Lecture 23：泰勒公式

定理：泰勒定理 - 带 Peano 余项#

描述： 带有 Peano 余项的泰勒公式： $\text{设}f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处 }n\text{ 阶可微,则}$ $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$

解释

• 意义：
  • 把一个一般函数，写成一个 一般多项式+余项；
• 余项：
  • $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
• $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处的 n 次 Taylor 多项式：
  • $R_n(x)=o((x-x_0)^n)$
• 缺点：
  • 1. 只能给出余项的定性描述，不能做定量的分析；
  • 2. 只能在 x 0 临近时，才能用，远处无法使用；

补充

• 首先是函数和微分的关系
  • $\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可微,则 }\Delta y\approx dy$
  • $f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$
• 此时是约等于，因为在几何上，$f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ 实际上是使用直线来模拟曲线的值；
• 所以可以在进行一次微分，用高阶无穷小进一步近似曲线的值，即 f (x)的值
  • $f(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
• 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 n 阶可导，是否存在 n 次多项式 $P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n$ 使得：
  • $f(x)=P_n(x)+o((x-x_0)^n)$
• 因此，可得 $a_0=f(x_0),\quad a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\quad k=1,2\cdots n$
• 所以：$P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$

定理：泰勒公式 - Lagrange#

描述： $\text{设 }f(x)\text{ 在区间 }I\text{ 中 }n+1\text{ 阶可导},$ $x_0\in I,\text{ 则 }\forall x\in I,\exists\xi\in I\quad(\xi\text{ 在 }x_0\text{ 与 }x\text{ 之间),使}$ $f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\big(x-x_0\big)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\big(x-x_0\big)^{n+1}$ 带有拉格朗日余项的泰勒公式： $R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$

解释

• 给出了余项的具体表达式
• 可以在给定条件下，进行定量分析；
  • 可以保证误差，在 x 0 趋向于 0 时，误差为零；

推论 1：零点的泰勒公式 $\begin{gathered}\text{若 }x_0=0\text{ , 则} \\F (x)=f (0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \\上式称为 f (x)\text{ 的 Maclaurin 公式} \end{gathered}$

推论 2：几个初等函数的 Maclaurin 公式

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}e^{\theta x}\quad\quad x\in(-\infty,+\infty)$
  • 因为 e 的导数还是自己，就是各阶导数就使用 1 带进去；
• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\left(-1\right)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{\left(2m-1\right)!}+\left(-1\right)^m\frac{\cos\theta x}{\left(2m+1\right)!}x^{2m+1}$
• $\begin{aligned}(1+x)^\alpha&=1+cx+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\\&+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)(1+\beta x)^{x-n-1}}{(n+1)!}x^{n+1}\quad x\in(-1,+\infty)\end{aligned}$