Lecture 24：函数的单调性与曲线的凹凸性

定理：单调增减与导数#

描述： $\text{设函数 }f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内可导,则}$ 1）$\text{如果在(}a,b)\text{ 内 }f^{\prime}(x)\geq0,\text{ 且等号只在有限个点上成立}$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加 2）$\text{如果在(}a,b)\text{ 内 }f^{\prime}(x){\leq}0,\text{ 且等号只在有限个点上成立,}$ 则 $\text{则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上单调减少}$

解释

• 注意：此条件 等号只在有限个点上成立 ，即导数等于零的位置点是有限个，

定义：凹凸的定义#

描述： \text{设函数}f(x)\text{在区间 }I\text{ 上连续, 如果对}$$I 上任意两点 $x_1,x_2$ 1）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，$则称 f(x)\text{ 在 }I\text{ 上的图形是凹的}$ 2）如果恒有 $f(\frac{x_1+x_2}2)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的

解释

• 中点：$\frac{x_1+x_2}2$
• 几何意义
  • 凹

    • 

    • 其斜率在增加，即一阶导数在增加 -> 二阶导数大于零；
  • 凸

    • 

    • 其斜率在减少，即一阶导数在减少 -> 二阶导数小于零；

定理：凹凸性判定#

描述： $\text{设函数}f(x)\text{ 在区间 }[a,b]\text{ 上连续},\text{ 在 }(a,b)\text{ 内二阶可导},$ 1）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)\text{>0, 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凹的}$； 2）$\text{若在 }(a,b)\text{ 内 }f^{\prime\prime}(x)<0,\text{ 则 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上的图形是凸的}$

总结

• 用一阶导数的正负 -> 判断函数的单调性；
• 用二阶导数的正负 -> 判断函数的凹凸性；

定义：拐点#

描述：连续曲线上，凹凸性质发生变化的分界点

拐点可能取值

• 1. ${f^{\prime\prime}(x_0)=0}$；
• 2. 二阶导数不存在的点；

PART 1：解题方法#

拐点可能的取值点

• 1. 二阶导数等于 0 的点；
• 2. 二阶导数不存在的点；
• 然后逐个判断这些等于 0 或者不存在的点，其拐点是否存在，得到所有拐点的取值；

判断可能的拐点是否存在

• 凹凸性质发生变化的分界点；

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#

PART 1：解题方法#

方程根的问题

• 一、存在性问题：即函数有零点，$f(x)=0$
  • 1. 连续函数的零点定理：$f(x)在[a,b]$ 区间上连续，并且两端点异号 -> $f(a)·f(b)<0$ -> 方程有根；
  • 2. 罗尔定理：一点导数等于 0 -> 至少有一个根；
• 二、根的个数
  • 使用函数的单调性定理；

PART 1：解题方法#

拉格朗日中值定理

• 可以用于证明不等式。但是使用时，需要具有两个函数的差；
• 典型场景：$sin(a)-sin(b)<a-b$

利用单调性+求导证明不等式

• 将不等式放到等号一边，变成 $一坨>0$，然后利用求导得到单调性，证明不等式；

PART 2：典型例题#

例题：证明： $\frac x{1+x}<\ln(1+x)<x.(x>0)$