Lecture 40：欧拉方程

定义： #欧拉方程#

描述：

1. 形式：$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy^{\prime}+a_ny=f(x)$

解释

• 概念：
  • 欧拉方程，同时也是个线性方程，但是是变系数的；
  • 但它是一种特殊的变系数：一种非常有规律的线性变系数方程；
• 思想：
  • 把这种规律的变系数方程化成常系数方程；
• 方法：
  • 设 $x=e^t$，得到 $x^{k}y^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y$
  • 其中 $D=\frac{d}{dt}$，$Dy=\frac{dy}{dt}$，$D^{2}=\frac{d^{2}}{dt^{2}}\quad\quad D^{2}y=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$