Lecture 41：隐函数求导

定理： #多元复合函数的求导法则#

描述：设 $u=u(x,y),\quad v=v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处有对 x 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z=f(u,\nu)$ 在对应点 $(u,\nu)$ 处有连续偏导数，则 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 在点 $(x, y)$ 处的两个偏导数存在，且有： $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial\nu}{\partial y}$

解释

• 对内层函数：
  • $u=u(x,y),\quad v=v(x,y)$ 要求的是偏导数存在；
• 对外层函数：
  • $z=f(u,\nu)$ 要求的是偏导数存在，并且要连续；
• 原因：
  • 在多元里面，可导不可以推出可微；

原理

• 假设函数和变量的关系：
  • z
    • u
      • x
      • y
    • v
      • x
      • y
• 分析：
  • 由上述求导的树形图可知，其中共有 x、y 两个变量；
  • 对 x 自变量而言 -> 其在 u 和 v 当中都存在 -> 因此对 x 的求导：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial v}{\partial x}$ -> 求导的结果为分别对 u、v 的复合函数求导的和；
  • 同理对 y

定理： #全微分形式的不变性#

描述：设函数 $z=f(u,v),\quad u=u(x,v)$ 及 $\nu=\nu(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f[u(x,y),v(x,y)]$ 的全微分不变性：$\mathbf{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathbf{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathbf{d}y=\frac{\partial z}{\partial u}\operatorname{d}u+\frac{\partial z}{\partial\nu}\operatorname{d}\nu.$ 即多元函数也具有微分形式的不变性； 由此推导而来：$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial\nu}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial\nu}{\partial y}$

解释

• 一元时：
  • 无论当前是对 x 的导数 $dx$ ，还是对 u 的导数 $du$（即无论是自变量还是中间变量），当前都是对这个变量的导数乘以对这个变量的微分；
• 多元时：
  • 因为 $z=f(u,v),\quad u=u(x,v)$ 及 $\nu=\nu(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，所以一定可微分；
  • 微分形式不变 -> $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial\nu}\frac{\partial\nu}{\partial x},\quad\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial\nu}{\partial y}$
  • 带入

    • 

• 意义：
  • z 作为其他变量的函数，其中出现的变量、不用管其是中间变量还是自变量，微分形式具有不变性；

定义： #多元函数隐函数#

描述：由方程 $F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $y=(x)$，得：$y^{\prime}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}$

解释

• 什么是隐函数
  • 形如 $F(x, y)=0$ 的函数叫隐函数；
  • 将自变量和因变量放在同一个式子中，隐藏了二者之间的函类关系，因此称之为隐函数。
• 什么是显函数
  • 显函数可以理解为：
  • 自变量和因变量的函数关系明显的函数，形如 $y=f(x)$ 对应隐函数概念；

定理： #隐函数存在定理#

描述：

1. $F(x,y)$ 在点 $M_0(x_0,y_0)$ 邻域内连续可偏导；
2. $F(x_0,y_0)=0$；
3. $F_y\:\prime(x_0,y_0)\neq0$ 则由函数 $F(x,y)$ 在 $M_{0}$ 邻域内唯一确定一个连续可导函数 $y=f(x)$ 使 $y_0=f(x_0)$ 则： $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}$

解释

• 更通俗的解释
  • $F(x,y)=0,\text{若}x\text{为自变量},F(x,y)=0\Rightarrow y=y(x),\text{求}\frac{dy}{dx}$
  • 根据要求，x 是自变量，因此理论上可以将 y 变成 x 的一元函数，即将 y 直接看成 y (x)，进而同时两边对 x 求导：
    • $F_{x}'+F_{y}'\frac{dy}{dx}=0\Longrightarrow\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}$
• 记忆
  • 1. 一定有负号；
  • 2. $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}$ 中的 x 和 y 是交错对应的；

证明

• 因为在隐函数 $F(x,y)$ 中：
  • x 是对于 x 的函数：$x=x$
  • y 是对于 x 的函数：$y=f(x)$
• 所以当对 $F(x,y)=0$ 求导时，它们的求导链条为：$F<_{y}^x>x$
• 所以分别对 x、y 求导后：$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial E}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$
• 转化位置，得到：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}$

定理： #多元隐函数存在定理#

描述： $F(x,y,z)$ 在点 $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ 邻域内连续可偏导，且 $F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F_{z}\:{\prime}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq0$ 则由 $F(x,y,z)=0$ 在 $M_{0}$ 邻域内唯一确定一个连续可导函数 $z=\varphi(x,y)$ 且 $z_0=\varphi(x_0,y_0)$ 则：$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}’}{F_{z}’},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}’}{F_{z}’}$