Lecture 25：函数的极值与最值

定义： #函数的极值#

描述：若 $\exists\delta>0$,使得 1） $\forall x\in U(x_0,\delta)$ 恒有 $f(x)\geq f(x_0)$, 则称 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 取极小值。 2） $\forall x\in U(x_0,\delta)\text{ 恒有 }f(x)\leq f(x_0)\text{,则称 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{取极大值}$

定理： #极值的必要条件#

描述： $\text{若 }f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处何导,且在 }x_0\text{ 处取得极值,则}$ $f^{\prime}(x_0)=0$

意义

• 对于可导函数，通过这个定理，缩小了函数可能的极值点的范围；
• 1. 对于可导函数，只需要看驻点；
• 2. 对于不可导的点，只要看驻点和不存在的点；

极值与驻点的关系

• 驻点：
  • 导数的等于零的点，称之为函数的驻点；
  • 在 $x_0$ 处取到极值，其导数等于零；
• 驻点和极值点的关系

  • 

• 对可导函数而言，极值点就是驻点；

推论 1：一般函数可能的极值点

• 1. 导数等于 0 的点；
• 2. 导数不存在的点；

定理： #极值第一充分条件#

描述： $\text{设 }f(x)\text{ 在 }U(x_0,\delta)\text{内可导,且 }f^{\prime}(x_0)=0\text{(或}f(x)\text{在 }x_0\text{ 处连续})$ 1）若 $x<x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\geq0;x>x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\leq0$, 则 $f$ 在 $x_{0}$ 处取极大值 2）若 $x<x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\leq0;x>x_0$ 时，$f^{\prime}(x)\geq0$, 则 $f$ 在 $x_{0}$ 处取极小值. 3）$\text{若}f^{\prime}(x)\text{ 在 }x_0\text{ 的两侧不变号,则 }f\text{ 在 }x_0\text{ 无极值}$

意义

• 判断一点是不是真的极值点；
• 使用方法：
  • 由 极值的必要条件(定理) -> 若干可能的极值点 -> 极值第一充分条件(定理) -> 真正的极值点；

解释

• 几何
  • 分别为情况一和情况二：

    

• 优势
  • 既可以分析导数等于 0 的点，还可以分析导数不存在的点；

定理： #极值第二充分条件#

描述： $\text{设}\quad f^{\prime}(x_0)=0,f^{\prime\prime}(x_0)\neq0$ 1）当 $f^{\prime\prime}(x_0)<0$, $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取极大值 2）当 $f^{\prime\prime}(x_0)>0,\quad f(x)$在 $x_{0}$ 处取极小值

解释

• 意义：
  • 通过导数等于 0 的点的二阶导数的值来判定一点是否取到极值；
• 局限性：
  • 无法分析导数不存在的点；

PART 1：解题方法#

核心：由 极值的必要条件(定理) -> 若干可能的极值点 -> 极值第一充分条件(定理) -> 真正的极值点；

可能的极值点

• 1. 导数等于 0 的点；
• 2. 导数不存在的点；

判断可能的极值点是否真的是极值点

• 导数存在时：可以使用极值第一充分条件 -> 导数极限左右是否变号 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
• 导数不存在：
  • 1. 函数连续时：可以使用极值第一充分条件 + 导数连续 -> 可以推导导数不存在的点是否为极值 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
  • 2. 不清楚函数是否连续：使用极值第一充分条件 + 判断这一点是否连续（左右极限是否相等） -> 如果连续 -> 导数从正变负：极大值 + 导数从负变正：极小值；
• 或者使用极值第二充分条件 -> 二阶导数不等于 0；

补充：关于函数的导数以及左右导数

• 如果导数的左右导数当中有一个不存在，则这一点导数不存在；
• 并且如果已经判断出来左右导数中有一个，则另外一半就不需要讨论了；

根据函数式子求导数

• 1. 分析函数，看其中有没有导数不存在的点 -> 通常分段函数的分界点、0 点周围都可能是导数不存在的点；
• 2. 去掉不存在的点后，对函数求导；

最大最小值的应用题：先建立目标，在使用求最大最小值的方法求解；

• 注意：目标函数通常不唯一，可以思考是否有更简单的目标函数；

PART 2：典型例题#

例题：已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $f(0)=0,\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$,则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ __

• 分析
• 解析
  • 直接法：
    • 由于 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，并且 $1-conX$ 在 x 点附近大于 0 -> 所以在 0 点附近，$f(x)>0$ ；
    • 因为在 0 点处，$f(0)=0$，而又在 0 点附近，$f(x)>0$ ；
    • 所以可知：$f(0)=0$ 为 0 点附近的最小点，取得最小值；
  • 排除法：
    • 带入具体函数，分析；
    • 令 $f(x)=x^2$，此时其满足题目所有条件；
    • 由此可知 $f(x)=x^2$ 在 0 点取得最小值，并且极限存在、可导，且导数等于 0；
• 题型：#

PART 3：知识点复盘#