，才可以证明导数存在；

PART 1：解题方法#

题型 1：导数的几何意义

• 求切线的斜率：$k_{切}=\frac{dy}{dx}$
• 求法线的斜率：$k_{法}=-\frac1{k_{切}}$

题型 2：相关变化率

• 1. 建立相关量之间的关系；
• 2. 式子两边对 t 求导；

PART 2：典型例题#

例题：$\left.\text{曲线 }\left\{\begin{aligned}x&=\arctan t,\\y&=\ln\sqrt{1+t^2},\end{aligned}\right.\text{ 上对应于 }{t=1}\right.$ 的点处的法线方程

• 分析
• 解析
• 题型：#