Lecture 28：不定积分

1.1.1 基本概念#

原函数

• 概念：
  • $F^{\prime}(x)=f(x)$
  • $G^{\prime}(x)=f(x)$
• 则：$G(x)-F(x)=C$

1.1.2 原函数存在性#

1.1.3 不定积分基本性质#

性质 1：

• $(\int f(x)\mathrm{d}x)^{\prime}=f(x)$
• $\mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x$

性质 2：

• $\int f^{\prime}(x)\operatorname{d}x=f(x)+C$
• $\int\operatorname{d}f(x)=f(x)+C$

性质 3：

• $\int[f(x)\pm g(x)]\operatorname{d}x=\int f(x)\operatorname{d}x\pm\int g(x)\operatorname{d}x$

性质 4：

• $\int kf(x)\operatorname{d}x=k\int f(x)\operatorname{d}x$

1.2.1 积分公式#

$1、\int adx=ax+C\:,\:a$ 是常数 $2、\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$ ,其中 a 为常数，且 $a\neq-1$ $3、\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$ $4、\int e^{x}dx=e^{x}+C$ $5、\int a^{x}dx=\frac{1}{\ln a}a^{x}+C$ ,其中 $a>0\:,\:目a\neq1$ $6、\int\sin xdx=-\cos x+C$ 7、$\int\cos xdx=\sin x+C$ $8、\int\sec^{2}xdx=\tan x+C$ $9、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$ $10、\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$ $11、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$ $12、\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C$ $13、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$ $14、\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ $15、\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$ $16、\int\frac1{x^2-a^2}dx=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$ $17、\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$ $18、 \int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$ $19、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$ $20、\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right.|+C$

常见“积不出”函数

• $\begin{aligned}&\int\mathrm{e}^{x^2}\mathrm{d}x\\&\int\frac{\sin x}x\mathrm{d}x\\&\int\frac{\cos x}x\mathrm{d}x\end{aligned}$

1.2.2 三角函数总结#

三角函数基础

• 倒数关系：
  • $\tan\alpha\cot\alpha=1、\sin\alpha\csc\alpha=1、\cos\alpha\sec\alpha=1$
• 商数关系：
  • $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}、\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• 平方关系：
  • $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1、1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha、1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha$
• 二倍角公式：
  • $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
  • $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
  • $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{2\cot\alpha}{\cot^2\alpha-1}=\frac{2}{\cot\alpha-\tan\alpha}$
• 降次公式：
  • $\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2},\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2},tan^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{1+cos2\alpha}$
• 反三角函数：
  • $x=a\sin t { 时}，t=\arcsin\frac xa.$
  • $\text{x=a sect}时,t=\mathrm{arc}\cos\frac{a}{x}$

三角函数求导合集

• 正弦、余弦：
  • $(\sin x)^{\prime}=\cos x、(\sin x)^{\prime}=-\cos x$
• tan、cot、sec、csc：
  • $\begin{aligned}(\tan x)^{\prime}&=\sec^2x&(\cot x)^{\prime}&=-\csc^2x\\\\(\sec x)^{\prime}&=\sec x\tan x&(\csc x)^{\prime}&=-\csc x\cot x\end{aligned}$
• 反三角函数：
  • $\begin{aligned}&(\arcsin x)^{\prime}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}&&(\arccos x)^{\prime}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}\\&(\arctan x)^{\prime}=\frac1{1+x^2}&&(arccot x)^{\prime}=-\frac1{1+x^2}\end{aligned}$

常见三角函数积分

• 和求导一一对应：
• $\int\sin xdx=-\cos x+C、\int\cos xdx=\sin x+C$
• $\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C、\int\cot xdx=\ln\lvert\sin x\rvert+C$
• $\int\sec xdx=\ln\lvert\sec x+\tan x\rvert+C、\int\csc xdx=-\ln\lvert\csc x+\cot x\rvert+C$
• $\int\sec^{2}xdx=\tan x+C、\int\csc^{2}xdx=-\cot x+C$
• $\int\tan x secx=\sec x+C、\int{\cot x\,\csc x}\,dx=-csc x+C$

常见反三角函数积分

• $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$
• $\int\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C$
• $\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$
• $\int\frac 1{a^2+x^2}dx=\frac 1 a\arctan\frac xa+C$

题型： #求不定积分之换元、分部#