Lecture 48：正项级数

定理： #正项级数的收敛性#

描述：正项 $\sum u_n$ 收敛的充分必要条件是 ${S_n}$ 有界； 即：$\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}\Leftrightarrow s_n\text{ 上有界}$

正向级数的概念

• $u_n$ 的每一项都大于 0；
• 并且因为正向技术的每一项都是正的，所以和是递增的：
  • $S_{1}\leq S_{2}\leq S_{3}\cdots$ -> $\{S_{n}\}\geq0$

解释

• 但这个定理几乎没什么用 -> 因为很难判断 $S_n$ 是否有界；

定理： #比较审敛法#

描述：如果 $\sum U_n$ 和 $\sum V_n$ 都是正项级数，且 $u_n<v_n$： $\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛}$ $\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$

解释

• 总结：
  • 大的收敛，小的肯定收敛；
  • 小的发散，大的肯定发散；
  • 反过来都不行；
• 使用方法：
  • 使用之前，先进行初步判断；
  • 如果初步判断其为收敛，则进行放大；
  • 如果初步判断其为发散，将进行缩小；
• 使用前提：
  • 两个级数都是正项级数；

补充

• 第一种情况时
  • 如果 L 等于 0 -> Un 是比 Vn 更高级的无穷小，Vn 趋向于 0 的速度更快；
  • 如果 L 大于零且小于正无穷（即为常数），则此时 Un 和 Vn 是同阶的无穷小；
  • 如果 L 等于正无穷 -> 则 Un 无法判断，且 Un 是 Vn 的低阶无穷小；
• 第二种情况时
  • 如果 L 大于 0 -> Un 发散，Vn 也跟着发散；
  • 如果 Un 比 Vn 是正无穷，则发散性也一致，Un 是 Vn 的低阶无穷小；
  • 如果 L 等于 0 时 -> 如果 Vn 是发散的，则 Un 也无法判断；
• 问题：还是得和一个 $V_n$ 来和目标函数比较，进而判断其敛散性；

和谁比

• 核心问题：
  • 怎么找用于辅助判断的级数 -> 两个常用级数；

定理： #比较法极限形式#

描述：设 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\left(0\leq l\leq+\infty\right)$ 若：

1. $若0<l<+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}与\sum_{n=1}^{\infty}\nu_{n}{\text{同敛散}.}$
2. $\text{若 }l=0\text{,则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{收敛 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 收敛,}\sum_{n=1}^\infty u_n\text{发散 }\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}$
3. $\text{若 }l=+\infty,\text{则}\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{发散}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty u_n\text{ 发散. }\sum_{n=1}^\infty u_n\text{收敛}\Rightarrow\sum_{n=1}^\infty\nu_n\text{ 收敛}$

解释

• 概念：将两个通项比大小的问题，转化为了求两个通项之比的极限的问题；

定理： #比值审敛法#

描述：如果 $\sum U_n$ 是一个正项级数，则若 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\rho$ 如果 $\rho <1$，则 $\sum U_n$ 收敛； 如果 $\rho >1$，则 $\sum U_n$ 发散； 如果 $\rho =1$，则 $\sum U_n$ 无法判断，请使用其他方法；

优缺点

• 优点：自己和自己比，不需要找其他的函数；
• 缺点：如果 $\rho =1$，则方法失效；

定理： #根值法#

描述： $\text{设}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\text{,则}\sum_{n=1}^\infty u_n\begin{cases}\text{收敛},&\rho<1,\\\\\text{发散},&\rho>1,\\\\\text{不一定},&\rho=1,\end{cases}$

解释