Lecture 32：定积分的计算

定理： #积分上限的函数：微积分基本定理#

描述： $\text{若 }f(x)\text{在 }[a,b]\text{ 上连续，则：}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\text{ 在 }[a,b]$ 上可导，且有 $(\int_a^xf(t)\mathrm{d}t)^{\prime}=f(x)$

解释

• 概念：
  • 对函数的积分求导，等于这一点的函数值；
  • 当其中的 x 为常数时，其求出来的是一个定值；
• 核心：
  • 微分和积分，互为逆运算；
  • 解决了原函数存在性；
• 结论：
  • $(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)^{\prime}=f(\psi(x))\psi^{\prime}(x)-f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$

定理： #积分上限函数的奇偶性#

描述：

1. 若 f (x)是奇函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是偶函数；
2. 若 f (x)是偶函数，则 $\int_0^xf(t)dt$ 是奇函数；

解释

定理： #定积分的原函数#

描述： $\text{设 }f(\mathrm{x})\text{在}\left[a,b\right]\text{ 上连续，则}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\text{ 是}f(\mathrm{x})\text{ 在 }\left[a,b\right]$ 上的一个原函数；

解释

• 当被积函数 $f(x)$ 是一个连续函数时，其变上限的积分、作为上限的函数，是 $f(x)$ 在这一点上的原函数；
• 即：连续函数一定有原函数，至少变函数积分一定是其一个原函数；

推论： 更加一般化的结论

• $\text{若 }\varphi(x),\psi(x)\text{ 可导,}f(x)\text{ 连续,则}$：
  • $\frac d{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)-f(\psi(x))\psi^{\prime}(x)$

定理： #牛顿莱布尼茨公式#

描述： $\text{设 }F(x)\text{ 为连续函数 }f(x)$ $\text{在 }[a,b]\text{ 上的一个原函数,则}$：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，也称之为微积分基本公式；

解释

• 把求解定积分的问题，转变成了找原函数的问题；
• 并且此公式：沟通了积分学和微分学之间的关系；

推论： 证明积分中值定理n

• $\text{若 }f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上连续,则}$
• $\int_a^bf(x)\operatorname{d}x=f(\xi)(b-a)\quad\quad a<\xi<b$

  • 

定理： #定积分的换元法#

描述： $\int_{a}^{b}f(x)\operatorname{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t)\operatorname{d}t$

解释

• 注意：被积函数和上下限都要换元；

定理： #定积分的分部积分法#

描述： $\int_{a}^{b}u\operatorname{d}v=uv\bigg|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\operatorname{d}u$

PART 1：解题方法#

五类常用方法

• 1. 牛顿-莱布尼茨公式；
• 2. 换元法
• 3. 分部积分法；
• 4. 奇偶性、周期性；
  • 拿到函数，先观察其奇偶性、周期性；
• 5. 两个特殊公式；
  • $\begin{aligned}(1)&\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\operatorname{d}x=\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\operatorname{d}x=\begin{cases}\frac{n-1}n\frac{n-3}{n2}\cdots\frac12\frac\pi2,&n\text{偶}\\\frac{n-1}n\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23,&n\text{奇}&\end{cases}\\(2)&\int_0^{\pi}x\cdot f(\sin x)\operatorname{d}x=\frac\pi2\int_0^{\pi}f(\sin x)\operatorname{d}x\end{aligned}$
• 补充方法：
  • 使用几何分析：如果函数是某类几何图形，可以画出其图形，观察几何性质；

不定积分几何常见结论

• 1. $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\frac{\pi a^{2}}{4}(a>0)$
• 2. $\int_{0}^{a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{4}a^{2}$
• 3. $\int_{0}^{2a}\sqrt{2ax-x^{2}}dx=\frac{\pi}{2}a^{2}$

带有变上限的定积分

• 遇到变上限函数的定积分计算，可以考虑使用分部积分法；

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#

PART 1：解题方法#

核心公式

• 概念：
  • $(\int_a^xf(t)\mathrm{d}t)^{\prime}=f(x)$
• 计算：
  • $(\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)^{\prime}=f(\psi(x))\psi^{\prime}(x)-f(\varphi(x))\varphi^{\prime}(x)$

变上限定积分三大方法

• 方法一：公式计算
  • 举例： $(\int_{e^{x}}^{x^{2}}f(t)dt)^{\prime}=f(x^{2})\cdot2x-f(e^{x})e^{x}$
• 方法二：提取 x
  • 举例： $\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt;=x\int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt$
  • 积分域以及被积式子里面都有 x；
  • 能提出 x 时：拆项，把 x 提取出来；
• 方法三：换元法
  • 举例： $\int_{0}^{x}cos(x-t)^{2}dt\frac{x-t=u}{}\int_{0}^{x}cos u^{2}du$
  • 积分域以及被积式子里面都有 x；
  • 不能提出 x 时：换元；
    • 注意：换元时，x 是常数，t 和 u 是被积分变量；
  • 举例：当出现上下限都没有 x，但被积分式中有 x 时，需要把 x 换元、带入到上下限当中；
    • 令 $x+t=u$ 后： $\int_{1}^{2}f(x+t)dt=\int_{x+1}^{x+2}f(u)du$

题型：变上限积分 + 求极限

• 在极限当中，分子或分母存在变上限积分，此时最常用的是洛必达法则；

题型：变上限积分 + 隐函数求导

• 举例：设可导函数 $y=y(x)$ 由方程 $\int_0^{x+y}\mathbf{e}^{-t^2}\mathbf{d}t=\int_0^xx\sin t^2\operatorname{d}t$ 确定，求 $\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}_{x=0}$
• 分析：等数左边是一个关于 x、y 的函数，等式右边是一个关于 x 的函数，因此当需要求 $y=y(x)$ 在 $\frac{\operatorname{d}y}{\operatorname{d}x}_{x=0}$ 上的导数时，本质上是一个有 y 有 x 的隐函数其导数在 0 点的值，因此为隐函数求导问题；
  • 核心：变上限求导

PART 2：典型例题#

PART 3：知识点复盘#