Lecture 31：定积分的基本概念

定义： #定积分#

描述： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 上任意插入分点，分成 n 个小区间 $\Delta x_{1}\Delta x_{2}\cdots\Delta x_{n}$ ，任取一点 i，有：$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$

其中：$\lambda=\max\{\Delta x_{1}\cdots\Delta x_{n}\}$

解释

• 概念：
  • 定积分就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的和式极限；
  • 1. 分：将 $[a,b]$ 区间分成若干段；
    • 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，将区间 $[a, b]$ 分成 n 个子区间 $[x_0,x_1]$,($x_1,x_2],(x_2,x_3],\ldots,(x_{n-1},x_n]$, 其中 $x_0 = a$，$x_n = b$
  • 2. 匀：从中取出一段 $[x_{i-1},x_i]$；
  • 3. 积：将所有的小段求和：$\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$
  • 4. 精：将每一个小段趋向于无穷小：$\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$
• 总结：
  • 定积分是一种特殊的极限；
  • 定积分的存在性问题 -> 极限的可积性问题；
• 分段：
  • $\lambda=\max[-x_1,-2x_2,\ldots,-2x_n\}$ （即λ是最大的区间长度）
  • 如果当 λ→0 时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数 f (x) 在区间 $[a, b]$ 的定积分，记为 $\int_a^bf(x)dx$，并称函数 f (x)在区间 $[a, b]$ 上可积；
• 注意：
  • 1. $\lambda\to0\text{ 与 }n\to\infty\text{ 不等价}$；
  • 2. $\int_a^bf(x)dx\text{ 仅与 }f(x)\text{和 }[a,b]\text{有关}$；
  • 3. $\text{极限 }\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\text{ 与 }\xi_i\text{ 的取法和区间 }[a,b]\text{ 的分法无关}$
    • 因为和分法无关，因为等分最简单，所以使用等分；
    • $\int_{0}^{1}f(x)\operatorname{d}x=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{\iota})\Delta x_{i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})$
    • 这样就可以把求一个和式的极限，变成求其定积分；
    • 其中：$\frac{1}{n}$ 称之为可爱因子；
  • 4. 定积分求出来的是一个具体的数，且只和被积分函数以及积分区间有关，与积分变量无关；

定理： #定积分存在性#

描述：

1. 条件 1：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 -> 可积；
2. 条件 2：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且有有限个间断点 -> 可积；
3. 条件 3：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上仅有有限个第一类间断点；

解释

• 其中 1 和 3 用的比较多；
• 必要条件：
  • 可积 -> 有界；
  • 但有界不能推出可积存在；
• 总结：
  • 有界是定积分存在的必要条件；
  • 可积是定积分存在的充分条件；

PART 1：解题方法#

题型：n 项和相加

• 思路：
  • 1. 使用夹逼定理；
  • 2. 使用定积分定义；
• 定积分求解：
  • 步骤 1：先提出可爱银子 $1/n$
    • 需要保证：提出之后的元素是 $1/n$ ，不可以被不可爱因子抵消；
    • 因为可爱银子就是 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{λ\to0}\sum_{x=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}$ 中的 $\Delta x_{i}$
  • 步骤 2：观察被提出后的式子，找变量 -> 哪里变哪里就是变量；
  • 步骤 3：得到区间 -> 从哪变到哪 -> 找到定积分的上下限；
• 如何判断：
  • 一般先使用夹逼定理，然后如果用不了再使用定积分定义；

题型：定积分的几何意义

• 注意：
  • 当要求上下限区间为负的部分，比如 $(-3,0)$ 这一部分的定积分的值时，需要注意：定积分上限不可以小于定积分下限；
  • 比如 $F(-2)=\int_{0}^{-2}f(t)dt$ 这种式子是错的，因为上限不能小于下限。得使用这种形式：$F(-2)=-\int_{-2}^{0}f(t)dt$
• 图示：

  • 

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#