Lecture 27：不定积分 换元积分法

定义： #曲率#

描述：弧 $MM^{\prime}$ 的切线转角 $\Delta\alpha$ 与该弧长 $\Delta s$ 之比的绝对值，称作该弧的平均曲率，记作：$\overline{K}=\begin{vmatrix}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\end{vmatrix}$ 当 $M^{\prime}$ 沿曲线 L 趋向于 M 时，若弧 $\overline{MM^{\prime}}$ 的平均曲率的极限存在，则称此极限为曲线 L 在点 M 处的曲率，记作 K，即： $K=\lim_{M^{'}\rightarrow M}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|\text{或}K=\lim_{\Delta s\rightarrow0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|$ 即：$K=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+{y^{\prime}}^2)^{\frac32}}$

解释

• 用极限来描述曲线的某一点，其弯曲的程度；
• 曲率：$K=\frac{|y^{\prime\prime}|}{(1+{y^{\prime}}^2)^{\frac32}}$
• 曲率半径： $R=\frac1K$